前缀和是一种常见的算法计算技巧，通常用于处理数组或序列的连续子区间求和问题。它可以帮助我们在 O(1) 的时间内计算出指定子区间的和，而不需要每次都遍历整个子区间。前缀和一般用于预处理当中，具有高效率的特点。
算法思想：
一维前缀和：
前缀和由名字可知，前面的数相加为和，前缀和是算法最基础的，也是非常好理解的，其实与数学符号Σ（求和符号）的意思是一模一样的。下面举一个例子我们有原数组a=[3,5,1,6,4]，前缀和数组为sum，每一个sum[i]，都是所有下标为i前面的（包括i）a[0~i]相加，例如sum[2]=3+5+1=9。为了更简单的写递推式，前面i-1项我们可以用之前求出的前缀和sum[i-1]代替（sum[i-1]比sum[i]早一步求出），所以就有了sum[i]=sum[i-1]+a[i]的前缀和递推式。
二维前缀和：
前面我们讲述的是一维前缀和，其数组为一维的，其模型可以抽象为线性的。那么有些时候需要我们使用二维前缀和，当题目出现矩阵时，说明就涉及到了二维前缀和，其模型可以抽象为矩阵，只要一维会了，二维前缀和自然也就很简单了。我们设presum[i][j]为（1，1）点到（i，j）点的子矩阵和（1<=x<=i,1<=y<=j），二维前缀和定义可如下：
那么如何求解子矩阵的和呢？看下面这张图，要求（x1,y1）到（x2,y2）这个子矩阵的和，那么前缀和presum[x][y]是由起点（1,1）到（x,y)的值，如何转换成起点为（x1,y1）呢，很简单，如图求红色的矩阵的值，=整个大矩阵-黄色矩阵-绿色矩阵-蓝色矩阵。那么就可以理解为presum[x2][y2]=A+B+C+D，A矩阵的起点是（1,1），所以黄色矩阵A也可以表示为presum[x1][y1]，那么我们将黄色矩阵A分别于B、C进行合并，这样起点就是（1,1）了，可以用前缀和表示了。那么红色矩阵D=presum[x2][y2]-(A+B)-(A+C)+A，我们将它转化为前缀和的形式，注意不能取到顶点，那么
D=presum[x2][y2]-presum[x1-1][y2]-presum[x2][y1-1]+presum[x1-1][y1-1]
算法实现：
由于前缀和一般用于预处理过程，一般直接在输入的循环内一块处理。下面给大家展示前缀和的C++程序，前面为一维前缀和、后面为二维前缀和处理过程。
#include<iostream> using namespace std; const int N=1005; int n; int a[N],sum[N]; int b[N][N],presum[N][N]; int main(){ //一维前缀和 cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]; sum[i]=sum[i-1]+a[i]; } //sum[i]为前i项的和 //若求[l,r]区间和，可以利用sum[r]-sum[l-1] //例如：[2,5]这个区间和等于sum[5]-sum[1]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]-a[1]=Σa(2~5) //下面可进行其他操作 //二维前缀和 for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++){ cin>>b[i][j]; presum[i][j]=presum[i][j-1]+presum[i-1][j]-presum[i-1][j-1]+b[i][j];//递推关系实现 } } //presum[i][j]为横坐标1——i,1——j子矩阵之和 //若求（x1,y1）到（x2,y2）这个矩阵的值 //sum=presum[x2][y2]-presum[x2][y1-1]-presum[x1-1][y2]+presum[x1-1][y1-1] return 0; }
算法应用：
前缀和是一种在数组或序列中快速计算任意子区间和的技术。通过预先计算每个位置的前缀和，可以迅速得出任意两个位置之间的元素和，而不需要重新遍历整个区间。前缀和在许多算法问题中都有应用，包括但不限于：
- 快速区间查询：快速计算数组中任意两个索引之间的和。
- 动态规划：在需要计算状态转移时，前缀和可以简化计算过程。
- 滑动窗口问题：在需要维护一个固定大小的窗口内元素和的场景中，前缀和可以快速更新窗口的和。
