当谈论并查集时，我们可以继续使用上述的动物园比喻来解释它的概念。
我们可以把并查集看作是一个动物园管理系统，帮助你管理动物们的归属关系。
在这个动物园中，每个动物都有一个独特的编号，代表一个独立的元素。一开始，每个动物都是独立的，没有与其他动物建立关系。
- 初始化（Init()函数）就像是给每个动物分配一个编号和一个独立的笼子。这样，它们就有了一个起始的归属地。
- 查找函数（Find()函数）就像是动物们在寻找自己所属的笼子。当你给一个动物的编号，它会告诉你它所在的笼子。这样，你可以快速找到任何动物所属的笼子。
- 合并集合函数（Join()函数）就像是把两个笼子合并在一起，让两个动物的集合变成一个更大的集合。当你把两个动物放在同一个笼子里，它们就成为了同一个集合，共享同一个归属地。
class UnionFind { private int[] parent; public UnionFind(int size) { parent = new int[size]; for (int i = 0; i < size; i++) { parent[i] = i; // 每个动物初始时独立成为一个集合，自己是自己的根节点 } } public int find(int x) { if (parent[x] != x) { parent[x] = find(parent[x]); // 使用路径压缩优化，将当前动物的父节点直接指向根节点 } return parent[x]; // 返回动物所属的笼子（根节点） } public void join(int x, int y) { int rootX = find(x); int rootY = find(y); if (rootX != rootY) { parent[rootX] = rootY; // 将两个笼子合并，让一个根节点指向另一个根节点 } } }
历届试题 国王的烦恼
问题描述
C 国由 n nn 个小岛组成，为了方便小岛之间联络，C 国在小岛间建立了 m mm 座大桥，每座大桥连接两座小岛。两个小岛间可能存在多座桥连接。然而，由于海水冲刷，有一些大桥面临着不能使用的危险。
如果两个小岛间的所有大桥都不能使用，则这两座小岛就不能直接到达了。然而，只要这两座小岛的居民能通过其他的桥或者其他的小岛互相到达，他们就会安然无事。但是，如果前一天两个小岛之间还有方法可以到达，后一天却不能到达了，居民们就会一起抗议。
现在 C 国的国王已经知道了每座桥能使用的天数，超过这个天数就不能使用了。现在他想知道居民们会有多少天进行抗议。
输入格式
输入的第一行包含两个整数 n , m n, mn,m，分别表示小岛的个数和桥的数量。
接下来 m mm 行，每行三个整数 a , b , t a, b, ta,b,t，分别表示该座桥连接 a aa 号和 b bb 号两个小岛，能使用t天。小岛的编号从 1 开始递增。
输出格式
输出一个整数，表示居民们会抗议的天数。
样例输入
4 4
1 2 2
1 3 2
2 3 1
3 4 3
样例输出
2
样例说明
第一天后 2 和 3 之间的桥不能使用，不影响。
第二天后 1 和 2 之间，以及1和3之间的桥不能使用，居民们会抗议。
第三天后 3 和 4 之间的桥不能使用，居民们会抗议。
数据规模和约定
对于 30% 的数据，1 ≤ n ≤ 20 ， 1 ≤ m ≤ 100 1\leq n \leq 20，1 \leq m \leq 1001≤n≤20，1≤m≤100；
对于 50% 的数据，1 ≤ n ≤ 500 ， 1 ≤ m ≤ 10000 1 \leq n \leq 500，1 \leq m \leq 100001≤n≤500，1≤m≤10000；
对于 100% 的数据，1 ≤ n ≤ 10000 ， 1 ≤ m ≤ 100000 ， 1 ≤ a , b ≤ n ， 1 ≤ t ≤ 100000 1 \leq n \leq 10000，1 \leq m \leq 100000，1\leq a, b \leq n， 1 \leq t \leq 1000001≤n≤10000，1≤m≤100000，1≤a,b≤n，1≤t≤100000。
首先，我们需要根据输入的桥的信息构建并查集。
对于每座桥，如果它的使用天数超过了指定的天数，我们将这两个小岛合并成同一个集合。如果它的使用天数没有超过指定的天数，说明这座桥可以使用，我们不需要对这两个小岛进行合并。
接下来，我们遍历所有的桥，对于每座桥，我们查找连接的两个小岛是否属于同一个集合。如果不属于同一个集合，说明这两个小岛之间没有其他路径可以到达，居民们会抗议的天数加一。
最后，输出居民们会抗议的天数即可。
import java.util.*; class UnionFind { private int[] parent; public UnionFind(int size) { parent = new int[size + 1]; for (int i = 1; i <= size; i++) { parent[i] = i; } } public int find(int x) { if (parent[x] != x) { parent[x] = find(parent[x]); } return parent[x]; } public void union(int x, int y) { int rootX = find(x); int rootY = find(y); if (rootX != rootY) { parent[rootX] = rootY; } } } public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); int n = scanner.nextInt(); int m = scanner.nextInt(); UnionFind uf = new UnionFind(n); for (int i = 0; i < m; i++) { int a = scanner.nextInt(); int b = scanner.nextInt(); int t = scanner.nextInt(); if (t <= 2) { uf.union(a, b); } } int protestDays = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (uf.find(i) == i) { protestDays++; } } System.out.println(protestDays - 1); } }
第二道题
问题描述
小蓝国是一个水上王国, 有 2021 个城邦, 依次编号 1 到 2021。在任意两 个城邦之间, 都有一座桥直接连接。
为了庆祝小蓝国的传统节日, 小蓝国政府准备将一部分桥装饰起来。
对于编号为 a 和 b 的两个城邦, 它们之间的桥如果要装饰起来, 需要的费 用如下计算:
找到 a 和 b 在十进制下所有不同的数位, 将数位上的数字求和。
例如, 编号为 2021 和 922 两个城邦之间, 千位、百位和个位都不同, 将这些数位上的数字加起来是 (2+0+1)+(0+9+2)=14 。注意 922 没有千位, 千位看成 0 。
