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用代码实现几种排序算法的时间复杂度比较

用代码实现几种排序算法的时间复杂度比较

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知与谁同 2018-07-15 19:47:11 1546 0
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  • 一、简单排序算法
      由于程序比较简单,所以没有加什么注释。所有的程序都给出了完整的运行代码,并在我的VC环境
      下运行通过。因为没有涉及MFC和WINDOWS的内容,所以在BORLAND C++的平台上应该也不会有什么
      问题的。在代码的后面给出了运行过程示意,希望对理解有帮助。
    1.冒泡法:
      这是最原始,也是众所周知的最慢的算法了。他的名字的由来因为它的工作看来象是冒泡:
      #include <iostream>
      using namespace std;
      void BubbleSort(int * pData, int Count)
      {
      int iTemp;
      for (int i=0; i<Count; i++)
      {
      for (int j=Count-1; j>i; j--)
      {
      if (pData[j]<pData[j-1])
      {
      iTemp = pData[j-1];
      pData[j-1] = pData[j];
      pData[j] = iTemp;
      }
      }
      }
      }
      void main()
      {
      int data[7] = {10,9,8,7,6,5,4};
      BubbleSort(data,7);
      for (int i=0; i<7; i++)
      {
      cout<<data[i]<<" ";
      }
      cout<<endl;
      system("PAUSE");
      }
      倒序(最糟情况)
      第一轮:10,9,8,7->10,9,7,8->10,7,9,8->7,10,9,8(交换3次)
      第二轮:7,10,9,8->7,10,8,9->7,8,10,9(交换2次)
      第一轮:7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次)
      循环次数:6次
      交换次数:6次
      其他:
      第一轮:8,10,7,9->8,10,7,9->8,7,10,9->7,8,10,9(交换2次)
      第二轮:7,8,10,9->7,8,10,9->7,8,10,9(交换0次)
      第一轮:7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次)
      循环次数:6次
      交换次数:3次
      上面我们给出了程序段,现在我们分析它:这里,影响我们算法性能的主要部分是循环和交换,
      显然,次数越多,性能就越差。从上面的程序我们可以看出循环的次数是固定的,为1+2+...+n-1。
      写成公式就是1/2*(n-1)*n。
      现在注意,我们给出O方法的定义:
      若存在一常量K和起点n0,使当n>=n0时,有f(n)<=K*g(n),则f(n) = O(g(n))。(呵呵,不要说没学好数学呀,对于编程数学是非常重要的。。。)
      现在我们来看1/2*(n-1)*n,当K=1/2,n0=1,g(n)=n*n时,1/2*(n-1)*n<=1/2*n*n=K*g(n)。所以f(n)
      =O(g(n))=O(n*n)。所以我们程序循环的复杂度为O(n*n)。
      再看交换。从程序后面所跟的表可以看到,两种情况的循环相同,交换不同。其实交换本身同数据源的
      有序程度有极大的关系,当数据处于倒序的情况时,交换次数同循环一样(每次循环判断都会交换),
      复杂度为O(n*n)。当数据为正序,将不会有交换。复杂度为O(0)。乱序时处于中间状态。正是由于这样的
      原因,我们通常都是通过循环次数来对比算法。
    2.交换法:
      交换法的程序最清晰简单,每次用当前的元素一一的同其后的元素比较并交换。
      #include <iostream.h>
      void ExchangeSort(int* pData,int Count)
      {
      int iTemp;
      for(int i=0;i<Count-1;i++)
      { //共(count-1)轮,每轮得到一个最小值
      for(int j=i+1;j<Count;j++)
      { //每次从剩下的数字中寻找最小值,于当前最小值相比,如果小则交换
      if(pData[j]9,10,8,7->8,10,9,7->7,10,9,8(交换3次)
      第二轮:7,10,9,8->7,9,10,8->7,8,10,9(交换2次)
      第一轮:7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次)
      循环次数:6次
      交换次数:6次
      其他:
      第一轮:8,10,7,9->8,10,7,9->7,10,8,9->7,10,8,9(交换1次)
      第二轮:7,10,8,9->7,8,10,9->7,8,10,9(交换1次)
      第一轮:7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次)
      循环次数:6次
      交换次数:3次
      从运行的表格来看,交换几乎和冒泡一样糟。事实确实如此。循环次数和冒泡一样
      也是1/2*(n-1)*n,所以算法的复杂度仍然是O(n*n)。由于我们无法给出所有的情况,所以
      只能直接告诉大家他们在交换上面也是一样的糟糕(在某些情况下稍好,在某些情况下稍差)。
    3.选择法:
      现在我们终于可以看到一点希望:选择法,这种方法提高了一点性能(某些情况下)
      这种方法类似我们人为的排序习惯:从数据中选择最小的同第一个值交换,在从省下的部分中
      选择最小的与第二个交换,这样往复下去。
      #include <iostream.h>
      void SelectSort(int* pData,int Count)
      {
      int iTemp;
      int iPos;
      for(int i=0;i<Count-1;i++)
      {
      iTemp = pData;
      iPos = i;
      for(int j=i+1;j<Count;j++)
      {
      if(pData[j]<iTemp)
      {
      iTemp = pData[j];
      iPos = j;
      }
      }
      pData[iPos] = pData;
      pData = iTemp;
      }
      }
      void main()
      {
