前言
本期是手把手教你入门强化学习第二篇了，在这期，笔者会介绍强化学习中最核心的数学模型——Markov决策过程，用来描述智能体（Agent）与环境（Environment）交互的框架。同样会尽量通俗易懂，不过本次会有大量数学推导，如果对此不了解的友友，看不懂的没有关系，跟上期一样同样会有实践代码环节，帮助大家更好地理解背后的原理。
前期回顾
一、马尔可夫过程
马尔可夫性质
我们在一个时序的过程中，若t+1时的状态只跟t时的状态有关，而与t时之前的任何状态都没有关系，我们就认为t时的状态具有马尔可夫性质。
马尔可夫过程
而具备马尔可夫性质的随机过程称为马尔可夫过程(MP)或者马尔可夫链(MC)。这个过程我们能够用一个元组来描述。
S 是有限状态的集合， P 是状态转移概率矩阵。
状态转移矩阵定义了从任意状态到其所有后续状态s'的状态转移概率:
$$P = \begin{pmatrix} P_{11} &\dots & P_{1n} \\ \vdots & &\vdots\\ P_{n1} &\dots &P_{nn} \end{pmatrix}$$
每一行的转移概率之和相加为一。
如果我们从马尔可夫过程中生成一个状态序列这一过程叫做采样(也就是根据转移概率，随机选择生成一串状态) 若最后一个状态是终止状态，我们就称该状态是完整的状态序列。
二、马尔可夫奖励过程
但是上面这个我们还没有引入强化学习中的奖励过程，若我们引入奖励，我们需要变为4元组，称为马尔可夫奖励过程(MRP)。它是由构成的一个元组，其中
S，P上述已经提过，而R是一个奖励函数，$\gamma$是一个衰减因子:$\gamma\in[0,1]$。
在马尔可夫过程中，我们每经历一次状态转移，也就是强化学习中，智能体做出动作，都会收到环境所给予的奖励，我们把一个状态序列所经历的所有奖励累计起来，叫做收获(return)。
收获(Return)是在一个马尔可夫奖励过程中从某一状态St开始采样直到终止状态时所有奖励的衰减之和。数学表达式如下：
$$G_{t}=R_{t+1}+\gamma R_{t+2} + \dots = \sum_{k=0}^ \infty\gamma^{k}R_{t+k+1}$$
在这一过程中，我们引入 $\gamma$ 这个在[0,1]范围内的衰减系数。我们可以这样理解，对于当下时刻当前状态来说，当前的奖励对我影响是最大的，随着状态的转移，奖励逐渐衰减。但当 $\gamma$ 衰减系数取1时，我们认为它具有"长远眼光",因为它将所有状态(后续转移状态)的奖励同等考虑。
这时候我们引入一个新的概念，价值。价值(Value)是马尔可夫奖励过程中状态收获的期望。其数学表达式为：
$$v(s) = E[G_{t}|S_t = s]$$
一个状态的价值是该状态的收获的期望，也就是说从这个状态出发的所有状态序列(一般计算不了，我们尽量算多，算的越多越准确)，我们计算它的奖励，然后对其求期望就是这个状态具备的价值。
这时候我们提出一个函数，价值函数。它建立了状态到价值的映射关系。不过我们发现它的计算过程过于复杂，有没有更简单的方法呢？
我们把公式推导一下。
$$\begin{split} v(s) &= E[G_{t}|S_{t} = s]\\ &=E[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+\gamma^{2}R_{t+3}+\dots|S_{t} = s]\\ &=E[R_{t+1}+\gamma(R_{t+2}+\gamma R_{t+3}+\dots)|S_{t} = s]\\ &=E[R_{t+1}+\gamma(G_{t+1})|S_{t} = s]\\ &=E[R_{t+1}+\gamma v(S_{t+1})|S_{t}=s]\\ \end{split}$$