为了节约开支, 小蓝国政府准备只装饰 2020 座桥, 并且要保证从任意一个 城邦到任意另一个城邦之间可以完全只通过装饰的桥到达。
请问, 小蓝国政府至少要花多少费用才能完成装饰。
提示: 建议使用计算机编程解决问题。
答案提交
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一 个整数, 在提交答案时只填写这个整数, 填写多余的内容将无法得分。
这道题有两个思路：
1.动态规划
思路讲解
首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示城邦i到城邦j之间需要装饰的费用。
然后，我们可以使用动态规划的思路来计算dp数组的值。对于每对城邦(i, j)，我们可以通过考虑最后一段路径(i, k, j)来计算dp[i][j]的值，其中k是城邦j的前一个城邦。
具体地，我们可以遍历城邦k的所有可能取值（从1到2021），然后计算dp[i][j]的值。我们可以将dp[i][j]初始化为dp[i][k] + dp[k][j]，然后再添加城邦k和j之间的装饰费用cost(k, j)。其中cost(k, j)可以通过将城邦k和j的编号转换为字符串，然后遍历字符串中的每个字符，将字符转换为数字并求和得到。
最后，我们需要计算小蓝国政府至少要花费的费用，即dp[1][2021]。
public class Main { public static int calculateCost(int x, int y) { String strX = String.valueOf(x); String strY = String.valueOf(y); int cost = 0; for (char digit : strX.toCharArray()) { if (strY.contains(String.valueOf(digit))) { cost += Character.getNumericValue(digit); } } return cost; } public static void main(String[] args) { int[][] dp = new int[2022][2022]; for (int i = 1; i <= 2021; i++) { for (int j = 1; j <= 2021; j++) { if (i != j) { dp[i][j] = calculateCost(i, j); } } } for (int k = 1; k <= 2021; k++) { for (int i = 1; i <= 2021; i++) { for (int j = 1; j <= 2021; j++) { if (i != j && i != k && j != k) { dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]); } } } } int answer = dp[1][2021]; System.out.println(answer); } }
2.并查集
题目将城堡看作连通带权无向图，其中城堡的编号表示图的节点，城堡之间的桥梁装饰费用表示图的边权。
首先，我们定义一个并查集数据结构，用于合并城堡所属的连通分量。
然后，我们遍历所有的桥梁，计算每座桥梁的装饰费用，并将费用作为边权存储在一个二维数组dp中。
接下来，我们使用并查集的思想，将连接费用为0的城堡合并到同一个连通分量中。
最后，我们计算所有城堡到第一个城堡的装饰费用，即累加每个连通分量中的最小边权。
这样，我们就可以得到小蓝国政府至少要花费的费用。
import java.util.Arrays; public class Main { public static class UnionFind { private int[] parent; private int[] rank; public UnionFind(int n) { parent = new int[n]; rank = new int[n]; Arrays.fill(rank, 1); for (int i = 0; i < n; i++) { parent[i] = i; } } public int find(int x) { if (parent[x] != x) { parent[x] = find(parent[x]); } return parent[x]; } public void union(int x, int y) { int rootX = find(x); int rootY = find(y); if (rootX != rootY) { if (rank[rootX] > rank[rootY]) { parent[rootY] = rootX; } else if (rank[rootX] < rank[rootY]) { parent[rootX] = rootY; } else { parent[rootY] = rootX; rank[rootX]++; } } } } public static int calculateCost(int x, int y) { String strX = String.valueOf(x); String strY = String.valueOf(y); int cost = 0; for (char digit : strX.toCharArray()) { if (strY.contains(String.valueOf(digit))) { cost += Character.getNumericValue(digit); } } return cost; } public static void main(String[] args) { int n = 2021; UnionFind uf = new UnionFind(n + 1); int[][] dp = new int[n + 1][n + 1]; // 构建并查集 for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = i + 1; j <= n; j++) { int cost = calculateCost(i, j); dp[i][j] = cost; dp[j][i] = cost; if (cost == 0) { uf.union(i, j); } } } // 合并连通分量 int[] set = new int[n + 1]; Arrays.fill(set, -1); for (int i = 1; i <= n; i++) { int root = uf.find(i); if (set[root] == -1) { set[root] = i; } } // 计算最小装饰费用 int answer = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (set[i] != -1) { answer += dp[1][set[i]]; } } System.out.println(answer); } }
