弧长估计

设 $f:[0,1]\to [0,1]$ 是 $C^2$ 函数, $f(0)=f(1)=0$, 且 $f''(x)<0$, $\forall\ x\in [0,1]$. 记曲线 $\sed{(x,f(x));\ x\in [0,1]}$ 的长度为 $L$. 证明: $L<3$.    

证明:  由 Rolle 定理, 

$$\bex  \exists\ \xi\in (0,1),\st f'(\xi)=0.  \eex$$   又由 $f''<0$ 知  $$\bex  f'(x)\sedd{\ba{ll}>0,&0<x<\xi,\\  <0,&\xi<x<1.\ea}  \eex$$   于是  $$\beex  \bea  L&=\int_0^1 \sqrt{1+f'^2(x)}\rd x\\  &=\int_0^\xi +\int_\xi^1 \sqrt{1+f'^2(x)}\rd x\\  &<\int_0^\xi [1+f'(x)]\rd x+\int_{\xi}^1 [1-f'(x)]\rd x\\  &=\xi+f(\xi)-f(0)+(1-\xi)-[f(1)-f(\xi)]\\  &=1+2f(\xi)\\  &\leq 3.  \eea  \eeex$$