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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.5

2014-11-07 556

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简介： 5. (Friedland) 给定 $A\in M_n$, $\lm_i\in \bbC$, $i=1,\cdots,n$. 证明: 存在对角矩阵 $D\in M_n$ 使得 $\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$, 并且满足上述条件的对角矩阵 $D$ 只有有限多个.

5. (Friedland) 给定 $A\in M_n$, $\lm_i\in \bbC$, $i=1,\cdots,n$. 证明: 存在对角矩阵 $D\in M_n$ 使得 $\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$, 并且满足上述条件的对角矩阵 $D$ 只有有限多个.

证明: 见 [S. Friedland, Matrices with prescribed off-diagonal elements, Israel J. Math., 11 (1972), 184--189].

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.6

6. 举例说明: 存在那样的实方阵 $A$, $A$ 的零元素的个数大于 $A$ 的 Jordan 标准形的零元素的个数. 解答: 想法就是利用第 5 节的 Jordan 标准形的组合刻画.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.1

1. (Maybee) 设 $A$ 是一个树符号模式. 证明: (1). 若 $A$ 的每个简单 $2$-圈都是正的, 则对于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 为对称矩阵.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.2

2. 证明引理 7.13. 证明: 用反证法. 若对任一置换阵 $P$, $PA$ 的对角元都至少有一个为零, 则 $A$ 的每条对角线至少含有一个零元素. 由 Frobenius-K\"onig 定理, $A$ 有一个 $r\times s$ 阶的零子矩阵, $r+s=n+1$.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.12

12. 设 $A$ 是个 $n$ 阶振荡矩阵, 则 $A^{n-1}$ 是全面正矩阵. 证明: 我相信可以利用定理 6.27 (Wielandt) 或者其证明思路, 但是目前还没有做出来.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.13

13. (Sinkhorn) 设 $A$ 是一个方的正矩阵, 则存在对角元素为正数的两个对角矩阵 $D_1$ 和 $D_2$ 使得 $D_1AD_2$ 为双随机矩阵 (doubly stochastic matrix).

张祖锦

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张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.7

7. 设 $A$ 是个非负幂零矩阵, 即存在正整数 $p$ 使得 $A^p=0$. 则 $A$ 置换相似于一个上三角矩阵. 证明: 由 $A^p=0$ 知 $\sigma(A)=0$, 而 $\rho(A)=0$.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.2

2. 设 $A$ 是个非负方阵且存在一个正整数 $p$ 使得 $A^p>0$, 则对所有正整数 $q\geq p$, $A^q>0$. 证明: 不妨设 $n\geq 2$. 由定理 6.

张祖锦

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张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.6

6. 设 $A$ 是个非负本原方阵, 则 $$\bex \vlm{k} [\rho(A)^{-1}A]^k =xy^T, \eex$$ 其中 $x$ 和 $y$ 分别是 $A$ 和 $A^T$ 的 Perron 根, 满足 $xy^T=1$.

张祖锦

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张祖锦

Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.2

2. 用 $\im A$ 表示 $A\in M_n$ 的像空间: $$\bex \im A=\sed{Ax;x\in\bbC^n}. \eex$$ 设 $A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 满足 $$\bex \sen{A-B}_\infty

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.7

7. 设 $A_0\in M_n$ 正定, $A_i\in M_n$ 半正定, $i=1,\cdots,k$, 则 $$\bex \tr \sum_{j=1}^k \sex{\sum_{i=0}^jA_i}^{-2}A_j

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.5

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