例题1
下面给出一个对称矩阵：
求：
这是这个矩阵的上三角加对角线求和，因为是对称的嘛，可以补全下三角，加上对角线就行了。
所以
例题2
下面再看一个例子：
同样模仿上例调换 j,k 位置，得到：
所以
至此解完，然后可以推出一个著名的不等式————切比雪夫不等式：
如果
那么
反之如果
那么
更一般的结论，给定两个序列 a 和 b ，求下面式子最大值与最小值：
其中 
是 
的一个排列。
答案是 b 增序最大，降序最小，至于为什么，下面给出两种证明方法。
方法1
如上图所示， a 和 b 按照递增顺序排列，每个方格的面积代表 ai 与 bi 的乘积，记为 
。
那么上面的求和式其实就是每一行每一列都必须有且只有一块被取。
考虑第一行，如果不取 
，取其他的 
，那么第一列也只能取其他的 
，这样的话 
也就取不了了。但是发现
并且两种取法影响的行和列都是相同的，这说明了，取 
和 
不如取 
和 
。所以 
必取，然后第一行第一列就不能取了。剩下的方阵用相同的方法可以得出必取 
，也就是主对角线。
同理最小取法用副对角线可以推出。
