AI 助理
备案控制台
开发者社区 开发与运维 文章 正文

[二分查找]LeetCode2040:两个有序数组的第 K 小乘积

2024-01-22 50
版权
版权声明：
本文内容由阿里云实名注册用户自发贡献，版权归原作者所有，阿里云开发者社区不拥有其著作权，亦不承担相应法律责任。具体规则请查看《 阿里云开发者社区用户服务协议》和 《阿里云开发者社区知识产权保护指引》。如果您发现本社区中有涉嫌抄袭的内容，填写 侵权投诉表单进行举报，一经查实，本社区将立刻删除涉嫌侵权内容。
简介： [二分查找]LeetCode2040:两个有序数组的第 K 小乘积

题目

给你两个 从小到大排好序 且下标从 0 开始的整数数组 nums1 和 nums2 以及一个整数 k ，请你返回第 k （从 1 开始编号）小的 nums1[i] * nums2[j] 的乘积，其中 0 <= i < nums1.length 且 0 <= j < nums2.length 。

示例 1：

输入：nums1 = [2,5], nums2 = [3,4], k = 2

输出：8

解释：第 2 小的乘积计算如下：

  • nums1[0] * nums2[0] = 2 * 3 = 6
  • nums1[0] * nums2[1] = 2 * 4 = 8
    第 2 小的乘积为 8 。
    示例 2：
    输入：nums1 = [-4,-2,0,3], nums2 = [2,4], k = 6
    输出：0
    解释：第 6 小的乘积计算如下：
  • nums1[0] * nums2[1] = (-4) * 4 = -16
  • nums1[0] * nums2[0] = (-4) * 2 = -8
  • nums1[1] * nums2[1] = (-2) * 4 = -8
  • nums1[1] * nums2[0] = (-2) * 2 = -4
  • nums1[2] * nums2[0] = 0 * 2 = 0
  • nums1[2] * nums2[1] = 0 * 4 = 0
    第 6 小的乘积为 0 。
    示例 3：
    输入：nums1 = [-2,-1,0,1,2], nums2 = [-3,-1,2,4,5], k = 3
    输出：-6
    解释：第 3 小的乘积计算如下：
  • nums1[0] * nums2[4] = (-2) * 5 = -10
  • nums1[0] * nums2[3] = (-2) * 4 = -8
  • nums1[4] * nums2[0] = 2 * (-3) = -6
    第 3 小的乘积为 -6 。
    参数范围：
    1 <= nums1.length, nums2.length <= 5 * 104
    -105 <= nums1[i], nums2[j] <= 105
    1 <= k <= nums1.length * nums2.length
    nums1 和 nums2 都是从小到大排好序的。