- 股票交易问题：计算股票在特定时间段内的收益。
- 区间更新问题：在需要快速更新区间内元素并计算新区间和的场景中。
算法例题：
由于前缀和算法思想以及实现非常简单，在题目中一般是不会直接考察，都是会跟其他算法结合起来一块考察，由于此篇为了让大家学习前缀和，这里选几道题目比较具有代表性的题目给大家讲解以下，涉及到的其他算法不会太难，请大家放心食用。
洛谷 P1115 最大子段和
题目描述
给出一个长度为 n 的序列 a，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。
输入格式
第一行是一个整数，表示序列的长度 n。
第二行有 n 个整数，第 i 个整数表示序列的第 i 个数字 ai。
输出格式
输出一行一个整数表示答案。
输入
7
2 -4 3 -1 2 -4 3
输出
4
说明/提示
选取 [3,5]子段 {3,−1,2}，其和为 4。
数据规模与约定
- 对于 40% 的数据，保证 n≤2×10^3。
- 对于 100% 的数据，保证 1≤n≤2×10^5，−10^4≤ai≤10^4。
解题思路：
这道题看上去就是考一个一维前缀和，可是事实如此吗？那肯定不是的，但是还是有一点前缀和的思想在里面的，如果我们采用之前上面所说的前缀和，求[l,r]区间最大子段和，我们要枚举l，再去枚举r，这样就需要两个for循环时间复杂度就达到了O（n^2），n最大2e5+5,肯定会TLE的，我们不妨把前缀和定义为presum[i]表示前1~i项最大子段和，不让它考虑前面所有的项，只让它考虑最大子段和的那几项，这样问题就迎刃而解了，实际上这道题还是主要是动态规划的思想。
AC代码：
#include<iostream> using namespace std; const int N=2e5+5; int n; int a[N],presum[N];//presum[i]表示前1~i项最大子段和 int maxx=-0x3f3f3f; int main(){ cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]; presum[i]=max(a[i],presum[i-1]+a[i]);//要么自己要么就与前面的构成子段 maxx=max(maxx,presum[i]); } cout<<maxx<<endl; return 0; }
洛谷 P1114 “非常男女”计划
题目描述
近来，初一年的 XXX 小朋友致力于研究班上同学的配对问题（别想太多，仅是舞伴），通过各种推理和实验，他掌握了大量的实战经验。例如，据他观察，身高相近的人似乎比较合得来。
万圣节来临之际，XXX 准备在学校策划一次大型的 “非常男女” 配对活动。对于这次活动的参与者，XXX 有自己独特的选择方式。他希望能选择男女人数相等且身高都很接近的一些人。这种选择方式实现起来很简单。他让学校的所有人按照身高排成一排，然后从中选出连续的若干个人，使得这些人中男女人数相等。为了使活动更热闹，XXX 当然希望他能选出的人越多越好。请编写程序告诉他，他最多可以选出多少人来。
输入格式
第一行有一个正整数 n (1≤n≤10^5)，代表学校的人数。
第二行有 n 个用空格隔开的数，这些数只能是 0 或 1，其中，0 代表是一个女生 1 代表是一个男生。
输出格式
输出一个非负整数。这个数表示在输入数据中最长的一段男女人数相等的子区间的长度。
如果不存在男女人数相等的子区间，请输出 0。
输入
9
0 1 0 0 0 1 1 0 0
输出
6
解题思路：
这道题看上去无非是求解男生前缀和跟女生前缀和，然后去枚举区间，在枚举区间时，我们采用区间DP的思想，先去枚举区间长度再去枚举区间起点，这样只要找到第一个满足条件的就是最优解，时间复杂度最坏的情况下为O(n^2)，很可惜，这个题测试样例有一个样例刚好卡在了这个点上去了，所以这个样例会TLE，前缀和这样解会TLE一个点，当然这也是一个很好的思路。最优的解法为引入相对差的概念。即a[i]表示第i个位置男生人数-女生人数的差值。那么差值相等的两个位置之间的人数是满足男女相等的。从此统计l[a[i]]和r[a[i]]。特别要注意的是a[0]=0 统计的时候要把0的位置当做差为0的起点。
代码实现：
