线性回归

回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。 在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。

在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。 当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。 常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人等）、 预测需求（零售销量等）。 但不是所有的预测都是回归问题。 在后面的章节中，我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。

一、线性回归的基本元素

线性回归（linear regression）可以追溯到19世纪初， 它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。 线性回归基于几个简单的假设： 首先，假设自变量x\mathbf{x}x和因变量yyy之间的关系是线性的， 即yyy可以表示为x\mathbf{x}x中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声； 其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

为了解释线性回归，我们举一个实际的例子： 我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。 为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。 这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。 在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set） 或训练集（training set）。 每行数据（比如一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample）， 也可以称为数据点

（data point）或数据样本（data instance）。 我们把试图预测的目标（比如预测房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。 预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

通常，我们使用nnn来表示数据集中的样本数。 对索引为iii的样本，其输入表示为x(i)=[x1(i),x2(i)]⊤\mathbf{x}^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)}]^\topx(i)=[x1(i),x2(i)]⊤， 其对应的标签是y(i)y^{(i)}y(i)。

1.线性模型

线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：

price=warea⋅area+wage⋅age+b.\mathrm{price} = w_{\mathrm{area}} \cdot \mathrm{area} + w_{\mathrm{age}} \cdot \mathrm{age} + b.price=warea⋅area+wage⋅age+b.:eqlabel:eq_price-area

:eqref:eq_price-area中的wareaw_{\mathrm{area}}warea和wagew_{\mathrm{age}}wage称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。bbb称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。 偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。 即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。 如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。 严格来说， :eqref:eq_price-area是输入特征的一个仿射变换（affine transformation）。 仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation）， 并通过偏置项来进行平移（translation）。

给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重w\mathbf{w}w和偏置bbb， 使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。 输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。

而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。 当我们的输入包含ddd个特征时，我们将预测结果y^\hat{y}y^（通常使用“尖角”符号表示yyy的估计值）表示为：

y^=w1x1+...+wdxd+b.\hat{y} = w_1 x_1 + ... + w_d x_d + b.y^=w1x1+...+wdxd+b.

将所有特征放到向量x∈Rd\mathbf{x} \in \mathbb{R}^dx∈Rd中， 并将所有权重放到向量w∈Rd\mathbf{w} \in \mathbb{R}^dw∈Rd中， 我们可以用点积形式来简洁地表达模型：

y^=w⊤x+b.\hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b.y^=w⊤x+b.:eqlabel:eq_linreg-y

在 :eqref:eq_linreg-y中， 向量x\mathbf{x}x对应于单个数据样本的特征。 用符号表示的矩阵X∈Rn×d\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}X∈Rn×d可以很方便地引用我们整个数据集的nnn个样本。 其中，X\mathbf{X}X的每一行是一个样本，每一列是一种特征。

对于特征集合X\mathbf{X}X，预测值y^∈Rn\hat{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^ny^∈Rn可以通过矩阵-向量乘法表示为：

y^=Xw+b{\hat{\mathbf{y}}} = \mathbf{X} \mathbf{w} + by^=Xw+b

这个过程中的求和将使用广播机制 （广播机制在 :numref:subsec_broadcasting中有详细介绍）。 给定训练数据特征X\mathbf{X}X和对应的已知标签y\mathbf{y}y， 线性回归的目标是找到一组权重向量w\mathbf{w}w和偏置bbb： 当给定从X\mathbf{X}X的同分布中取样的新样本特征时， 这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

虽然我们相信给定x\mathbf{x}x预测yyy的最佳模型会是线性的， 但我们很难找到一个有nnn个样本的真实数据集，其中对于所有的1≤i≤n1 \leq i \leq n1≤i≤n，y(i)y^{(i)}y(i)完全等于w⊤x(i)+b\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)}+bw⊤x(i)+b。 无论我们使用什么手段来观察特征X\mathbf{X}X和标签y\mathbf{y}y， 都可能会出现少量的观测误差。 因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的， 我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

在开始寻找最好的模型参数（model parameters）w\mathbf{w}w和bbb之前， 我们还需要两个东西： （1）一种模型质量的度量方式； （2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

2.损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。 通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。 回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 当样本iii的预测值为y^(i)\hat{y}^{(i)}y^(i)，其相应的真实标签为y(i)y^{(i)}y(i)时， 平方误差可以定义为以下公式：

l(i)(w,b)=12(y^(i)−y(i))2.l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2.l(i)(w,b)=21(y^(i)−y(i))2.