两层二分查找

时间复杂度

O(log(max2)nlogn),n是两个数组长度的较大者，max 是两个数组的最大值。

分情况讨论

结果 数组一 数组二
负数 负数 正数
负数 正数 负数
0 0 任意数
0 非0 0
正数 正数 正数
正数 负数 负数

第一层二分

寻找一个符合如下条件的llMul：

乘积小于等于llMul的组合数量大于等于k。

左开右闭空间。

负数的问题

如果乘积为负数，第k小则绝对值第k大。我们可以负数全部转成绝对值，然后倒序，这样可以保证升序。m个数，第k大（从1开始），就是m-k+1小。

变量解释
v11 数组一中的负数的绝对值，升序
v12 数组一中的正数，升序
v21 数组二中的负数的绝对值，升序
v22 数组二中的正数，升序

代码

核心代码

class Solution {
public:
long long kthSmallestProduct(vector& nums1, vector& nums2, long long k) {
auto it1 = std::equal_range(nums1.begin(), nums1.end(), 0);
auto it2 = std::equal_range(nums2.begin(), nums2.end(), 0);
const long long less0Count1 = it1.first - nums1.begin();
const long long i0Count1 = it1.second - it1.first;
const long long great0Count1 = nums1.end() - it1.second;
const long long less0Count2 = it2.first - nums2.begin();
const long long i0Count2 = it2.second - it2.first;
const long long great0Count2 = nums2.end() - it2.second;
const long long llZeroCount = i0Count1 * nums2.size() + i0Count2 * nums1.size() - i0Count1 * i0Count2;
const long long llLess0Cout = less0Count1 * great0Count2 + less0Count2 * great0Count1;
vector v12(it1.second, nums1.end());
vector v22(it2.second, nums2.end());
vector v11 = CopyAndMul(vector(nums1.begin(), it1.first));
vector v21 = CopyAndMul(vector(nums2.begin(), it2.first));
if (k <= llLess0Cout)
{//在负数中找
k = llLess0Cout + 1 - k;
return -DoGreate0(v11, v22, v21, v12, k);
}
k -= llLess0Cout;
if (k <= llZeroCount)
{
return 0;
}
k -= llZeroCount;
return DoGreate0(v11, v21,v12, v22,k);
}
//从升序正数数组中寻找第k小的积： 第一个积小于等于llMul 的数量大于等于k 左开右闭
long long DoGreate0(const vector& nums11,const vector& nums12, const vector& nums21, const vector& nums22, long long k)
{
long long left = 0, right = (long long) 1e10;
while (right - left > 1)
{
const auto mid = left + (right - left) / 2;
int iCnt = 0;
const long long llHas = LessEqual(nums11, nums12, mid) + LessEqual(nums21, nums22, mid);
if (llHas >= k)
{
right = mid;
}
else
{
left = mid;
}
}
return right;
}
long long LessEqual(const vector& nums1, const vector& nums2, long long llMul)
{
long long llCnt = 0;
for (const auto& n : nums2)
{
llCnt += std::upper_bound(nums1.begin(), nums1.end(), llMul / n) - nums1.begin();
}
return llCnt;
}
vector CopyAndMul(const vector& nums)
{
vector vRet(nums.size());
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
vRet[i] = -nums[nums.size() - 1 - i];
}
return vRet;
}
};

测试用例

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i] == v2[i]);
}
}
template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}
int main()
{
vector nums1, nums2;
long long k, res;
{
nums1 = { -2,-1 }, nums2 = { -2,-1 }, k = 4;
Solution slu;
auto res = slu.kthSmallestProduct(nums1, nums2, k);
Assert(4LL, res);
}
{
nums1 = { 2, 5 }, nums2 = { 3, 4 }, k = 2;
Solution slu;
auto res = slu.kthSmallestProduct(nums1, nums2, k);
Assert(8LL, res);
}
{
nums1 = { -4,-2,0,3 }, nums2 = { 2,4 }, k = 6;
Solution slu;
auto res = slu.kthSmallestProduct(nums1, nums2, k);
Assert(0LL, res);
}
{
nums1 = { -2,-1,0,1,2 }, nums2 = { -3,-1,2,4,5 }, k = 3;
Solution slu;
auto res = slu.kthSmallestProduct(nums1, nums2, k);
Assert(-6LL, res);
}
{
nums1 = { 0 }, nums2 = { 0,0,0}, k = 3;
Solution slu;
auto res = slu.kthSmallestProduct(nums1, nums2, k);
Assert(0LL, res);
}
{
nums1 = { 1,2 }, nums2 = { 1,2}, k = 3;
Solution slu;
auto res = slu.kthSmallestProduct(nums1, nums2, k);
Assert(2LL, res);
}
{
nums1 = { 1,10000 };
nums2 = { 1,10000 };
k = 4;
Solution slu;
auto res = slu.kthSmallestProduct(nums1, nums2, k);
Assert(10000* 10000LL, res);
}
//CConsole::Out(res);

}

优化一

确保数组二的长度比数组一短

if (nums1.size() < nums2.size())
    {
      swap(nums1, nums2);
    }

完整函数：

long long LessEqual( vector<int>& nums1,  vector<int>& nums2, long long llMul)
  {
    if (nums1.size() < nums2.size())
    {
      swap(nums1, nums2);
    }
    long long llCnt = 0;
    for (const auto& n : nums2)
    {
      llCnt += std::upper_bound(nums1.begin(), nums1.end(), llMul / n) - nums1.begin();
    }
    return llCnt;
  }

