算法基础:前缀和与差分

简介: 算法基础:前缀和与差分

一、前缀和

1.一维前缀和

代码模板:

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

原理与图解:

例题:

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问,每个询问输入一对 l,r

对于每个询问,输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 nm

第二行包含 n 个整数,表示整数数列。

接下来 m行,每行包含两个整数 lr,表示一个询问的区间范围。

输出格式

m 行,每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n

1≤n,m≤100000

−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例:

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例:

3
6
10
#include<iostream>
 
const int N=100010;
int a[N],s[N];
using namespace std;
 
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+a[i];//前缀和的初始化,s[0]处理边界问题
    while(m--)
    {
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;//区间和的计算
    }
    return 0;
}
 

2、二维前缀和

代码模板:

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角,(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为:
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

原理与图解:

因此得出二维前缀和预处理公式

s[i] [j] = s[i-1][j] + s[i][j-1 ] + a[i] [j] - s[i-1][ j-1]

接下来回归问题去求以(x1,y1)为左上角和以(x2,y2)为右下角的矩阵的元素的和。

例题:

输入一个 nm 列的整数矩阵,再输入 q 个询问,每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2,表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 nmq

接下来 n行,每行包含 m个整数,表示整数矩阵。

接下来 q 行,每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2,表示一组询问。

输出格式

q 行,每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,

1≤q≤200000

1≤x1≤x2≤n

1≤y1≤y2≤m

−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例:

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例:

17
27
21
#include<iostream>
 
using namespace std;
 
const int N=1010;
int n,m,q;
int s[N][N];
 
int main()
{
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        cin>>s[i][j];
        
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        s[i][j]+=s[i][j-1]+s[i-1][j]-s[i-1][j-1];// 求前缀和
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        cout<<s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]<<endl; // 算子矩阵的和
    }
    
    return 0;
}

二、差分

  • 一维差分

代码模板:

void insert(int l,int r,int c)
{
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c;
}

原理与图解:

类似于数学中的求导和积分,差分可以看成前缀和的逆运算

差分数组:

首先给定一个原数组a:a[1], a[2], a[3],,,,,, a[n];

然后我们构造一个数组b : b[1] ,b[2] , b[3],,,,,, b[i];

使得 a[i] = b[1] + b[2 ]+ b[3] +,,,,,, + b[i]

也就是说,a数组是b数组的前缀和数组反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。换句话说,每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和

考虑如何构造差分b数组?

最为直接的方法

如下:

a[0 ]= 0;

b[1] = a[1] - a[0];

b[2] = a[2] - a[1];

b[3] =a [3] - a[2];

........

b[n] = a[n] - a[n-1];

给定区间[l ,r ],让我们把a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l+1] + c , a[l+2] + c ,,,,,, a[r] + c;

始终要记得,a数组是b数组的前缀和数组,比如对b数组的b[i]的修改会影响到a数组中从a[i]及往后的每一个数。

首先让差分b数组中的 b[l] + c ,a数组变成 a[l] + c ,a[l+1] + c,,,,,, a[n] + c;

然后我们打个补丁,b[r+1] - c, a数组变成 a[r+1] - c,a[r+2] - c,,,,,,,a[n] - c;

我们画个图理解一下这个公式的由来:

b[l] + c,效果使得a数组中 a[l]及以后的数都加上了c(红色部分),但我们只要求l到r区间加上c, 因此还需要执行 b[r+1] - c,让a数组中a[r+1]及往后的区间再减去c(绿色部分)这样对于a[r] 以后区间的数相当于没有发生改变。

例题:

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作,每个操作包含三个整数 l,r,c,表示将序列中 [l,r]之间的每个数加上 c

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 nm

第二行包含 n个整数,表示整数序列。

接下来 m 行,每行包含三个整数 lrc,表示一个操作。

输出格式

共一行,包含 n 个整数,表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000

1≤l≤r≤n

−1000≤c≤1000

−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例:

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例:

3 4 5 3 4 2
#include<iostream>
 
using namespace std;
 
const int N=100010;
int a[N],b[N];
void insert(int l,int r,int c)
{
    b[l]+=c;//将l和以后加c
    b[r+1]-=c;//将r之后-c
}
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];//存放原数组
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=a[i]-a[i-1];//构造差分数组//insert(i, i, a[i]);
    
    while(m--)
    {
        int l,r,c;
        cin>>l>>r>>c;
        insert(l,r,c);
    }
    //这一步是求操作完之后的数组 a[],因为直接用b[]求前缀和比较方便,所以直接用b写了  
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=b[i]+b[i-1];//将差分改为原数组,把b数组变为a自己的前缀和
    for(int i=1;i<=n;i++)cout<<b[i]<<" ";
    return 0;
}
  • 二维差分

代码模板:

给以(x1, y1)为左上角,(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c:
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

原理与图解:

a[][]数组是b[][]数组的前缀和数组,那么b[][]是a[][]的差分数组

原数组: a[i][j]

我们去构造差分数组: b[i][j]

使得a数组中a[i][j]是b数组左上角(1,1)到右下角(i,j)所包围矩形元素的和。

如何构造b数组呢?

我们去逆向思考。

已知原数组a中被选中的子矩阵为 以(x1,y1)为左上角,以(x2,y2)为右下角所围成的矩形区域;

始终要记得,a数组是b数组的前缀和数组,比如对b数组的b[i][j]的修改会影响到a数组中从a[i][j]及往后的每一个数。

假定我们已经构造好了b数组,类比一维差分,我们执行以下操作

来使被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c

b[x1][y1] + = c;

b[x1,][y2+1] - = c;

b[x2+1][y1] - = c;

b[x2+1][y2+1] + = c;

每次对b数组执行以上操作,等价于:

for(int i=x1;i<=x2;i++)

for(int j=y1;j<=y2;j++)

a[i][j]+=c;

我们画个图去理解一下这个过程:

b[x1][ y1 ] +=c ; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。

b[x1,][y2+1]-=c ; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c,使其内元素不发生改变。

b[x2+1][y1]- =c ; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c,使其内元素不发生改变。

b[x2+1][y2+1]+=c; 对应图4,,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c,红色内的相当于被减了两次,再加上一次c,才能使其恢复。

我们将上述操作封装成一个插入函数:

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{     //对b数组执行插入操作,等价于对a数组中的(x1,y1)到(x2,y2)之间的元素都加上了c
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}

我们可以先假想a数组为空,那么b数组一开始也为空,但是实际上a数组并不为空,因此我们每次让以(i,j)为左上角到以(i,j)为右下角面积内元素(其实就是一个小方格的面积)去插入 c=a[i][j],等价于原数组a中(i,j) 到(i,j)范围内 加上了 a[i][j] ,因此执行n*m次插入操作,就成功构建了差分b数组.

这叫做曲线救国。

例题:

输入一个 nm 列的整数矩阵,再输入 q个操作,每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c,其中 (x1,y1)) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q

接下来 n 行,每行包含 m个整数,表示整数矩阵。

接下来 q 行,每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c,表示一个操作。

输出格式

n行,每行 m 个整数,表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000

1≤q≤100000

1≤x1≤x2≤n

1≤y1≤y2≤m

−1000≤c≤1000

−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例:

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例:

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
#include<iostream>
 
using namespace std;
 
const int N=1010;
int a[N][N],b[N][N];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{
    int n,m,q;
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>a[i][j];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);//构建差分数组
    
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        b[i][j]+=b[i][j-1]+b[i-1][j]-b[i-1][j-1];//求b的前缀和,相当于求a
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cout<<b[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}


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