[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.28

简介: k>0, a>0. 证明:   (1). \dpsasin2nπx\rdxxk 收敛;   (2). \dps\vsmn1nasin2nπx\rdxxk 收敛.

k>0, a>0. 证明:

 

(1). \dpsasin2nπx\rdxxk 收敛;

 

(2). \dps\vsmn1nasin2nπx\rdxxk 收敛.

 

证明:

 

(1). 由 Dirichlet 判别法即知结论成立.

 

(2). 由积分第二中值定理, \beex \bea \sev{\frac{1}{n}\int_a^A \frac{\sin 2n\pi x\rd x}{x^k}} &=\sev{\frac{1}{n}\sez{\frac{1}{a^k}\int_a^\xi \sin 2n\pi x\rd x +\frac{1}{A^k}\int_\xi^A \sin 2n\pi x\rd x}}\\ &\leq \frac{1}{n}\sex{\frac{1}{a^k}\frac{1}{n\pi}+\frac{1}{A^k}\frac{1}{n\pi}}\\ &=\sex{\frac{1}{a^k}+\frac{1}{A^k}}\frac{1}{n^2\pi}, \eea \eeex

\bex\sev1nasin2nπx\rdxxk1akn2π.\eex
故结论成立.

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