1. ($20$ 分) 证明非线性积分方程 $$\bex x(t)+\lm \int_a^b K(t,s,x(s))\rd s=y(t),\quad \forall\ t\in [a,b] \eex$$ 在 $|\lm|$ 足够小时有唯一连续解. 这里 $y(t)\in C[a,b]$, $K:[a,b]\times [a,b]\times\bbR\to \bbR$ 连续并且满足 $$\bex |K(t,s,\sigma_1)-K(t,s,\sigma_2)|\leq L|\sigma_1-\sigma_2|,\quad \forall\ t,s\in[a,b]. \eex$$
证明: 定义 $$\bex \ba{rl} T:C[a,b]&\to C[a,b]\\ \xi(t)&\mapsto y(t)-\lm \int_a^b K(s,t,\xi(s))\rd s, \ea \eex$$ 则当 $$\bex |\lm|<\frac{1}{2L(b-a)} \eex$$ 时, $$\beex \bea \sen{T(\xi)-T(\eta)} &=\max_{a\leq t\leq b} |\lm|\cdot \sev{\int_a^b K(s,t,\xi(s))-K(s,t,\eta(s))\rd s}\\ &\leq |\lm|\cdot L\int_a^b |\xi(s)-\eta(s)|\rd s\\ &\leq |\lm|\cdot L(b-a)\sen{\xi-\eta}\\ &\leq \frac{1}{2}\sen{\xi-\eta}. \eea \eeex$$ 由压缩映像原理即知结论.
2. ($15$ 分) 设 $X,Y$ 是线性赋范空间, $T:X\to Y$ 是线性算子, 则 $T$ 不是有界的当且仅当存在 $x_n\in X$, $x_n\to 0$ 使得 $\sen{Tx_n}\to \infty$.
证明: $\ra$: 设 $T$ 不是有界的, 则 $$\bex \forall\ n\in\bbN,\ \exists\ \xi_n\in X,\st \sen{T \xi_n}\geq n\sen{\xi_n}. \eex$$ 令 $$\bex x_n=\frac{\xi_n}{\sqrt{n}\sen{\xi_n}}, \eex$$ 则 $x_n\to 0$, 但 $$\bex \sen{Tx_n}\geq \sqrt{n}\ra \sen{Tx_n}\to \infty. \eex$$ $\la$: 用反证法. 若 $T$ 有界, 则 $$\bex \exists\ M>0,\st x\in X\ra \sen{Tx}\leq M\sen{x}. \eex$$ 又 $x_n\to 0$, 而 $x_n$ 有界, $\exists\ A>0,\st n\in\bbN\ra \sen{x_n}\leq A\ra \sen{Tx_n}\leq M\sen{x_n}\leq MA$. 这与 $\sen{Tx_n}\to\infty$ 矛盾. 故有结论.
3. ($15$ 分) 设 $X$ 是 Banach 空间, $A_n,A\in B(X)$, 则 $A_nx\to Ax$, $\forall\ x\in X$ 当且仅当 $\sen{A_n}$ 有界并且存在子集合 $G$ 使得 $\span G=X$, 在 $G$ 上, $A_nx\to Ax$.
