本文涉及知识点
动态规划 状态机dp 性能优化
LeetCode3098. 求出所有子序列的能量和
给你一个长度为 n 的整数数组 nums 和一个 正 整数 k 。
一个子序列的 能量 定义为子序列中 任意 两个元素的差值绝对值的 最小值 。
请你返回 nums 中长度 等于 k 的 所有 子序列的 能量和 。
由于答案可能会很大，将答案对 109 + 7 取余 后返回。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,4], k = 3
输出：4
解释：
nums 中总共有 4 个长度为 3 的子序列：[1,2,3] ，[1,3,4] ，[1,2,4] 和 [2,3,4] 。能量和为 |2 - 3| + |3 - 4| + |2 - 1| + |3 - 4| = 4 。
示例 2：
输入：nums = [2,2], k = 2
输出：0
解释：
nums 中唯一一个长度为 2 的子序列是 [2,2] 。能量和为 |2 - 2| = 0 。
示例 3：
输入：nums = [4,3,-1], k = 2
输出：10
解释：
nums 总共有 3 个长度为 2 的子序列：[4,3] ，[4,-1] 和 [3,-1] 。能量和为 |4 - 3| + |4 - (-1)| + |3 - (-1)| = 10 。
提示：
2 <= n == nums.length <= 50
-108 <= nums[i] <= 108
2 <= k <= n
动态规划（状态机dp)初版
动态规划的状态 表示
pre 表示已经处理完前x个数组符合条件的数量,dp表示已经处理完x+1数组符合条件的数量。
pre[i][j][end][len] 表示此子序列：
a，长度为len。
b,以nums[end]结束。
c,nums[j]-nums[i]的差最小。如果多个(i,j)符合条件，取最小的。比如：{1,2,3}的(I,j)是{0,1}而不是{1,2}。
空间复杂度：O(nnnk)
dp类似。
动态规划的转移方程
只需要从x 推导x+1，不需要推导x+2,x+3 ⋯ \cdots⋯ ，如果硬要的话需要用前缀和（后缀和）。
时间复杂度：O(nnnkn) 估计超时
剪枝：
枚举的时候确保 i < j ，且 j <= x。
动态规划+前缀和
拆分成若干个子问题，假定序列存在(i,j)，且此序列的能力为power = nums[j]-nums[i]。
动态规划的状态表示
dp[len][end] 表示 子序列的长度为len，最后一个元素是end。
空间复杂度：O(kn)
利用前缀和优化 动态规划的转移方程
枚举end，end not ∈ \in∈(i,j) ，否则此序列的能量就不是nums[j]-nums[i]了。
如果不利用前缀和优先，时间复杂度：O(knn)，利用前缀和优化O(kn)。
总时间复杂度：O(knkn)。
动态规划的初始状态
枚举所有长度为2
动态规划的填表顺序
l e n = 3
动态规划的返回值
len == k 且 end >=j 才是需要统计的子序列数量。
代码
没用前缀和优化
理论上过不了，实际过了。
template<int MOD = 1000000007> class C1097Int { public: C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD) { } C1097Int operator+(const C1097Int& o)const { return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD); } C1097Int& operator+=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD; return *this; } C1097Int& operator-=(const C1097Int& o) { m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD; return *this; } C1097Int operator-(const C1097Int& o) { return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD); } C1097Int operator*(const C1097Int& o)const { return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; } C1097Int& operator*=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; return *this; } bool operator==(const C1097Int& o)const { return m_iData == o.m_iData; } bool operator<(const C1097Int& o)const { return m_iData < o.m_iData; } C1097Int pow(long long n)const { C1097Int iRet = 1, iCur = *this; while (n) { if (n & 1) { iRet *= iCur; } iCur *= iCur; n >>= 1; } return iRet; } C1097Int PowNegative1()const { return pow(MOD - 2); } int ToInt()const { return m_iData; } private: int m_iData = 0;; }; class Solution { public: int sumOfPowers(vector<int>& nums, const int K) { m_c = nums.size(); sort(nums.begin(), nums.end()); C1097Int<> biRet = 0; for (int i = 0; i < m_c; i++) { for (int j = i + 1; j < m_c; j++) { auto cur = Do(nums, i, j, K); biRet += cur; //std::cout << " i :" << i << " j:" << j << " " << cur.ToInt() << std::endl; } } return biRet.ToInt(); } C1097Int<> Do(const vector<int>& nums,int i,int j, const int K) { const int iDiff = nums[j] - nums[i]; vector<vector<C1097Int<>>> dp(K + 1, vector<C1097Int<>>(m_c)); for (int end = 0; end <= i; end++) { for (int end1 = 0; end1 < end; end1++) { if (nums[end] - nums[end1] > iDiff) { dp[2][end] += 1; } } } dp[2][j] = 1; for (int len = 3; len <= K; len++) { for (int end = 0; end <= i; end++) { for (int end1 = 0; end1 < end; end1++) { if (nums[end] - nums[end1] > iDiff) { dp[len][end] += dp[len - 1][end1]; } } } dp[len][j] = dp[len - 1][i]; for (int end = j+1; end < m_c; end++) { for (int end1 = j; end1 < end; end1++) { if (nums[end] - nums[end1] >= iDiff) { dp[len][end] += dp[len - 1][end1]; } } } } return std::accumulate(dp.back().begin() + j, dp.back().end(), C1097Int<>())*iDiff; } int m_c; };
