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递归算法的时间复杂度 7月2日 【今日算法】

很多同学对递归算法的时间复杂度都不甚了解

同一道题目,同样使用递归算法,有的同学写出了O(n)的代码,有的同学就写出了O(logn)的代码

这是为什么呢, 就是因为对递归的时间复杂度理解的不够深入导致的

如果恰巧正在读本文的你也对递归算法的时间复杂度懵懵懂懂,请认真读完本篇文章,一定会有所收获

这里我想通过一道简单的面试题,来带大家逐步分析递归算法的时间复杂度,最后找出最优解。

来看一下这道面试题:求x的n次方

大家想一下这么简单的一道题目 代码应该如何写。

最直观的方式应该就是,一个for循环求出结果,代码如下

int function1(int x, int n) {
    int result = 1;  // 注意 任何数的0次方等于1
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        result = result * x;
    }
    return result;
}

时间复杂度为O(n)

此时面试官会说,有没有效率更好的算法呢。

如果同学们此时没有思路,建议不要说:我不会,我不知道。可以和面试官探讨一下,问:可不可以给点提示。

面试官一般会提示:考虑一下递归算法

有的同学就写出了如下这样的一个递归的算法,使用递归解决了这个问题

int function2(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1; // return 1 同样是因为0次方是等于1的
    }
    return function2(x, n - 1) * x;
}

面试官问:那么这份代码的时间复杂度是多少?

有的同学可能一看到递归就想到了logn,其实并不是这样

递归算法的时间复杂度本质上是要看: 递归的次数 * 每次递归中的操作次数

那我们再来看代码,我们递归了几次呢。

每次n-1,递归了n次 时间复杂度是O(n),每次进行了一个乘法操作,乘法操作的时间复杂度一个常数项O(1)

所以这份代码的时间复杂度是 n * 1 = O(n)

这个时间复杂度可能就没有达到面试官的预期。

于是同学又写出了这样的一个递归的算法的代码如下 ,来求 x的n次方

int function3(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 1) {
        return function3(x, n/2) * function3(x, n/2)*x;
    }
    return function3(x, n/2) * function3(x, n/2);
}

面试官看到后微微一笑,问这份代码的时间复杂度又是多少呢?

我们来分析一下

首先看递归了多少次呢,可以把递归的次数 抽象出一颗满二叉树。

我们刚刚写的这个算法,可以用一颗满二叉树来表示(为了方便表示 我选择n为偶数),如图:

1_ys.png

当前这颗二叉树就是求x的n次方,n为16的情况

n为16的时候 我们进行了多少次乘法运算呢

这棵树上每一个节点就代表着一次递归并进行了一次相乘操作

所以 进行了多少次递归的话,就是看这棵树上有多少个节点。

熟悉二叉树的同学应该知道如何求满二叉树节点数量

这颗满二叉树的节点数量就是2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 15

有同学就会发现 这其实是等比数列的求和公式, 如果不理解的同学可以直接记下来这个结论。

这个结论在二叉树相关的面试题里也经常出现。

这么如果是求x的n次方,这个递归树有多少个节点呢,如下图所示

2_ys.png

时间复杂度忽略掉常数项-1之后,我们发现这个递归算法的时间复杂度依然是O(n)。

此时面试官就会问, 貌似这个递归的算法依然还是O(n)啊, 很明显没有达到面试官的预期

那么在思考一下 O(logn)的递归算法应该怎么写

这里在提示一下 上面刚刚给出的那份递归算法的代码,是不是有哪里比较冗余呢。

来看这份优化后的递归算法代码

int function4(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    int t = function4(x, n/2);// 这里相对于function3,是把这个递归操作抽取出来
    if (n % 2 == 1) {
        return t*t*x;
    }
    return t*t;
}

那我们看一下 时间复杂度是多少

依然还是看他递归了多少次

我们可以看到 这里仅仅有一个递归调用,且每次都是 n/2

所以这里我们一共调用了 log以2为底n的对数次

每次递归了做都是一次乘法操作,这也是一个常数项的操作,

所以说这个递归算法的时间复杂度才是真正的O(logn)。

如果同学们最后写出了这样的代码并且时间复杂度分析的非常清晰,相信面试官是比较满意的。

最后希望通过这么一个简单的面试题,让大家真正了解了递归算法的时间复杂度该如何分析。

来源 | 代码随想录

作者 | 代码随想录

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游客ih62co2qqq5ww 2020-07-03 00:07:27 5640 0
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