算法可以发掘本质，如：
一，若干师傅和徒弟互有好感，有好感的师徒可以结对学习。师傅和徒弟都只能参加一个对子。如何让对子最多。
二，有无限多1X2和2X1的骨牌，某个棋盘若干格子坏了，如何在没有坏的格子放足够多骨牌。
三，某个单色图，1表示前前景，0表示后景色。每次操作可以将一个1，变成0。如何在最少得操作情况下，使得没有两个1相邻（四连通）。
四，若干路人，有些人是熟人，如何选出最多的人参加实验。为了避免熟人影响实验的效果，参加的人不能是熟人。
一二是二分图的最大匹配，三是二分图的最小点覆盖，四是二分图最大独立集。 而这三者是等效问题。
本文涉及知识点
动态规划 状态机dp
LeetCode3082. 求出所有子序列的能量和
给你一个长度为 n 的整数数组 nums 和一个 正 整数 k 。
一个整数数组的 能量 定义为和 等于 k 的子序列的数目。
请你返回 nums 中所有子序列的 能量和 。
由于答案可能很大，请你将它对 109 + 7 取余 后返回。
示例 1：
输入： nums = [1,2,3], k = 3
输出： 6
解释：
总共有 5 个能量不为 0 的子序列：
子序列 [1,2,3] 有 2 个和为 3 的子序列：[1,2,3] 和 [1,2,3] 。
子序列 [1,2,3] 有 1 个和为 3 的子序列：[1,2,3] 。
子序列 [1,2,3] 有 1 个和为 3 的子序列：[1,2,3] 。
子序列 [1,2,3] 有 1 个和为 3 的子序列：[1,2,3] 。
子序列 [1,2,3] 有 1 个和为 3 的子序列：[1,2,3] 。
所以答案为 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 。
示例 2：
输入： nums = [2,3,3], k = 5
输出： 4
解释：
总共有 3 个能量不为 0 的子序列：
子序列 [2,3,3] 有 2 个子序列和为 5 ：[2,3,3] 和 [2,3,3] 。
子序列 [2,3,3] 有 1 个子序列和为 5 ：[2,3,3] 。
子序列 [2,3,3] 有 1 个子序列和为 5 ：[2,3,3] 。
所以答案为 2 + 1 + 1 = 4 。
示例 3：
输入： nums = [1,2,3], k = 7
输出： 0
解释：不存在和为 7 的子序列，所以 nums 的能量和为 0 。
提示：
1 <= n <= 100
1 <= nums[i] <= 104
1 <= k <= 100
动态规划
一个长度为len的子序列s是多少子序列的子序列？ 其它字符都可以选或不选，令其它字符有len2个，则包括s的子序列共有2len2个。
动态规划的表示
pre[len][sum]表示前i个数字构成的子序列（包括空子序列）中，长度为len，和为sum的数量。
dp[len][sum]表示前i+1个数字构成的子序列（包括空子序列）中，长度为len，和为sum的数量。
动态规划的转移方程
当前数字不选取。dp = pre
选取当前数字：dp[len+1][sum+n] += pre[len][sum] ，注意下标的合法性。
动态规划的填表顺序
通过前置状态更新后置状态。依次枚举nums。
动态规划的初始值
dp[0][0]=1
动态规划的返回值
代码
template<int MOD = 1000000007> class C1097Int { public: C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD) { } C1097Int operator+(const C1097Int& o)const { return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD); } C1097Int& operator+=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD; return *this; } C1097Int& operator-=(const C1097Int& o) { m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD; return *this; } C1097Int operator-(const C1097Int& o) { return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD); } C1097Int operator*(const C1097Int& o)const { return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; } C1097Int& operator*=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; return *this; } bool operator==(const C1097Int& o)const { return m_iData == o.m_iData; } bool operator<(const C1097Int& o)const { return m_iData < o.m_iData; } C1097Int pow(long long n)const { C1097Int iRet = 1, iCur = *this; while (n) { if (n & 1) { iRet *= iCur; } iCur *= iCur; n >>= 1; } return iRet; } C1097Int PowNegative1()const { return pow(MOD - 2); } int ToInt()const { return m_iData; } private: int m_iData = 0;; }; class Solution { public: int sumOfPower(vector<int>& nums, int k) { vector<vector<C1097Int<>>> pre(nums.size()+1,vector<C1097Int<>>( k + 1)); pre[0][0] = 1; for (const auto& n : nums) { auto dp = pre; for (int len = 0; len+1 <= nums.size(); len++) { for (int iPre = 0; iPre <= k; iPre++) { const int iNew = iPre + n; if (iNew > k) { continue; } dp[len+1][iNew] += pre[len][iPre]; } } pre.swap(dp); } C1097Int<> biRet; for (int i = 1; i <= nums.size(); i++) { biRet += pre[i].back() * C1097Int(2).pow(nums.size()-i); } return biRet.ToInt(); } };
| 我想对大家说的话 |
| 闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。 |
| 子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。 |
| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
