RSA算法中密钥对可交换使用的证明

本文涉及的产品
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简介:

【前言】RSA算法研究中的一点随笔

RSA算法简述(类C风格描述):
    设P、Q为2个大素数;
    N=P*Q;
    T=(P-1)*(Q-1);
    找到某数E,使其满足E与T互素(E与T的公约数只有1);
    找到某数D,使其满足(E*D) % T == 1;
    则:(D、N)与(E、N)即为可互换的加密(解密)密钥对。

设加密明文为 M, 加密后的密文为C。下面过程假设(E、N)为加密用的公钥,(D、N)为解密用的私钥。
加密:C= (M的E次幂) % N;
解密:M= (C的E次幂) % N;

证明(D、N)与(E、N)即为可互换的加密(解密)密钥对:
如(D、N)与(E、N)可互换,需满足如下2个条件:

1、(D*E) % T == 1;
证明:((E*D) % T ) == ((D*E) % T);

2、需满足D也与T互素

证明:假证D与T不互素,则可描述:
    D==a1*X;(X>1)
    T==a2*X;(X>1)
由(D*E) % T == 1;    
==> (a1*X*E) % (a2*X) ==1;
==> a1*X*E == b*a2*X+1;
==> (a1*E-b*a2)*X==1;
==> X只能==1,且 a1*E-b*a2==1,如X==1,即反证失败。

证明完成










本文转自 张宇 51CTO博客,原文链接:http://blog.51cto.com/zhangyu/663378,如需转载请自行联系原作者
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