设 $f(x)$ 在区间 $[0,\pi]$ 上连续, 且 $\dps{\int_0^\pi f(x)\rd x=\int_0^\pi f(x)\cos x\rd x=0}$, 求证在 $(0,\pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1,\xi_2$, 使得 $f(\xi_1)=f(\xi_2)=0$.
证明: 设 $$\bex F(x)=\int_0^xf(t)\rd t, \eex$$ 则 $F(0)=F(\pi)=0$, 且 $$\bex 0=\int_0^\pi f(x)\cos x\rd x =\int_0^\pi \cos x\rd F(x) =-\int_0^\pi (-\sin x)F(x)\rd x, \eex$$ 而由积分中值定理, $$\bex \exists\ \xi \in (0,\pi),\st 0=F(\xi)\sin \xi\ra 0=F(\xi). \eex$$ 应用 Rolle 定理即有 $0<\xi_1<\xi<\xi_2<\pi$, 使得 $$\bex \ba{cccc} F'(\xi_1)&=&F'(\xi_2)&=0\\ ||&&||&\\ f(\xi_1)&&f(\xi_2)& \ea \eex$$