优化二

第二层二分查找可以优化成双指针。这样也不用思考取整之类，容易理解。

long long LessEqual( vector<int>& nums1,  vector<int>& nums2, long long llMul)
  {
    long long llCnt = 0;
    int right = nums1.size()-1;
    for (const auto& n : nums2)
    {
      while ((right >=0 ) && (nums1[right] * (long long)n > llMul))
      {//nums1[0,right]*n 全部小于等于llMul
        right--;
      }
      llCnt += (right+1);
    }
    return llCnt;
  }

优化三

0不必单独考虑。0符合负数的规则：绝对值越大，乘积越小。0也符合正数的规则，觉得值越大，乘积越大。

class Solution {
public:
  long long kthSmallestProduct(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2, long long k) {
    auto it1 = std::lower_bound(nums1.begin(), nums1.end(), 0);
    auto it2 = std::lower_bound(nums2.begin(), nums2.end(), 0);
    vector<int> v12(it1, nums1.end());
    vector<int> v22(it2, nums2.end());
    vector<int> v11 = CopyAndMul(vector<int>(nums1.begin(), it1));
    vector<int> v21 = CopyAndMul(vector<int>(nums2.begin(), it2));
    const long long ll24Count = v11.size() * (long long)v22.size() + (long long)v12.size() * v21.size();
    if (k <= ll24Count)
    {//在负数中找
      k = ll24Count + 1 - k;
      return -DoGreate0(v11, v22, v21, v12, k);
    }
    k -= ll24Count; 
    return DoGreate0(v11, v21,v12, v22,k);
  }
  //从升序正数数组中寻找第k小的积： 第一个积小于等于llMul 的数量大于等于k 左开右闭
  long long DoGreate0( vector<int>& nums11, vector<int>& nums12,  vector<int>& nums21,  vector<int>& nums22, long long k)
  {
    long long left = -1, right = (long long) 1e10;
    while (right - left > 1)
    {
      const auto mid = left + (right - left) / 2;
      const long long llHas = LessEqual(nums11, nums12, mid) + LessEqual(nums21, nums22, mid);
      if (llHas >= k)
      {
        right = mid;
      }
      else
      {
        left = mid;
      }
    }
    return right;
  }
  long long LessEqual( vector<int>& nums1,  vector<int>& nums2, long long llMul)
  {
    long long llCnt = 0;
    int right = nums1.size()-1;
    for (const auto& n : nums2)
    {
      while ((right >=0 ) && (nums1[right] * (long long)n > llMul))
      {//nums1[0,right]*n 全部小于等于llMul
        right--;
      }
      llCnt += (right+1);
    }
    return llCnt;
  }
  vector<int> CopyAndMul(const vector<int>& nums)
  {
    vector<int> vRet(nums.size());
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
    {
      vRet[i] = -nums[nums.size() - 1 - i];
    }
    return vRet;
  }
};

2023年3月版

class CNumHelp
{
public:
CNumHelp(vector& nums) :m_nums(nums)
{
auto it1 = std::equal_range(m_nums.begin(), m_nums.end(), 0);
m_iLess0Num = it1.first - m_nums.begin();
m_i0Num = it1.second - it1.first;
m_iMore0Num = m_nums.end() - it1.second;
m_iLessEqual0Num = m_iLess0Num + m_i0Num;
m_iMoreEqualNum = m_iMore0Num + m_i0Num;
}
vector m_nums;
int m_iLess0Num = 0, m_i0Num = 0, m_iMore0Num = 0;
int m_iLessEqual0Num = 0,m_iMoreEqualNum=0;
};
class ICal
{
public:
virtual long long Cal(long long llMid)const = 0;
};
class CCalMore0 : public ICal
{
public:
CCalMore0(const CNumHelp& help1, const CNumHelp& help2) :m_help1(help1), m_help2(help2)
{
}
 virtual long long Cal(long long llMid)const
 {
   long long llNum = 0;
   for (int i = m_help1.m_iLessEqual0Num; i < m_help1.m_nums.size(); i++)
   {
     int iCurNum = std::upper_bound(m_help2.m_nums.begin(), m_help2.m_nums.end(), llMid / m_help1.m_nums[i]) - m_help2.m_nums.begin() - m_help2.m_iLessEqual0Num;
     llNum += iCurNum;
   }
   for (int i = 0; i < m_help1.m_iLess0Num; i++)
   {
     auto it = std::equal_range(m_help2.m_nums.begin(), m_help2.m_nums.end(), llMid / m_help1.m_nums[i]);
     //auto it2 = (0 == llMid % m_help1.m_nums[i]) ? it.first : it.second;
     auto it2 = it.first;
     llNum += m_help2.m_nums.end() - it2 - m_help2.m_iMoreEqualNum;
   }
   return llNum;
 }