常数12\frac{1}{2}21不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些 （因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。 由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。 为了进一步说明，来看下面的例子。 我们为一维情况下的回归问题绘制图像，如 :numref:fig_fit_linreg所示。

由于平方误差函数中的二次方项， 估计值y^(i)\hat{y}^{(i)}y^(i)和观测值y(i)y^{(i)}y(i)之间较大的差异将导致更大的损失。 为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集nnn个样本上的损失均值（也等价于求和）。

L(w,b)=1n∑i=1nl(i)(w,b)=1n∑i=1n12(w⊤x(i)+b−y(i))2.L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.L(w,b)=n1∑i=1nl(i)(w,b)=n1∑i=1n21(w⊤x(i)+b−y(i))2.

在训练模型时，我们希望寻找一组参数（w∗,b∗\mathbf{w}^*, b^*w∗,b∗）， 这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：

w∗,b∗=argmin⁡w,b L(w,b).\mathbf{w}^*, b^* = \operatorname*{argmin}_{\mathbf{w}, b}\ L(\mathbf{w}, b).w∗,b∗=argminw,bL(w,b).

3.解析解

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。 与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来， 这类解叫作解析解（analytical solution）。 首先，我们将偏置bbb合并到参数w\mathbf{w}w中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。 我们的预测问题是最小化∥y−Xw∥2\|\mathbf{y} -

\mathbf{X}\mathbf{w}\|^2∥y−Xw∥2。 这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。 将损失关于w\mathbf{w}w的导数设为0，得到解析解：

w∗=(X⊤X)−1X⊤y.\mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y}.w∗=(X⊤X)−1X⊤y.

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。 解析解可以进行很好的数学分析，但解析解对问题的限制很严格，导致它无法广泛应用在深度学习里。

4.随机梯度下降

即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。 在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。 因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。

本书中我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法， 这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。 它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量B\mathcal{B}B， 它是由固定数量的训练样本组成的。 然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。 最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数η\etaη，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（∂\partial∂表示偏导数）：

(w,b)←(w,b)−η∣B∣∑i∈B∂(w,b)l(i)(w,b).(\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b).(w,b)←(w,b)−∣B∣η∑i∈B∂(w,b)l(i)(w,b).

总结一下，算法的步骤如下： （1）初始化模型参数的值，如随机初始化； （2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。 对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:

w←w−η∣B∣∑i∈B∂wl(i)(w,b)=w−η∣B∣∑i∈Bx(i)(w⊤x(i)+b−y(i)),b←b−η∣B∣∑i∈B∂bl(i)(w,b)=b−η∣B∣∑i∈B(w⊤x(i)+b−y(i)).\begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}wb←w−∣B∣ηi∈B∑∂wl(i)(w,b)=w−∣B∣ηi∈B∑x(i)(w⊤x(i)+b−y(i)),←b−∣B∣ηi∈B∑∂bl(i)(w,b)=b−∣B∣ηi∈B∑(w⊤x(i)+b−y(i)).

公式 :eqref:eq_linreg_batch_update中的w\mathbf{w}w和x\mathbf{x}x都是向量。 在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如w1,w2,…,wdw_1, w_2, \ldots, w_dw1,w2,…,wd）更具可读性。∣B∣|\mathcal{B}|∣B∣表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。η\etaη表示学习率（learning rate）。 批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。 这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。 超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的， 而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后）， 我们记录下模型参数的估计值，表示为w^,b^\hat{\mathbf{w}}, \hat{b}w^,b^。 但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。 因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。 但是对于像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。 深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。 事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失， 这一挑战被称为泛化（generalization）。

5.用模型进行预测

给定“已学习”的线性回归模型w^⊤x+b^\hat{\mathbf{w}}^\top \mathbf{x} + \hat{b}w^⊤x+b^， 现在我们可以通过房屋面积x1x_1x1和房龄x2x_2x2来估计一个（未包含在训练数据中的）新房屋价格。 给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

本书将尝试坚持使用预测这个词。 虽然推断这个词已经成为深度学习的标准术语，但其实推断这个词有些用词不当。 在统计学中，推断更多地表示基于数据集估计参数。 当深度学习从业者与统计学家交谈时，术语的误用经常导致一些误解。

