2. 设 $A$ 是个非负方阵且存在一个正整数 $p$ 使得 $A^p>0$, 则对所有正整数 $q\geq p$, $A^q>0$.
证明: 不妨设 $n\geq 2$. 由定理 6.26 (Frobenius), $A$ 本原, 而不可约, $A$ 的每一行都有一个正元素. 由此, $$\bex (A^{p+1})_{ij}=(AA^p)_{ij} =\sum_{k=1}^n a_{ik}(A^p)_{kj}>0. \eex$$ 同样的道理, $A^{p+2}>0$, $\cdots$.
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.2
2014-11-10
567
版权
版权声明：
本文内容由阿里云实名注册用户自发贡献，版权归原作者所有，阿里云开发者社区不拥有其著作权，亦不承担相应法律责任。具体规则请查看《
阿里云开发者社区用户服务协议》和
《阿里云开发者社区知识产权保护指引》。如果您发现本社区中有涉嫌抄袭的内容，填写
侵权投诉表单进行举报，一经查实，本社区将立刻删除涉嫌侵权内容。
简介：
2. 设 $A$ 是个非负方阵且存在一个正整数 $p$ 使得 $A^p>0$, 则对所有正整数 $q\geq p$, $A^q>0$.
证明: 不妨设 $n\geq 2$. 由定理 6.
目录
相关文章
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.2
2. 证明引理 7.13.
证明: 用反证法. 若对任一置换阵 $P$, $PA$ 的对角元都至少有一个为零, 则 $A$ 的每条对角线至少含有一个零元素. 由 Frobenius-K\"onig 定理, $A$ 有一个 $r\times s$ 阶的零子矩阵, $r+s=n+1$.
593
0
0
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.1
1. (Maybee) 设 $A$ 是一个树符号模式. 证明:
(1). 若 $A$ 的每个简单 $2$-圈都是正的, 则对于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 为对称矩阵.
623
0
0
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14
14. (Shao) 设非负方阵 $A$ 具有 (6.22) 的形式并且 $A$ 没有零行也没有零列. 证明: $A$ 不可月且非本原指标为 $k$ 当且仅当乘积 $$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$$ 是本原矩阵.
492
0
0
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.4
4. 设 $A$ 是个不可约非负方阵, $0\leq t\leq 1$, 则 $$\bex \rho[tA+(1-t)A^T]\geq \rho(A). \eex$$
证明:
(1).
534
0
0
|
资源调度
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.8
8. 设 $A$ 是个不可约奇异 $M$-矩阵, 则存在正向量 $x$ 满足 $Ax=0$.
证明: 由 $A$ 为 $M$-矩阵知 $$\bex A=cI-B,\quad c\geq \rho(B),\quad B\geq 0.
610
0
0
|
资源调度
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.3
3. (Bhatia-Davis) 设 $A,B\in M_n$ 为酉矩阵, 则 $$\bex \rd(\sigma(A),\sigma(B))\leq \sen{A-B}_\infty. \eex$$
证明: [见 R.
652
0
0
|
资源调度
Perl
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.5
5. (Friedland) 给定 $A\in M_n$, $\lm_i\in \bbC$, $i=1,\cdots,n$. 证明: 存在对角矩阵 $D\in M_n$ 使得 $\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$, 并且满足上述条件的对角矩阵 $D$ 只有有限多个.
535
0
0
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.13
13. (Bhatia-Davis) 设 $A,B,X\in M_n$, 则 $$\bex \sen{AXB^*}\leq \frac{1}{2}\sen{A^*AX+XB^*B} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.
518
0
0
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.15
15. (Fan-Hoffman) 设 $A,H\in M_n$, 其中 $H$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$\bex \sen{A-\Re A}\leq \sen{A-H} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.
586
0
0
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.5
5. 设 $A,B\in M_n$, 则 $$\bex s_j(AB)\leq \sen{A}_\infty s_j(B),\quad s_j(AB)\leq \sen{B}_\infty s_j(A),\quad j=1,\cdots,n.
526
0
0