private:

const CNumHelp m_help1;
 const CNumHelp m_help2;
};
class CCalLess0 : public ICal
{
public:
CCalLess0(const CNumHelp& help1, const CNumHelp& help2) :m_help1(help1), m_help2(help2)
{
}
virtual long long Cal(long long llMid)const
{
return Cal(llMid, m_help1, m_help2) + Cal(llMid, m_help2, m_help1);
}
static long long Cal(long long llMid, const CNumHelp& help1, const CNumHelp& help2)
{
long long llNum = 0;
for (int i = help1.m_iLessEqual0Num; i < help1.m_nums.size(); i++)
{
auto it = std::equal_range(help2.m_nums.begin(), help2.m_nums.end(), llMid / help1.m_nums[i]);
auto it2 = (0 == llMid% help1.m_nums[i]) ? it.second : it.first;
int iCurNum = it2 -help2.m_nums.begin();
llNum += iCurNum;
}
return llNum;
}
private:
const CNumHelp m_help1;
const CNumHelp m_help2;
};
class Solution {
public:
long long kthSmallestProduct(vector& nums1, vector& nums2, long long k) {
CNumHelp help1(nums1), help2(nums2);
//const long long llTotal = (long long)nums1.size()nums2.size();
const long long ll0Num = (long long)help1.m_i0Num * nums2.size() + (long long)help2.m_i0Num * nums1.size() - (long long)help1.m_i0Numhelp2.m_i0Num;
const long long llLess0Num = (long long)help1.m_iMore0Num * help2.m_iLess0Num + (long long)help1.m_iLess0Num * help2.m_iMore0Num;
if (k <= llLess0Num)
{
CCalLess0 cal(help1, help2);
return Do(cal, k, (long long)100000 * -100000 - 1,-1);
}
k -= llLess0Num;
if (k <= ll0Num)
{
return 0;
}
k -= ll0Num;
CCalMore0 cal(help1, help2);
return Do(cal, k, 0, (long long)100000 * 100000);
}
long long Do(const ICal& cal, long long k, long long left, long right)
{
while (right > left + 1)
{
const auto llMid = left + (right - left) / 2;
const long long llNum = cal.Cal(llMid);
if (llNum >= k)
{
right = llMid;
}
else
{
left = llMid;
}
}
return right;
}
};

2023年9月

class Solution {
public:
long long kthSmallestProduct(const vector& nums1, const vector& nums2, long long k) {
CalRange(nums1, m_v11, m_v12);
CalRange(nums2, m_v21, m_v22);
const int iZero1Num = nums1.size() - m_v11.size() - m_v12.size();
const int iZero2Num = nums2.size() - m_v21.size() - m_v22.size();
long long llLess0 = (long long)m_v11.size() * m_v22.size() + (long long)m_v21.size() * m_v12.size();
long long ll0 = (long long)nums2.size() * iZero1Num + (long long)nums1.size() * iZero2Num - (long long)iZero1Num * iZero2Num;
if (k <= llLess0)
{//结果是负数
m_v21.swap(m_v22);
return -Do(llLess0 - k + 1);
}
k -= llLess0;
if (k <= ll0)
{
return 0;
}
k -= ll0;
return Do(k);
}
long long Do(long long k)
{
long long left =-(1e10 + 0.5)-1, r = 1e10 + 0.5;
while (r - left > 1)
{
const auto mid = left + (r - left) / 2;
long long llNum = CountEqualLess(m_v11, m_v21,mid) + CountEqualLess(m_v12, m_v22,mid);
if (llNum >= k)
{
r = mid;
}
else
{
left = mid;
}
}
return r;
}
long long CountEqualLess(const vector& nums1, const vector& nums2, long long llMul)
{
long long llCnt = 0;
int r = 0 ;//[0,r)和num2[i]的乘积 < llMul
for (int i =nums2.size()-1; i >= 0 ;i-- )
{
for (; (r < nums1.size() ) && ((long long)nums1[r] * nums2[i] <= llMul); r++);
llCnt += r;
}
return llCnt;
}
static void CalRange(const vector& nums, vector& v1, vector& v2)
{
int i = 0;
for (i = 0; (i < nums.size()) && (nums[i] < 0); i++)
{
v1.emplace_back(-nums[i]);
}
std::reverse(v1.begin(), v1.end());
for (; (i < nums.size()) && (nums[i] == 0); i++);
for (; i < nums.size(); i++)
{
v2.emplace_back(nums[i]);
}
}
vector m_v11, m_v12, m_v21, m_v22;
};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。