二、矢量化加速

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。 为了实现这一点，需要(我们对计算进行矢量化， 从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环)。

%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import paddle

为了说明矢量化为什么如此重要，我们考虑(对向量相加的两种方法)。 我们实例化两个全为1的10000维向量。 在一种方法中，我们将使用Python的for循环遍历向量； 在另一种方法中，我们将依赖对+的调用。

n = 10000
a = paddle.ones([n])
b = paddle.ones([n])

由于在本书中我们将频繁地进行运行时间的基准测试，所以[我们定义一个计时器]：

class Timer:  #@save
    """记录多次运行时间。"""
    def __init__(self):
        self.times = []
        self.start()
    def start(self):
        """启动计时器。"""
        self.tik = time.time()
    def stop(self):
        """停止计时器并将时间记录在列表中。"""
        self.times.append(time.time() - self.tik)
        return self.times[-1]
    def avg(self):
        """返回平均时间。"""
        return sum(self.times) / len(self.times)
    def sum(self):
        """返回时间总和。"""
        return sum(self.times)
    def cumsum(self):
        """返回累计时间。"""
        return np.array(self.times).cumsum().tolist()

现在我们可以对工作负载进行基准测试。

首先，[我们使用for循环，每次执行一位的加法]。

c = paddle.zeros([n])
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'

'0.85271 sec'

(或者，我们使用重载的+运算符来计算按元素的和)。

timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'

'0.01487 sec'

结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。 矢量化代码通常会带来数量级的加速。 另外，我们将更多的数学运算放到库中，而无须自己编写那么多的计算，从而减少了出错的可能性。

三、正态分布与平方损失

接下来，我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。

正态分布和线性回归之间的关系很密切。 正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussian distribution）， 最早由德国数学家高斯（Gauss）应用于天文学研究。 简单的说，若随机变量xxx具有均值μ\muμ和方差σ2\sigma^2σ2（标准差σ\sigmaσ），其正态分布概率密度函数如下：

p(x)=12πσ2exp⁡(−12σ2(x−μ)2).p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2\right).p(x)=2πσ21exp(−2σ21(x−μ)2).

下面[我们定义一个Python函数来计算正态分布]。

def normal(x, mu, sigma):
    p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
    return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

from matplotlib import pyplot as plt
from IPython import display
def use_svg_display():
    """Use the svg format to display a plot in Jupyter.
    Defined in :numref:`sec_calculus`"""
    display.set_matplotlib_formats('svg')
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
    """Set the axes for matplotlib.
    Defined in :numref:`sec_calculus`"""
    axes.set_xlabel(xlabel)
    axes.set_ylabel(ylabel)
    axes.set_xscale(xscale)
    axes.set_yscale(yscale)
    axes.set_xlim(xlim)
    axes.set_ylim(ylim)
    if legend:
        axes.legend(legend)
    axes.grid()
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
    """Set the figure size for matplotlib.
    Defined in :numref:`sec_calculus`"""
    use_svg_display()
    plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize

def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
    """Plot data points.
    Defined in :numref:`sec_calculus`"""
    if legend is None:
        legend = []
    set_figsize(figsize)
    axes = axes if axes else plt.gca()
    # Return True if `X` (tensor or list) has 1 axis
    def has_one_axis(X):
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
                and not hasattr(X[0], "__len__"))
    if has_one_axis(X):
        X = [X]
    if Y is None:
        X, Y = [[]] * len(X), X
    elif has_one_axis(Y):
        Y = [Y]
    if len(X) != len(Y):
        X = X * len(Y)
    axes.cla()
    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
        if len(x):
            axes.plot(x, y, fmt)
        else:
            axes.plot(y, fmt)
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)

我们现在(可视化正态分布)。

# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)
# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])

/opt/conda/envs/python35-paddle120-env/lib/python3.7/site-packages/ipykernel_launcher.py:7: DeprecationWarning: `set_matplotlib_formats` is deprecated since IPython 7.23, directly use `matplotlib_inline.backend_inline.set_matplotlib_formats()`
  import sys

就像我们所看到的，改变均值会产生沿xxx轴的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值。

均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是： 我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。 噪声正态分布如下式:

y=w⊤x+b+ϵ,y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon,y=w⊤x+b+ϵ,

其中，ϵ∼N(0,σ2)\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)ϵ∼N(0,σ2)。

因此，我们现在可以写出通过给定的x\mathbf{x}x观测到特定yyy的似然（likelihood）：

P(y∣x)=12πσ2exp⁡(−12σ2(y−w⊤x−b)2).P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right).P(y∣x)=2πσ21exp(−2σ21(y−w⊤x−b)2).

