设 $f:[0,1]\to [0,1]$ 是 $C^2$ 函数, $f(0)=f(1)=0$, 且 $f''(x)<0$, $\forall\ x\in [0,1]$. 记曲线 $\sed{(x,f(x));\ x\in [0,1]}$ 的长度为 $L$. 证明: $L<3$.
证明: 由 Rolle 定理, $$\bex \exists\ \xi\in (0,1),\st f'(\xi)=0. \eex$$ 又由 $f''<0$ 知 $$\bex f'(x)\sedd{\ba{ll}>0,&0<x<\xi,\\ <0,&\xi<x<1.\ea} \eex$$ 于是 $$\beex \bea L&=\int_0^1 \sqrt{1+f'^2(x)}\rd x\\ &=\int_0^\xi +\int_\xi^1 \sqrt{1+f'^2(x)}\rd x\\ &<\int_0^\xi [1+f'(x)]\rd x+\int_{\xi}^1 [1-f'(x)]\rd x\\ &=\xi+f(\xi)-f(0)+(1-\xi)-[f(1)-f(\xi)]\\ &=1+2f(\xi)\\ &\leq 3. \eea \eeex$$
