一、前缀和
1.一维前缀和
代码模板：
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i] a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]
原理与图解：
例题：
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n
1≤n,m≤100000
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3 2 1 3 6 4 1 2 1 3 2 4
输出样例：
3 6 10
#include<iostream> const int N=100010; int a[N],s[N]; using namespace std; int main() { int n,m; cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]; for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+a[i];//前缀和的初始化，s[0]处理边界问题 while(m--) { int l,r; cin>>l>>r; cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;//区间和的计算 } return 0; }
2、二维前缀和
代码模板：
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和 以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为： S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]
原理与图解：
因此得出二维前缀和预处理公式
s[i] [j] = s[i-1][j] + s[i][j-1 ] + a[i] [j] - s[i-1][ j-1]
接下来回归问题去求以(x1,y1)为左上角和以(x2,y2)为右下角的矩阵的元素的和。
例题：
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n行，每行包含 m个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3 1 7 2 4 3 6 2 8 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 3 4 1 3 3 4
输出样例：
17 27 21
#include<iostream> using namespace std; const int N=1010; int n,m,q; int s[N][N]; int main() { cin>>n>>m>>q; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) cin>>s[i][j]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) s[i][j]+=s[i][j-1]+s[i-1][j]-s[i-1][j-1];// 求前缀和 while(q--) { int x1,y1,x2,y2; cin>>x1>>y1>>x2>>y2; cout<<s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]<<endl; // 算子矩阵的和 } return 0; }
二、差分
- 一维差分
代码模板：
void insert(int l,int r,int c) { b[l]+=c; b[r+1]-=c; }
原理与图解：
类似于数学中的求导和积分，差分可以看成前缀和的逆运算。
差分数组：
首先给定一个原数组a：a[1], a[2], a[3],,,,,, a[n];
然后我们构造一个数组b ： b[1] ,b[2] , b[3],,,,,, b[i];
使得 a[i] = b[1] + b[2 ]+ b[3] +,,,,,, + b[i]
也就是说，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。换句话说，每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。
考虑如何构造差分b数组？
最为直接的方法
如下：
a[0 ]= 0;
b[1] = a[1] - a[0];
b[2] = a[2] - a[1];
b[3] =a [3] - a[2];
........
b[n] = a[n] - a[n-1];
给定区间[l ,r ]，让我们把a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l+1] + c , a[l+2] + c ,,,,,, a[r] + c;
始终要记得，a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i]的修改，会影响到a数组中从a[i]及往后的每一个数。
首先让差分b数组中的 b[l] + c ,a数组变成 a[l] + c ,a[l+1] + c,,,,,, a[n] + c;
然后我们打个补丁，b[r+1] - c, a数组变成 a[r+1] - c,a[r+2] - c,,,,,,,a[n] - c;
我们画个图理解一下这个公式的由来:
b[l] + c，效果使得a数组中 a[l]及以后的数都加上了c(红色部分)，但我们只要求l到r区间加上c, 因此还需要执行 b[r+1] - c,让a数组中a[r+1]及往后的区间再减去c(绿色部分)，这样对于a[r] 以后区间的数相当于没有发生改变。
例题：
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r]之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n个整数，表示整数序列。
接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000
1≤l≤r≤n
−1000≤c≤1000
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3 1 2 2 1 2 1 1 3 1 3 5 1 1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2
#include<iostream> using namespace std; const int N=100010; int a[N],b[N]; void insert(int l,int r,int c) { b[l]+=c;//将l和以后加c b[r+1]-=c;//将r之后-c } int main() { int n,m; cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];//存放原数组 for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=a[i]-a[i-1];//构造差分数组//insert(i, i, a[i]); while(m--) { int l,r,c; cin>>l>>r>>c; insert(l,r,c); } //这一步是求操作完之后的数组 a[]，因为直接用b[]求前缀和比较方便，所以直接用b写了 for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=b[i]+b[i-1];//将差分改为原数组,把b数组变为a自己的前缀和 for(int i=1;i<=n;i++)cout<<b[i]<<" "; return 0; }
- 二维差分
代码模板：
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c： void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) { b[x1][y1] += c; b[x2 + 1][y1] -= c; b[x1][y2 + 1] -= c; b[x2 + 1][y2 + 1] += c; }
原理与图解：
a[][]数组是b[][]数组的前缀和数组，那么b[][]是a[][]的差分数组
原数组： a[i][j]
我们去构造差分数组： b[i][j]
使得a数组中a[i][j]是b数组左上角(1,1)到右下角(i,j)所包围矩形元素的和。
如何构造b数组呢？
我们去逆向思考。
已知原数组a中被选中的子矩阵为 以(x1,y1)为左上角，以(x2,y2)为右下角所围成的矩形区域;
始终要记得，a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i][j]的修改，会影响到a数组中从a[i][j]及往后的每一个数。
假定我们已经构造好了b数组，类比一维差分，我们执行以下操作
来使被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c
b[x1][y1] + = c;
b[x1,][y2+1] - = c;
b[x2+1][y1] - = c;
b[x2+1][y2+1] + = c;
每次对b数组执行以上操作，等价于：
for(int i=x1;i<=x2;i++)
for(int j=y1;j<=y2;j++)
a[i][j]+=c;
我们画个图去理解一下这个过程：
b[x1][ y1 ] +=c ; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。
b[x1,][y2+1]-=c ; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y1]- =c ; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y2+1]+=c; 对应图4,,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。
我们将上述操作封装成一个插入函数:
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c) { //对b数组执行插入操作，等价于对a数组中的(x1,y1)到(x2,y2)之间的元素都加上了c b[x1][y1]+=c; b[x2+1][y1]-=c; b[x1][y2+1]-=c; b[x2+1][y2+1]+=c; }
我们可以先假想a数组为空，那么b数组一开始也为空，但是实际上a数组并不为空，因此我们每次让以(i,j)为左上角到以(i,j)为右下角面积内元素(其实就是一个小方格的面积)去插入 c=a[i][j]，等价于原数组a中(i,j) 到(i,j)范围内 加上了 a[i][j] ,因此执行n*m次插入操作，就成功构建了差分b数组.
这叫做曲线救国。
例题：
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n 行，每行包含 m个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。
输出格式
共 n行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3 1 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 2 3 2 3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1 4 3 4 1 2 2 2 2
#include<iostream> using namespace std; const int N=1010; int a[N][N],b[N][N]; void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c) { b[x1][y1]+=c; b[x2+1][y1]-=c; b[x1][y2+1]-=c; b[x2+1][y2+1]+=c; } int main() { int n,m,q; cin>>n>>m>>q; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) cin>>a[i][j]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) insert(i,j,i,j,a[i][j]);//构建差分数组 while(q--) { int x1,y1,x2,y2,c; cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c; insert(x1,y1,x2,y2,c); } for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) b[i][j]+=b[i][j-1]+b[i-1][j]-b[i-1][j-1];//求b的前缀和，相当于求a for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=m;j++) cout<<b[i][j]<<" "; cout<<endl; } return 0; }