https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快

速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程

https://edu.csdn.net/lecturer/6176

相关下载

想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版

https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境：

VS2022 C++17



文章标签：
算法
测试技术
C++
C#
关键词：
LeetCode有序数组
LeetCode乘积
二分查找LeetCode
二分查找LeetCode有序数组乘积
闻缺陷则喜何志丹
目录
相关文章
石小浪♪
|
1月前
leetCode(删除有序数组中的重复项)
如何在不使用额外空间的情况下，通过双指针法原地删除有序数组中的重复项。
石小浪♪
34 2
热爱技术的小郑
|
3月前
|
存储 Java API
LeetCode------合并两个有序数组（4）【数组】
这篇文章介绍了LeetCode上的"合并两个有序数组"问题，并提供了三种解法：第一种是使用Java的Arrays.sort()方法直接对合并后的数组进行排序；第二种是使用辅助数组和双指针技术进行合并；第三种则是从后向前的双指针方法，避免了使用额外的辅助数组。
热爱技术的小郑
36 0
LeetCode------合并两个有序数组（4）【数组】
Codelinghu
|
1月前
【LeetCode 48】108.将有序数组转换为二叉搜索树
【LeetCode 48】108.将有序数组转换为二叉搜索树
Codelinghu
40 0
Codelinghu
|
1月前
【LeetCode 01】二分查找总结
【LeetCode 01】二分查找总结
Codelinghu
14 0
服务端技术栈
|
3月前
|
算法
LeetCode第26题删除有序数组中的重复项
这篇文章介绍了LeetCode第26题"删除有序数组中的重复项"的解题方法，通过使用双指针技巧，高效地去除数组中的相邻重复元素。
服务端技术栈
45 4
LeetCode第26题删除有序数组中的重复项
服务端技术栈
|
3月前
|
算法
LeetCode第80题删除有序数组中的重复项 II
文章介绍了LeetCode第80题"删除有序数组中的重复项 II"的解法，利用双指针技术在O(1)空间复杂度内原地删除重复元素，并总结了双指针技术在处理有序数组问题中的应用。
服务端技术栈
32 1
LeetCode第80题删除有序数组中的重复项 II
服务端技术栈
|
3月前
|
算法
LeetCode第88题合并两个有序数组
文章分享了LeetCode第88题"合并两个有序数组"的解法，通过从后向前的合并策略避免了数组元素的前移，使用三个指针高效地完成了合并过程。
服务端技术栈
32 3
BetterBench
|
3月前
|
Python
【Leetcode刷题Python】108. 将有序数组转换为二叉搜索树
LeetCode上108号问题"将有序数组转换为二叉搜索树"的Python实现，通过递归选取数组中间值作为根节点，构建高度平衡的二叉搜索树。
BetterBench
26 2
yinying293
|
3月前
|
算法 Java
LeetCode初级算法题：环形链表+排列硬币+合并两个有序数组java解法
LeetCode初级算法题：环形链表+排列硬币+合并两个有序数组java解法
yinying293
55 0
yinying293
|
3月前
|
算法 Java 索引
LeetCode初级算法题：寻找数组的中心索引+x的平方根+三个数的最大乘积+Leetcode 149：直线上最多的点数 Java详解
LeetCode初级算法题：寻找数组的中心索引+x的平方根+三个数的最大乘积+Leetcode 149：直线上最多的点数 Java详解
yinying293
37 0