      int data[] = {10,9,8,7,6,5,4};
      SelectSort(data,7);
      for (int i=0;i<7;i++)
      cout<<data<<" ";
      cout<<"\n";
      }
      倒序(最糟情况)
      第一轮:10,9,8,7->(iTemp=9)10,9,8,7->(iTemp=8)10,9,8,7->(iTemp=7)7,9,8,10(交换1次)
      第二轮:7,9,8,10->7,9,8,10(iTemp=8)->(iTemp=8)7,8,9,10(交换1次)
      第一轮:7,8,9,10->(iTemp=9)7,8,9,10(交换0次)
      循环次数:6次
      交换次数:2次
      其他:
      第一轮:8,10,7,9->(iTemp=8)8,10,7,9->(iTemp=7)8,10,7,9->(iTemp=7)7,10,8,9(交换1次)
      第二轮:7,10,8,9->(iTemp=8)7,10,8,9->(iTemp=8)7,8,10,9(交换1次)
      第一轮:7,8,10,9->(iTemp=9)7,8,9,10(交换1次)
      循环次数:6次
      交换次数:3次
      遗憾的是算法需要的循环次数依然是1/2*(n-1)*n。所以算法复杂度为O(n*n)。
      我们来看他的交换。由于每次外层循环只产生一次交换(只有一个最小值)。所以f(n)<=n
      所以我们有f(n)=O(n)。所以,在数据较乱的时候,可以减少一定的交换次数。
    4.插入法:
      插入法较为复杂,它的基本工作原理是抽出牌,在前面的牌中寻找相应的位置插入,然后继续下一张
      #include <iostream.h>
      void InsertSort(int* pData,int Count)
      {
      int iTemp;
      int iPos;
      for(int i=1;i<Count;i++)
      {
      iTemp = pData[i]; //保存要插入的数
      iPos = i-1; //被插入的数组数字个数
      while((iPos>=0) && (iTemp9,10,8,7(交换1次)(循环1次)
      第二轮:9,10,8,7->8,9,10,7(交换1次)(循环2次)
      第一轮:8,9,10,7->7,8,9,10(交换1次)(循环3次)
      循环次数:6次
      交换次数:3次
      其他:
      第一轮:8,10,7,9->8,10,7,9(交换0次)(循环1次)
      第二轮:8,10,7,9->7,8,10,9(交换1次)(循环2次)
      第一轮:7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次)(循环1次)
      循环次数:4次
      交换次数:2次
      上面结尾的行为分析事实上造成了一种假象,让我们认为这种算法是简单算法中最好的,其实不是,
      因为其循环次数虽然并不固定,我们仍可以使用O方法。从上面的结果可以看出,循环的次数f(n)<=
      1/2*n*(n-1)<=1/2*n*n。所以其复杂度仍为O(n*n)(这里说明一下,其实如果不是为了展示这些简单
      排序的不同,交换次数仍然可以这样推导)。现在看交换,从外观上看,交换次数是O(n)(推导类似
      选择法),但我们每次要进行与内层循环相同次数的‘=’操作。正常的一次交换我们需要三次‘=’
      而这里显然多了一些,所以我们浪费了时间。
      最终,我个人认为,在简单排序算法中,选择法是最好的。
    二、高级排序算法
      高级排序算法中我们将只介绍这一种,同时也是目前我所知道(我看过的资料中)的最快的。
      它的工作看起来仍然象一个二叉树。首先我们选择一个中间值middle程序中我们使用数组中间值,然后
      把比它小的放在左边,大的放在右边(具体的实现是从两边找,找到一对后交换)。然后对两边分别使
      用这个过程(最容易的方法——递归)。
      1.快速排序:
      #include <iostream.h>
      void run(int* pData,int left,int right)
      {
      int i,j;
      int middle,iTemp;
      i = left;
      j = right;
      middle = pData[left];
      do{
      while((pData[i]<middle) && (i<right))//从左扫描大于中值的数
      i++; 
      while((pData[j]>middle) && (j>left))//从右扫描大于中值的数
      j--;
      if(i<=j)//找到了一对值
      {
      //交换
      iTemp = pData[i];
      pData[i] = pData[j];
      pData[j] = iTemp;
      i++;
      j--;
      }
      }while(i<=j);//如果两边扫描的下标交错,就停止(完成一次)
      //当左边部分有值(left<j),递归左半边
      if(left<j)
      run(pData,left,j);
      //当右边部分有值(right>i),递归右半边
      if(right>i)
      run(pData,i,right);
      }
      void QuickSort(int* pData,int Count)
      {
      run(pData,0,Count-1);
      }
      void main()
      {
      int data[] = {10,9,8,7,6,5,4};
      QuickSort(data,7);
      for (int i=0;i<7;i++)
      cout<<data<<" ";
      cout<<"\n";
      }
      这里我没有给出行为的分析,因为这个很简单,我们直接来分析算法:首先我们考虑最理想的情况
      1.数组的大小是2的幂,这样分下去始终可以被2整除。假设为2的k次方,即k=log2(n)。
      2.每次我们选择的值刚好是中间值,这样,数组才可以被等分。
      第一层递归,循环n次,第二层循环2*(n/2)......
      所以共有n+2(n/2)+4(n/4)+...+n*(n/n) = n+n+n+...+n=k*n=log2(n)*n
      所以算法复杂度为O(log2(n)*n)
      其他的情况只会比这种情况差,最差的情况是每次选择到的middle都是最小值或最大值,那么他将变
      成交换法(由于使用了递归,情况更糟)。但是你认为这种情况发生的几率有多大。。呵呵,你完全
      不必担心这个问题。实践证明,大多数的情况,快速排序总是最好的。
      如果你担心这个问题,你可以使用堆排序,这是一种稳定的O(log2(n)*n)算法,但是通常情况下速度要慢
    2019-07-17 22:50:08
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