1 梯度

1.1 定义

梯度：是一个矢量，其方向上的方向导数最大，其大小正好是此最大方向导数。

关于梯度的更多介绍请看：如何直观形象的理解方向导数与梯度以及它们之间的关系？

1.2 计算

一个标量函数φ的梯度记为：

在三维直角坐标系中表示为：

1.3 范例

2 梯度下降法

2.1 定义

梯度下降法（英语：Gradient descent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最速下降法。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。

2.2 描述

梯度下降法基于以下观察的：如果实值函数F(x)在a处可微且有定义，那么函数F(x)在a点沿着梯度相反的方向-▽F(a)下降最快。

因而，假设

对于γ>0为一个够小数值时成立，那么F(a)≥F(b)。

考虑到这一点，我们可以从函数F的局部极小值的初始估计x₀出发，考虑到如下序列x₀,x₁,x₂,....使得：

因此可以得到

如果顺利的话，序列(x_n)收敛到期望的极值。注意每次迭代的γ可以改变。

下面的这张图片展示了这一过程，这里假设F定义在平面上，并且函数图像是一个碗形。蓝色的曲线是等高线，即函数F为常数的集合构成的曲线。红色的箭头指向该点梯度的反方向。（一点处的梯度方向与通过该点的等高线垂直）。沿着梯度下降方向，将最终到达碗底，即函数F值最小的点。

2.3 实例

梯度下降法处理一些复杂的非线性函数会出现问题，例如Rosenbrock函数

其最小值在(x,y)=(1,1)处，数值为f(x,y)=0。优化过程是之字形的向极小值点靠近，速度非常缓慢。

2.4 梯度下降算法的原理

• 微分
  
  

单变量的微分

关于x和y的复合变量微分

• 什么是梯度
  J(θ)是关于θ的一个函数，那么关于θ的梯度如下图所示：
  
  
  
  其实是一个有方向的向量，代表函数变化最快的方向

• 如何使用梯度来更新参数
  就如在很多文章中将梯度下降算法比喻为一个人以最快的速度下山，同时要保证速度最快，方向是正确的。如下图所示，θ⁰是最初的位置，θ¹是我们要到达的第二个位置，计算公式为下图：

• 关于α

α为学习率即参数到达最优值过程的速度快慢，如Andrew Ng的Stanford公开课程所说，假如你从山峰的最高点根据梯度下降法寻找最优值，当你学习率过大，即下降的快，步子大，那么你很可能会在某一步跨过最优值，当你学习率过小时，每次下降一厘米，这将走到何年何月呀，用术语来说就是，长时间无法收敛。因此，学习率直接决定着学习算法的性能表现。

https://blog.csdn.net/john_kai/article/details/72861731

如下图所示：

• 梯度计算实例
  
  

3代码实现

参考：

import numpy as np
# Size of the points dataset.
m = 20
# Points x-coordinate and dummy value (x0, x1).
X0 = np.ones((m, 1))
X1 = np.arange(1, m+1).reshape(m, 1)
X = np.hstack((X0, X1))
# Points y-coordinate
y = np.array([
    3, 4, 5, 5, 2, 4, 7, 8, 11, 8, 12,
    11, 13, 13, 16, 17, 18, 17, 19, 21
]).reshape(m, 1)
# The Learning Rate alpha.
alpha = 0.01
def error_function(theta, X, y):
    '''Error function J definition.'''
    diff = np.dot(X, theta) - y
    return (1./2*m) * np.dot(np.transpose(diff), diff)
def gradient_function(theta, X, y):
    '''Gradient of the function J definition.'''
    diff = np.dot(X, theta) - y
    return (1./m) * np.dot(np.transpose(X), diff)
def gradient_descent(X, y, alpha):
    '''Perform gradient descent.'''
    theta = np.array([1, 1]).reshape(2, 1)
    gradient = gradient_function(theta, X, y)
    while not np.all(np.absolute(gradient) <= 1e-5):
        theta = theta - alpha * gradient
        gradient = gradient_function(theta, X, y)
    return theta
optimal = gradient_descent(X, y, alpha)
print('optimal:', optimal)
print('error function:', error_function(optimal, X, y)[0,0])

• Gradient Descent lecture notes from UD262 Udacity Georgia Tech ML Course.
  
• 深入浅出--梯度下降法及其实现
  这篇文章关于梯度下降算法讲解比较清洗和透彻，其中也有关于学习率的介绍
  
• 梯度下降算法以及其Python实现
  
• 梯度下降法