现在，根据极大似然估计法，参数w\mathbf{w}w和bbb的最优值是使整个数据集的似然最大的值：

P(y∣X)=∏i=1np(y(i)∣x(i)).P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}).P(y∣X)=∏i=1np(y(i)∣x(i)).

根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。 虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难， 但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。 由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。 我们可以改为最小化负对数似然−log⁡P(y∣X)-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)−logP(y∣X)。 由此可以得到的数学公式是：

−log⁡P(y∣X)=∑i=1n12log⁡(2πσ2)+12σ2(y(i)−w⊤x(i)−b)2.-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2.−logP(y∣X)=∑i=1n21log(2πσ2)+2σ21(y(i)−w⊤x(i)−b)2.

现在我们只需要假设σ\sigmaσ是某个固定常数就可以忽略第一项， 因为第一项不依赖于w\mathbf{w}w和bbb。 现在第二项除了常数1σ2\frac{1}{\sigma^2}σ21外，其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。 幸运的是，上面式子的解并不依赖于σ\sigmaσ。 因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

四、从线性回归到深度网络

到目前为止，我们只谈论了线性模型。 尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型，我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型， 从而把线性模型看作一个神经网络。 首先，我们用“层”符号来重写这个模型。

1.神经网络图

深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。 在 :numref:fig_single_neuron中，我们将线性回归模型描述为一个神经网络。 需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。

在 :numref:fig_single_neuron所示的神经网络中，输入为x1,…,xdx_1, \ldots, x_dx1,…,xd， 因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimensionality）为ddd。 网络的输出为o1o_1o1，因此输出层中的输出数是1。 需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。 由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。 也就是说， :numref:fig_single_neuron中神经网络的层数为1。 我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。

对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连， 我们将这种变换（ :numref:fig_single_neuron中的输出层） 称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。 下一章将详细讨论由这些层组成的网络。

2.生物学

线性回归发明的时间（1795年）早于计算神经科学，所以将线性回归描述为神经网络似乎不合适。 当控制学家、神经生物学家沃伦·麦库洛奇和沃尔特·皮茨开始开发人工神经元模型时， 他们为什么将线性模型作为一个起点呢？ 我们来看一张图片 :numref:fig_Neuron： 这是一张由树突（dendrites，输入终端）、细胞核（nucleu，CPU）组成的生物神经元图片。轴突（axon，输出线）和轴突端子（axon terminal，输出端子） 通过突触（synapse）与其他神经元连接。

树突中接收到来自其他神经元（或视网膜等环境传感器）的信息xix_ixi。 该信息通过突触权重wiw_iwi来加权，以确定输入的影响（即，通过xiwix_i w_ixiwi相乘来激活或抑制）。 来自多个源的加权输入以加权和y=∑ixiwi+by = \sum_i x_i w_i + by=∑ixiwi+b的形式汇聚在细胞核中， 然后将这些信息发送到轴突yyy中进一步处理，通常会通过σ(y)\sigma(y)σ(y)进行一些非线性处理。 之后，它要么到达目的地（例如肌肉），要么通过树突进入另一个神经元。

当然，许多这样的单元可以通过正确连接和正确的学习算法拼凑在一起， 从而产生的行为会比单独一个神经元所产生的行为更有趣、更复杂， 这种想法归功于我们对真实生物神经系统的研究。

当今大多数深度学习的研究几乎没有直接从神经科学中获得灵感。 我们援引斯图尔特·罗素和彼得·诺维格谁，在他们的经典人工智能教科书Artificial Intelligence:A Modern Approach :cite:Russell.Norvig.2016中所说：虽然飞机可能受到鸟类的启发，但几个世纪以来，鸟类学并不是航空创新的主要驱动力。 同样地，如今在深度学习中的灵感同样或更多地来自数学、统计学和计算机科学。

五、小结

• 机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法，还有模型本身。
• 矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。
• 最小化目标函数和执行极大似然估计等价。
• 线性回归模型也是一个简单的神经网络。