最终得到:
$$v(s)=E[R_{t+1}+\gamma v(S_{t+1})|S_{t}=s]$$
而又因为$R_{t+1}$的期望就是其自身，因为每次离开同一个状态得到的奖励都是一个固定值，用s'表示下一个状态，故最后方程可以写出:
$$$$$$v(s)=R_{s}+\gamma \sum_{s' \in S}P_{ss'}v(s')$$$$$$
这就是马尔可夫奖励过程中的贝尔曼方程，他表示一个状态的价值由两部分组成：
1 该状态的即时奖励
2 其他状态的衰减奖励和转移概率相乘的总和
在强化学习问题中，如果智能体能够知道每个状态的价值，就能在当前状态下所有能采取的行为中，选择出哪一个行为最有意义、最有价值。
马尔可夫决策过程
马尔可夫奖励过程不涉及智能体的决策选择，而马尔可夫决策过程(MDP)则是由一个五元组组成，相较于奖励过程，我们多一个元素，A表示一个有限行为集。
这里给出一个概念，策略函数，用字母$\pi$表示。策略函数$\pi$是某一状态下基于行为集合的一个概率分布,我们给出策略函数:
$$\pi(a|s) = P[A_{t}=a|S_{t}=s]$$
这里解释一下为什么是概率分布，由于动作的选择就有概率性的，我们采取行为是从这个动作空间进行抽样得到的。
这个时候，我们拓展一下之前定义的价值函数，$$v_{\pi}(s)$$是在马尔可夫决策过程中基于策略\pi的状态价值函数，表示从状态s开始，遵循当前策略$\pi$时所获得收获的期望:
$$v_{\pi}(s)=E[G_{t}|S_{t}=s]$$
同样，由于引入了行为，为了描述同一状态下采取不同行为的价值，我们定义一个基于策略π的行为价值函数$q_{\pi}(s,a)$，表示在遵循策略π时对当前状态s执行某一具体行为a所能得到的收获的期望：
定义了基于策略π的状态价值函数和行为价值函数后，依据贝尔曼方程，我们可以得到如下两个贝尔曼期望方程：
由于行为是连接马尔可夫决策过程中状态转换的桥梁，因此一个行为的价值与状态的价值关系紧密，具体表现为一个状态的价值可以用该状态下所有行为价值来表达：
类似地，一个行为的价值可以用该行为所能到达的后续状态的价值来表达：
组合起来，我们得到：
解决强化学习问题意味着要寻找一个最优的策略（让个体在与环境交互过程中获得始终比其他策略都要多的收获），这个最优策略用π表示。一旦找到最优策略π，就意味着该强化学习问题得到了解决。寻找最优策略是一件比较困难的事情，但是可以通过比较两个不同策略的优劣来确定一个较好的策略。
【定义】最优状态价值函数(Optimal Value Function)是所有策略下产生的众多状态价值函数中的最大者：
【定义】最优行为价值函数(Optimal Action-Value Function)是所有策略下产生的众多行为价值函数中的最大者：
最优策略可以通过最大化最优行为价值函数q*(s,a)来获得：
也就是说最优策略在面对每一个状态时将总是选择能够带来最大、最优行为价值的行为。这同时意味着，一旦得到q*(s,a)，最优策略也就找到了。因此求解强化学习问题就转变为求解最优行为价值函数问题。
而求解贝尔曼最优方程不是线性方程，无法直接求解，通常采用迭代法来求解，具体有价值迭代、策略迭代、Q学习、Sarsa学习等多种迭代方法，我将在后面几期的博客中详细介绍。
总结
本博客从马尔可夫性质引入，到马尔可夫过程，再到马尔可夫奖励过程，最后到马尔可夫决策过程，从中讲述了强化学习中最重要的几个概念，包括策略函数，状态转移，价值函数 ，最优行为价值函数，这也是我们学强化学习前必须掌握的概念。
如果想要更深入强化学习的内容，关注我，下期更精彩
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