一、时间复杂度
编程实现算法后，算法就是由一组语句构成，算法的执行效率就由各语句执行的次数所决定。一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比，把时间复杂度记为 ，一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是关于模块 的一个函数 ，因此，可以把算法的时间复杂度记做： 。
随着模块 的增大，算法执行的时间的增长率和 的增长率成正比，所以 越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。
研究复杂度的目的是要比较两个算法的效率的高低，并不需要仔细分析这个算法比那个算法多几次运算那么清，所以采用渐近复杂度分析来比较算法的效率。
在分析算法的时间复杂度时，一般都会规定各种输入情况得出最好情况下 、最坏情况下 和平均情况下 。
1. 求绝对值
求一个整数的绝对值，代码如下：
public static int abs(int a) { return a < 0 ? -a : a; }
该代码中只有一条运算指令语句，时间复杂度为 。
2. 数组求和
对数组内所有整数求和，代码如下：
public static int sum(int[] a) { int s = 0; for (int i : a) { s += i; } return s; }
如果输入数组的大小为 ，执行语句中初始化赋值需要时间 ，循环语句中的赋值操作需要时间为 ，所以语句执行的时间为：
该时间复杂度随着规模大小趋势如下：
3. 二分查找
使用二分法在有序数组中找到某个元素的位置，代码如下：
public static int binarySearch(int[] a, int b) { int i, r = 0, l = a.length; while (r <= l) { i = (r + l) / 2; if (a[i] < b) { r = i + 1; } else if (a[i] > b) { l = i - 1; } else { return i; } } return -1; }
假设这个循环执行了 次，每一次循环都会将规模 除以 2：
- 第 1 次，规模为 ；
- 第 2 次，规模为 ；
- 第 3 次，规模为 ；
- 第 次，规模为 。
当 的时候，查找结束，所以需要满足 ，简化后得 ，所以二分查找的时间复杂度为 。
4. 冒泡排序
使用冒泡算法对整型数组进行排序，代码实现如下：
public static int[] bubbleSort(int[] a) { int temp; for (int i = 0; i < a.length - 1; i++) { for (int j = 0; j < a.length - 1 - i; j++) { if (a[j] > a[j + 1]) { temp = a[j]; a[j] = a[j + 1]; a[j + 1] = temp; } } } return a; }
两层循环中比较的次数为 ，根据等差数列求和公式得出结果为 ，忽略低次项，所以该算法的时间复杂度为 。
不是时间复杂越低的越好，要考虑数据规模，如果数据规模很小，甚至可以用 的算法比 的更合适。
二、空间复杂度
衡量算法性能的另一个重要方面，就是算法需要使用的存储空间量，即算法空间复杂度。我们希望对于同样的输入规模，在时间复杂度相同的前提下，算法所占的空间越少越好。
每次基本操作只会涉及到常数规模的空间，所以在分析和讨论算法时，只关注时间复杂度。当然，空间复杂度在对空间效率非常在乎的应用场景时，或者是问题的输入规模极为庞大时，也有其存在的意义。
