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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.5

2014-11-07 540

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简介： 5. (Friedland) 给定 $A\in M_n$, $\lm_i\in \bbC$, $i=1,\cdots,n$. 证明: 存在对角矩阵 $D\in M_n$ 使得 $\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$, 并且满足上述条件的对角矩阵 $D$ 只有有限多个.

5. (Friedland) 给定 $A\in M_n$, $\lm_i\in \bbC$, $i=1,\cdots,n$. 证明: 存在对角矩阵 $D\in M_n$ 使得 $\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$, 并且满足上述条件的对角矩阵 $D$ 只有有限多个.

证明: 见 [S. Friedland, Matrices with prescribed off-diagonal elements, Israel J. Math., 11 (1972), 184--189].

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.11

11. (Gasca-Pena) 一个 $n$ 阶可逆矩阵 $A$ 是全面非负的当且仅当对每个 $1\leq k\leq n$, $$\bex \det A[1,2,\cdots,k]>0, \eex$$ $$\bex \det A[\al\mid 1,2,\cdots,k]\geq 0,\quad...

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.15

15. (Hu-Li-Zhan) 秩为 $k$ 的 $n$ 阶对称 $0-1$ 矩阵中 $1$ 的个数可能是哪些数呢? 解答: 见 [Q. Hu, Y.Q. Li, X.Z. Zhan, Possible numbers of ones in $0-1$ matrices wit...

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

14. (Shao) 设非负方阵 $A$ 具有 (6.22) 的形式并且 $A$ 没有零行也没有零列. 证明: $A$ 不可月且非本原指标为 $k$ 当且仅当乘积 $$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$$ 是本原矩阵.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.7

7. 设 $A$ 是个非负幂零矩阵, 即存在正整数 $p$ 使得 $A^p=0$. 则 $A$ 置换相似于一个上三角矩阵. 证明: 由 $A^p=0$ 知 $\sigma(A)=0$, 而 $\rho(A)=0$.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1

1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负? 解答: 设 $A\geq0$ 可逆, 且其逆 $A^{-1}=B\geq 0$. 则 $$\bex I_n=AB=BA. \eex$$ 对 $A$ 的第 $i$ ($1\leq i\leq n$) 列, 由 $A$ 可逆知 $$\bex \exists\ j,\st a_{ij}>0.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.8

8. 设 $A$ 是个不可约奇异 $M$-矩阵, 则存在正向量 $x$ 满足 $Ax=0$. 证明: 由 $A$ 为 $M$-矩阵知 $$\bex A=cI-B,\quad c\geq \rho(B),\quad B\geq 0.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.4

4. (G.M. Krause) 令 $$\bex \lm_1=1,\quad \lm_2=\frac{4+5\sqrt{3}I}{13},\quad \lm_3=\frac{-1+2\sqrt{3}i}{13},\quad v=\sex{\sqrt{\frac{5}{8}},\frac{1}{2},\sqrt{\frac{1}{8}}}^T.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.3

3. (Bhatia-Davis) 设 $A,B\in M_n$ 为酉矩阵, 则 $$\bex \rd(\sigma(A),\sigma(B))\leq \sen{A-B}_\infty. \eex$$ 证明: [见 R.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.8

8. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 设 $x,y\in \bbR^n_+$, 则对 $\bbR^n$ 上的任何对称规度函数 $\varphi$ 有 $$\bex \varphi(x\circ y)\leq [\varphi(x...

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.12

12. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 则对 $A,B\in M_n$ 和酉不变范数有 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{|A|^p}^\frac{1}{p} \sen{|B|^q}^\frac{1}{q}.

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