#include<iostream> using namespace std; const int N=1e5+5; int n; int a[N],boy[N],girl[N]; int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); girl[i]=girl[i-1]+(a[i]==0?1:0);//女生前缀和 boy[i]=boy[i-1]+(a[i]==1?1:0);//男生前缀和 } for(int i=n;i>=0;i--){//枚举区间长度 if(i%2==0){//能够组成一对，必然为偶数 for(int j=1;j<=n-i+1;j++){//枚举区间起点 if(girl[i+j-1]-girl[j-1]==boy[i+j-1]-boy[j-1]){//满足人数相同 cout<<i<<endl;//由于区间长度由大到小枚举，第一次满足的一定是最大的 return 0; } } } } return 0; }
AC代码：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int l[200010],r[200010],sum1,sum0,ans,n; int main() { cin>>n; for (int i=1;i<=n;i++){ int x; cin>>x; sum1+=(x==1), sum0+=(x==0); int t=sum0-sum1+n; if (!l[t]&&t!=n) l[t]=i; else r[t]=i; } for (int i=0;i<=2*n;i++) ans=max(ans,r[i]-l[i]); cout<<ans<<endl; return 0; }
AcWing 503. 借教室
在大学期间，经常需要租借教室。
大到院系举办活动，小到学习小组自习讨论，都需要向学校申请借教室。
教室的大小功能不同，借教室人的身份不同，借教室的手续也不一样。
面对海量租借教室的信息，我们自然希望编程解决这个问题。
我们需要处理接下来 n 天的借教室信息，其中第 i 天学校有 ri 个教室可供租借。
共有 m 份订单，每份订单用三个正整数描述，分别为 dj,sj,tj，表示某租借者需要从第 sj 天到第 tj 天租借教室（包括第 sj 天和第 tj 天），每天需要租借 dj 个教室。
我们假定，租借者对教室的大小、地点没有要求。
即对于每份订单，我们只需要每天提供 dj 个教室，而它们具体是哪些教室，每天是否是相同的教室则不用考虑。
借教室的原则是先到先得，也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。
如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足，则需要停止教室的分配，通知当前申请人修改订单。
这里的无法满足指从第 sj 天到第 tj 天中有至少一天剩余的教室数量不足 dj 个。
现在我们需要知道，是否会有订单无法完全满足。
如果有，需要通知哪一个申请人修改订单。
输入格式
第一行包含两个正整数 n,m，表示天数和订单的数量。
第二行包含 n 个正整数，其中第 i 个数为 ri，表示第 i 天可用于租借的教室数量。
接下来有 m 行，每行包含三个正整数 dj,sj,tj，表示租借的数量，租借开始、结束分别在第几天。
每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。
天数与订单均用从 1 开始的整数编号。
输出格式
如果所有订单均可满足，则输出只有一行，包含一个整数 0。
否则（订单无法完全满足）输出两行，第一行输出一个负整数 −1，第二行输出需要修改订单的申请人编号。
数据范围：
1≤n,m≤10^6
0≤ri,dj≤10^9
1≤sj≤tj≤n
输入样例：
4 3 2 5 4 3 2 1 3 3 2 4 4 2 4
输出样例：
-1 2
解题思路、AC代码：
这道题主要是具有前缀和的处理思想，在真正做这个题目时，需要用其他算法，此题可用差分+二分或者线段树来解，用前缀和来预处理，方便后面的其他算法实现、计算。
对此题有兴趣的可以移步下面链接，会单独出一篇本题题解，本题稍微具有难度，请各位根据自身情况进行学习。
执笔至此，感触彼多，全文将至，落笔为终，感谢大家的支持。
