文章目录
一、对角线方法
二、证明自然数集 N 与实数集 R 不存在一一对应关系
三、对角线方法意义
一、对角线方法
数学上使用 对角线方法 证明了一个很重要的数学命题 , 自然数集 与 实数集 不是一一对应的 ;
1874 年 G.Cantor 使用对角线方法证明了上述命题 , 代表人类彻底掌握了无穷的运算 , 是现代数学的开端 ;
( 1874 年之前的数学称为 古典数学 )
二、证明自然数集 N 与实数集 R 不存在一一对应关系
证明过程 : N ≠ R \rm N \not=RN
=R , 自然数集与实数集不存在一一对应 ;
证明的方法是 反证法 ;
假设 : 自然数集 N \rm NN 与 实数集 R \rm RR 之间 , 一定存在一一映射 ;
N \rm NN 可以进行一一枚举出来 , f ( 1 ) , f ( 2 ) , ⋯ , f ( n ) \rm f(1) , f(2) , \cdots , f(n)f(1),f(2),⋯,f(n) ,
f ( n ) \rm f(n)f(n) 对应的是实数 , 将其限制在 [ 0 , 1 ] [0, 1][0,1] 区间内 ;
[ 0 , 1 ] [0, 1][0,1] 之间的实数 , 与整个实数集 一定存在着一一对应关系的 ;
现在证明 自然数集 N \rm NN 与 [ 0 , 1 ] [0, 1][0,1] 区间内的实数 , 不可能存在一一对应 ;
f ( n ) \rm f(n)f(n) 是一个 [ 0 , 1 ] [0, 1][0,1] 区间内的实数 , 则可以写成
f ( 1 ) = 0. a 11 a 12 a 13 a 14 ⋯ \rm f(1) = 0.a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}\cdotsf(1)=0.a
11
a
12
a
13
a
14
⋯ ,
f ( 2 ) = 0. a 21 a 22 a 23 a 24 ⋯ \rm f(2) = 0.a_{21}a_{22}a_{23}a_{24}\cdotsf(2)=0.a
21
a
22
a
23
a
24
⋯
⋮ \vdots⋮
f ( n ) = 0. a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 ⋯ a n n \rm f(n) = 0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}a_{n4}\cdots a_{nn}f(n)=0.a
n1
a
n2
a
n3
a
n4
⋯a
nn
其中 a 1 k a_{1k}a
1k
的值 ( k = 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯ k = 1, 2,3,4, \cdotsk=1,2,3,4,⋯ ) 是 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 0, 1, 2,3,4,5,6,7,8,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中的一个数字 ;
假设存在一个 f ff 是一一映射 , 从自然数集 到 [ 0 , 1 ] [0, 1][0,1] 区间内的实数 之间的映射 ,
对角线上的值 a 11 , a 22 , ⋯ , a n n a_{11} , a_{22} , \cdots , a_{nn}a
11
,a
22
,⋯,a
nn
,
根据对角线上的值设计一个实数 b = b 1 b 2 b 3 ⋯ b n b = b_1b_2b_3\cdots b_nb=b
1
b
2
b
3
⋯b
n
选择 b 1 b_1b
1
一定不等于 a 11 a_{11}a
11
,
选择 b 2 b_2b
2
一定不等于 a 22 a_{22}a
22
,
选择 b n b_nb
n
一定不等于 a n n a_{nn}a
nn
;
如果 自然数集 N \rm NN 与 实数集 R \rm RR 是一一对应 , 那么 一定可以找到一个自然数 k \rm kk , 与实数 b = b 1 b 2 b 3 ⋯ b n b = b_1b_2b_3\cdots b_nb=b
1
b
2
b
3
⋯b
n
一一对应 ;
实数 b = b 1 b 2 b 3 ⋯ b n b = b_1b_2b_3\cdots b_nb=b
1
b
2
b
3
⋯b
n
, 一定等于某个自然数 k \rm kk 对应的 f ( k ) \rm f(k)f(k) ;
现在得到了一个 矛盾 , 设计过程中 b k \rm b_kb
k
肯定不等于 a k k \rm a_{kk}a
kk
, 而 f ( k ) \rm f(k)f(k) 的第 k \rm kk 个数值一定是 a k k \rm a_{kk}a
kk
, 因此这两个值 b = b 1 b 2 b 3 ⋯ b n b = b_1b_2b_3\cdots b_nb=b
1
b
2
b
3
⋯b
n
与 f ( k ) \rm f(k)f(k) 不可能相等 ;
三、对角线方法意义
该证明的证明过程很简单 , 但是该证明在整个人类历史上是非常重要的一个证明 ;
它证明了 自然数的无穷 与 实数的无穷 是两种性质截然不同的无穷 ;
