7. 设 $A$ 是个非负幂零矩阵, 即存在正整数 $p$ 使得 $A^p=0$. 则 $A$ 置换相似于一个上三角矩阵.
证明: 由 $A^p=0$ 知 $\sigma(A)=0$, 而 $\rho(A)=0$. 据定理 6.8 (Perron-Frobenius), $A$ 可约. 从而存在置换阵 $P$, 使得 $$\bex P^TAP=\sex{\ba{cc} B&C\\ 0&D \ea}. \eex$$ 如此, $$\bex 0=P^TA^pP =\sex{\ba{cc} B^p&*\\ 0&D^p \ea}\ra B^p=0,\quad C^p=0. \eex$$ 同上推理, $B,D$ 也置换相似于某些个准上三角矩阵. 一直做下去, 经过有限步以后, $A$ 被置换相似成上三角阵.