证明: 这就是 Banach-Steinhaus 定理. $\ra$: 这是共鸣定理. $\la$: 对 $\forall\ x_0\in X$, 由 $\span G=X$ 知 $$\bex \exists\ G\ni x_m\to x_0. \eex$$ 而 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ m,\st \sen{x_m-x_0}<\frac{\ve}{2\sex{\sup_n \sen{A_n}+\sen{A}+1}}. \eex$$ 又 $A_nx_m\to A_n x_m\ (n\to\infty)$, $$\bex \exists\ N=N(\ve,m)=N(\ve),\st n\geq N\ra \sen{A_nx_m-Ax_m}<\frac{\ve}{2}. \eex$$ 于是当 $n\geq N$ 时, $$\beex \bea \sen{A_nx_0-Ax_0}&\leq \sen{A_nx_0-A_nx_m} +\sen{A_nx_m-Ax_m}+\sen{Ax_m-Ax_0}\\ &\leq \sex{\sup_n\sen{A_n}+\sen{A}}\sen{x_m-x_0} +\sen{A_nx_m-Ax_m}\\ &<\ve. \eea \eeex$$
4. ($15$ 分) 对于内积空间 $H$ 中的规范正交集 $\sed{e_1,\cdots,e_n}$ 和 $H$ 中的 $x$, 证明函数 $$\bex f(\lm_1,\cdots,\lm_n)=\sen{x-\sum_{i=1}^n \lm_ie_i} \eex$$ 当且仅当 $\lm_i=\sef{x,e_i}$\ ($i=1,\cdots,n$) 时达到极小值.
证明: $$\beex \bea &\quad\sen{x-\sum_{i=1}^n \lm_ie_i}^2\\ &=\sen{\sex{x-\sum_{i=1}^n \sef{x,e_i}e_i}-\sum_{i=1}^n \sex{\lm_i-\sef{x,e_i}}e_i}^2\\ &=\sen{x-\sum_{i=1}^n \sef{x,e_i}e_i}^2 -2\Re \sef{x-\sum_{i=1}^n \sef{x,e_i}e_i,\sum_{i=1}^n \sex{\lm_i-\sef{x,e_i}}e_i} +\sum_{i=1}^n \sev{\lm_i-\sef{x,e_i}}^2\\ &=\sen{x-\sum_{i=1}^n \sef{x,e_i}e_i}^2 -2\sum_{i=1}^n\Re\sez{\overline{\lm_i-\sef{x,e_i}} \sef{x-\sum_{i=1}^n \sef{x,e_i}e_i,e_i}} +\sum_{i=1}^n \sev{\lm_i-\sef{x,e_i}}^2\\ &=\sen{x-\sum_{i=1}^n \sef{x,e_i}e_i}^2 +\sum_{i=1}^n \sev{\lm_i-\sef{x,e_i}}^2\\ &\geq \sen{x-\sum_{i=1}^n \sef{x,e_i}e_i}^2. \eea \eeex$$
5. ($15$ 分) 设 $H$ 是 Hilbert 空间, $\sed{e_n;\ n\geq 1}$ 是其中的规范正交基. 证明级数 $\dps{\vsm{n}\al_ne_n}$ 按 $H$ 中的范数收敛等价于弱收敛.
证明: $\ra$: 强收敛蕴含弱收敛. $\la$: 设 $$\bex \sum_{k=1}^n \al_ke_k\rhu x_0\quad\sex{n\to\infty}, \eex$$ 则对 $\forall\ l$, $$\bex \al_l=\sef{\sum_{k=1}^n \al_k e_k,e_l} \to \sef{x_0,e_l}\quad\sex{n\to\infty}\ra \al_l=\sef{x_0,e_l}. \eex$$ 于是 $$\bex x_0=\vsm{n}\sef{x_0,e_n}e_n=\vsm{n}\al_ne_n. \eex$$ 这就是强收敛.
6. ($20$ 分) 设 $1\leq p<\infty$, $x_n=(x_{ni})\in \ell^p\ (n\geq 1)$, 并且范数有界, 则当 $\forall\ i\geq 1$, $x_{ni}\to x_i\ (n\to\infty)$ 时, 存在 $\sed{x_n}$ 的凸组合的序列 $\sed{y_n}$ 依范数收敛于 $x=(x_i)$.
证明: 设 $X=\ell^p$, 则 $X^*=\ell^q\ (1/p+1/q=1\ra 1<q\leq \infty)$. 把 $x_n$ 看成 $X^*$ 上的有界线性泛函, 则由第 3 题, $x_n\rhu x_0$. 由 Mazur 定理即知结论.
题目来源: http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/4223984.html
