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【动态规划】【状态压缩】【2次选择】【广度搜索】1494. 并行课程 II
本文涉及知识点
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频
组合数学
LeetCode1735 生成乘积数组的方案数
给你一个二维整数数组 queries ，其中 queries[i] = [ni, ki] 。第 i 个查询 queries[i] 要求构造长度为 ni 、每个元素都是正整数的数组，且满足所有元素的乘积为 ki ，请你找出有多少种可行的方案。由于答案可能会很大，方案数需要对 109 + 7 取余 。
请你返回一个整数数组 answer，满足 answer.length == queries.length ，其中 answer[i]是第 i 个查询的结果。
示例 1：
输入：queries = [[2,6],[5,1],[73,660]]
输出：[4,1,50734910]
解释：每个查询之间彼此独立。
[2,6]：总共有 4 种方案得到长度为 2 且乘积为 6 的数组：[1,6]，[2,3]，[3,2]，[6,1]。
[5,1]：总共有 1 种方案得到长度为 5 且乘积为 1 的数组：[1,1,1,1,1]。
[73,660]：总共有 1050734917 种方案得到长度为 73 且乘积为 660 的数组。1050734917 对 109 + 7 取余得到 50734910 。
示例 2 ：
输入：queries = [[1,1],[2,2],[3,3],[4,4],[5,5]]
输出：[1,2,3,10,5]
提示：
1 <= queries.length <= 104
1 <= ni, ki <= 104
组合数学
ki 可以表示为 a1n1a2n2…
问题等效于:
- 将n1个a1分配给ni个数。
- 将n2个a2分配给ni个数。
- ⋯ \cdots⋯
214> 104。 所以n1最大取值13。
利用动态规划进行预处理
动态规划的状态表示
vCont[i][j] 表示将j个数，分配给i个位置的可能数。
动态规划的转移方程
我们假定最后一个位置选择了0到j个数。
∑ k = 0 j \sum\large_{k=0}^j∑k=0jvCount[i-1][j-k]
动态规划的初始值
全为1。
动态规划的填表顺序
i从1到大,j从1到i大。
代码
核心代码
template<int MOD = 1000000007> class C1097Int { public: C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD) { } C1097Int operator+(const C1097Int& o)const { return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD); } C1097Int& operator+=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD; return *this; } C1097Int& operator-=(const C1097Int& o) { m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD; return *this; } C1097Int operator-(const C1097Int& o) { return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD); } C1097Int operator*(const C1097Int& o)const { return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; } C1097Int& operator*=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; return *this; } bool operator<(const C1097Int& o)const { return m_iData < o.m_iData; } C1097Int pow(long long n)const { C1097Int iRet = 1, iCur = *this; while (n) { if (n & 1) { iRet *= iCur; } iCur *= iCur; n >>= 1; } return iRet; } C1097Int PowNegative1()const { return pow(MOD - 2); } int ToInt()const { return m_iData; } private: int m_iData = 0;; }; class Solution { public: vector<int> waysToFillArray(vector<vector<int>>& queries) { vector < vector<C1097Int<>>> vCount(m_r, vector<C1097Int<>>(m_c, 1)); for (int r = 2; r < m_r; r++) { for (int c = 1; c < m_c; c++) { vCount[r][c] = 0; for (int sel = 0; sel <= c; sel++) { vCount[r][c] += vCount[r - 1][c - sel]; } } } vector<int> vRet; for ( auto v : queries) { C1097Int biRet=1; for (int i = 2; i * i <= v[1]; i++) { int cnt = 0; while (0 == v[1] % i) { v[1] /= i; cnt++; } biRet *= vCount[v[0]][cnt]; } if (v[1] > 1) { biRet *= vCount[v[0]][1]; } vRet.emplace_back(biRet.ToInt()); } return vRet; } int m_r=10000+1, m_c= 14; };
template<class T> void Assert(const T& t1, const T& t2) { assert(t1 == t2); } template<class T> void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2) { if (v1.size() != v2.size()) { assert(false); return; } for (int i = 0; i < v1.size(); i++) { Assert(v1[i], v2[i]); } } int main() { vector<vector<int>> queries; { Solution sln; queries = { {2,6},{5,1},{73,660} }; auto res = sln.waysToFillArray(queries); Assert(res, vector<int> {4, 1, 50734910}); } { Solution sln; queries = { {1,1},{2,2},{3,3},{4,4},{5,5} }; auto res = sln.waysToFillArray(queries); Assert(res, vector<int> {1, 2, 3, 10, 5}); } }
利用前缀和优化
class Solution { public: vector<int> waysToFillArray(vector<vector<int>>& queries) { vector < vector<C1097Int<>>> vCount(m_r, vector<C1097Int<>>(m_c, 1)); for (int r = 2; r < m_r; r++) { C1097Int biSum = 1; for (int c = 1; c < m_c; c++) { biSum += vCount[r - 1][c]; vCount[r][c] = biSum; } } vector<int> vRet; for ( auto v : queries) { C1097Int biRet=1; for (int i = 2; i * i <= v[1]; i++) { int cnt = 0; while (0 == v[1] % i) { v[1] /= i; cnt++; } biRet *= vCount[v[0]][cnt]; } if (v[1] > 1) { biRet *= vCount[v[0]][1]; } vRet.emplace_back(biRet.ToInt()); } return vRet; } int m_r=10000+1, m_c= 14; };
2023年2月
class C1097Int
{
public:
C1097Int(int iData = 0) :m_iData(iData)
{
} C1097Int operator+(const C1097Int& o)const { return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % s_iMod); } C1097Int& operator+=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % s_iMod; return *this; } C1097Int operator*(const C1097Int& o)const { return((long long)m_iData *o.m_iData) % s_iMod; } C1097Int& operator*=(const C1097Int& o) { m_iData =((long long)m_iData *o.m_iData) % s_iMod; return *this; } int ToInt()const { return m_iData; }
private:
int m_iData = 0;;
static const int s_iMod = 1000000007;
};
int operator+(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}
int& operator+=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}
int operator*(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator*(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}
int& operator*=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator*(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}
class Solution {
public:
vector waysToFillArray(vector<vector>& queries) {
m_C.assign(100 * 100 + 1, vector(15, 0));
vector vRet;
for (const auto& v : queries)
{
const int& len = v[0];
int iMul = v[1];
C1097Int may(1);
for (int i = 2; i*i <= iMul; i++)
{
if (0 == iMul%i)
{
int r = 0;
while (0 == iMul%i)
{
iMul /= i;
r++;
}
may *= C(len, r);
}
}
if (iMul > 1)
{
may *= C(len, 1);
}
vRet.push_back(may.ToInt());
}
return vRet;
}
C1097Int C(int iPos, int iNeedSel)
{
if (0 == iNeedSel)
{
return 1;
}
if (0 == iPos)
{
return 0;
}
if (0 != m_C[iPos][iNeedSel].ToInt())
{
return m_C[iPos][iNeedSel];
}
return m_C[iPos][iNeedSel] = C(iPos - 1, iNeedSel) + C(iPos, iNeedSel - 1);
}
vector<vector> m_C;
};
