设 f:[0,1]→[0,1] 是 C2 函数, f(0)=f(1)=0, 且 f″(x)<0, ∀ x∈[0,1]. 记曲线 \sed(x,f(x)); x∈[0,1] 的长度为 L. 证明: L<3.
证明: 由 Rolle 定理, \bex∃ ξ∈(0,1),\stf′(ξ)=0.\eex 又由 f″<0 知 \bex f'(x)\sedd{\ba{ll}>0,&0<x<\xi,\\ <0,&\xi<x<1.\ea} \eex 于是 \beex \bea L&=\int_0^1 \sqrt{1+f'^2(x)}\rd x\\ &=\int_0^\xi +\int_\xi^1 \sqrt{1+f'^2(x)}\rd x\\ &<\int_0^\xi [1+f'(x)]\rd x+\int_{\xi}^1 [1-f'(x)]\rd x\\ &=\xi+f(\xi)-f(0)+(1-\xi)-[f(1)-f(\xi)]\\ &=1+2f(\xi)\\ &\leq 3. \eea \eeex