测试用例
int main() { vector<int> nums; int k; { Solution sln; nums = { 6,14,4,13 }, k = 3; auto res = sln.sumOfPowers(nums, k); Assert(6, res); } { Solution sln; nums = { 1,2,3,4 }, k = 3; auto res = sln.sumOfPowers(nums, k); Assert(4, res); } { Solution sln; nums = { 4,3,-1 }, k = 2; auto res = sln.sumOfPowers(nums, k); Assert(10, res); } { Solution sln; nums = { 2,2 }, k = 2; auto res = sln.sumOfPowers(nums, k); Assert(0, res); } { Solution sln; nums = { 2,246006,496910,752786,1013762,1279948,1551454,1828436,2110982,2399316,2693558,2993942,3300640,3613766,3933442,4259696,4592656,4932556,5279494,5633522,5994678,6363102,6739028,7122528,7513792,7913044,8320394,8736004,9160062,9592750,10034184,10484602,10944108,11412852,11891048,12378822,12876346,13383746,13901098,14428528,14966126,15514010,16072380,16641300,17220904,17811360,18412850,19025600,19649778,20285440 }, k = 37; auto res = sln.sumOfPowers(nums, k); Assert(273504325, res); } }
利用前缀和优化：用时减少不到50%
template<int MOD = 1000000007> class C1097Int { public: C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD) { } C1097Int operator+(const C1097Int& o)const { return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD); } C1097Int& operator+=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD; return *this; } C1097Int& operator-=(const C1097Int& o) { m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD; return *this; } C1097Int operator-(const C1097Int& o) { return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD); } C1097Int operator*(const C1097Int& o)const { return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; } C1097Int& operator*=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; return *this; } bool operator==(const C1097Int& o)const { return m_iData == o.m_iData; } bool operator<(const C1097Int& o)const { return m_iData < o.m_iData; } C1097Int pow(long long n)const { C1097Int iRet = 1, iCur = *this; while (n) { if (n & 1) { iRet *= iCur; } iCur *= iCur; n >>= 1; } return iRet; } C1097Int PowNegative1()const { return pow(MOD - 2); } int ToInt()const { return m_iData; } private: int m_iData = 0;; }; class Solution { public: int sumOfPowers(vector<int>& nums, const int K) { m_c = nums.size(); sort(nums.begin(), nums.end()); C1097Int<> biRet = 0; for (int i = 0; i < m_c; i++) { for (int j = i + 1; j < m_c; j++) { auto cur = Do(nums, i, j, K); biRet += cur; //std::cout << " i :" << i << " j:" << j << " " << cur.ToInt() << std::endl; } } return biRet.ToInt(); } C1097Int<> Do(const vector<int>& nums, int i, int j, const int K) { const int iDiff = nums[j] - nums[i]; vector<vector<C1097Int<>>> dp(K + 1, vector<C1097Int<>>(m_c)); for (int end = 0; end <= i; end++) { for (int end1 = 0; end1 < end; end1++) { if (nums[end] - nums[end1] > iDiff) { dp[2][end] += 1; } } } dp[2][j] = 1; for (int len = 3; len <= K; len++) { int end1 = 0; C1097Int<> biRet = 0; for (int end = 0; end <= i; end++) { while ((end1 < end) && (nums[end] - nums[end1] > iDiff)) { biRet += dp[len - 1][end1]; end1++; } dp[len ][end] = biRet; } dp[len][j] = dp[len - 1][i]; C1097Int<> biRet2 = 0; for (int end = j + 1,end1=j ; end < m_c; end++) { while ((end1 < end) && (nums[end] - nums[end1] >= iDiff)) { biRet2 += dp[len - 1][end1]; end1++; } dp[len][end] = biRet2; } } return std::accumulate(dp.back().begin() + j, dp.back().end(), C1097Int<>()) * iDiff; } int m_c; };
| 我想对大家说的话 |
| 闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。 |
| 子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。 |
| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
