4. 设 $A$ 是个不可约非负方阵, $0\leq t\leq 1$, 则 $$\bex \rho[tA+(1-t)A^T]\geq \rho(A). \eex$$
证明:
(1). 先证明: $$\bex 0\leq x,y\in\bbR^n, \sum_{i=1}^n x_i=\sum_{i=1}^n y_i>0\ra \prod_{i=1}^n y_i^{x_i}\leq \prod_{i=1}^n x_i^{x_i}. \eex$$ 事实上, 不妨设 $$\bex \sum_{i=1}^n x_i =\sum_{i=1}^n y_i=1. \eex$$ 而仅须证明 $$\beex \bea &\quad \prod_{x_i>0}y_i^{x_i}\leq \prod_{x_i>0}x_i^{x_i}\\ &\la \prod_{x_i>0}\sex{\frac{y_i}{x_i}}^{x_i} \leq \sum_{x_i>0} x_i\cdot \frac{y_i}{x_i} \leq 1, \eea \eeex$$ 最后一步是因为 Young 不等式: $$\bex 1<p_i<\infty,\quad \sum_{i=1}^n \frac{1}{p_i},\quad a_i>0\ra \prod_{i=1}^n a_i\leq \sum_{i=1}^n \frac{a_i^{p_i}}{p_i}. \eex$$
(2). 再证明: 设 $0\leq A\in M_n$ 不可约, $0<x,y\in\bbR^n$ 分别是 $A$, $A^T$ 的 Perron 向量, $0<u,v\in\bbR^n$ 适合 $$\bex y^Tx=1,\quad x\circ y=u\circ v, \eex$$ 则 $$\bex u^TAv\geq \rho(A). \eex$$ 事实上, 由 $$\bex \sum_{i,j=1}^n \frac{a_{ij}u_iv_j}{v^TAu}=1 =\sum_{i,j=1}^n \frac{a_{ij}y_ix_j}{y^TAx} \eex$$ 及 (1) 知 $$\bex \prod_{i,j=1}^n \sex{\frac{a_{ij}u_iv_j}{v^TAu}}^ \frac{a_{ij}y_ix_j}{y^TAx} \leq \prod_{i,j=1}^n \sex{\frac{a_{ij}y_ix_j}{ y^TAx}}^\frac{a_{ij}y_ix_j}{y^TAx}, \eex$$ 此即 $$\bee\label{6_4_eq} \bea \frac{v^TAu}{y^TAx} &\geq \prod_{i,j=1}^n \sex{\frac{u_i}{y_i}\cdot\frac{v_j}{x_j}}^\frac{a_{ij}y_ix_j}{y^TAx}\\ &=\prod_{i=1}^n \sex{\frac{u_i}{y_i}}^ {\sum_{j=1}^n \frac{a_{ij}y_ix_j}{y^TAx}} \cdot \prod_{j=1}^n \sex{\frac{v_j}{x_j}}^{\sum_{i=1}^n \frac{a_{ij}y_ix_j}{y^TAx} }. \eea \eee$$据 $$\bex Ax=\rho(A)x,\quad A^Ty=\rho(A)y \eex$$ 知 $$\bex \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=\rho(A)x_i,\quad \sum_{j=1}^n a_{ji}y_j=\rho(A)y_i. \eex$$ 代入 \eqref{6_4_eq}, 有 $$\beex \bea \frac{v^TAu}{y^TAx} &\geq \prod_{i=1}^n \sex{\frac{u_i}{y_i}}^{x_iy_i} \cdot \prod_{j=1}^n \sex{\frac{v_j}{x_j}}^{x_jy_j}\\ &=\prod_{i=1}^n \sex{\frac{u_iv_i}{y_ix_i}}^{x_iy_i}\\ &=1. \eea \eeex$$
(3). 往证题目. 对 $\forall\ 0\leq t\leq 1$, 记 $B=tA+(1-t)A^T$, $0<v\in\bbR^n$ 为 $B$ 的对应于 Perron 根 $\rho(B)$ 的单位 Perron 向量, 则 $$\beex \bea \rho(B)&=v^TBv\\ &=tv^TAv+(1-t)v^TA^Tv\\ &=v^TAv\\ &=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}v_iv_j\\ &=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\frac{x_iy_i}{v_i}\cdot v_j\\ &\quad\sex{0<x,y\in\bbR^n\mbox{ 分别为 }A,A^T\mbox{ 的 Perron 向量, 适合 }y^Tx=1}\\ &\geq \rho(A)\quad\sex{\mbox{由 (2)}}. \eea \eeex$$
