学习目标
🍀 知道常见优化方法的问题及解决方案
传统的梯度下降优化算法中，可能会碰到以下情况：
碰到平缓区域，梯度值较小，参数优化变慢 碰到 “鞍点” ，梯度为 0，参数无法优化 碰到局部最小值 对于这些问题, 出现了一些对梯度下降算法的优化方法.
例如：Momentum、AdaGrad、RMSprop、Adam 等.
🍔 指数加权平均
我们最常见的算数平均指的是将所有数加起来除以数的个数，每个数的权重是相同的。加权平均指的是给每个数赋予不同的权重求得平均数。移动平均数，指的是计算最近邻的 N 个数来获得平均数。
指数移动加权平均则是参考各数值，并且各数值的权重都不同，距离越远的数字对平均数计算的贡献就越小（权重较小），距离越近则对平均数的计算贡献就越大（权重越大）。
比如：明天气温怎么样，和昨天气温有很大关系，而和一个月前的气温关系就小一些。
计算公式可以用下面的式子来表示：
- St 表示指数加权平均值;
- Yt 表示 t 时刻的值;
- β 调节权重系数，该值越大平均数越平缓。
我们接下来通过一段代码来看下结果，我们随机产生进 30 天的气温数据：
import torch import matplotlib.pyplot as plt ELEMENT_NUMBER = 30 # 1. 实际平均温度 def test01(): # 固定随机数种子 torch.manual_seed(0) # 产生30天的随机温度 temperature = torch.randn(size=[ELEMENT_NUMBER,]) * 10 print(temperature) # 绘制平均温度 days = torch.arange(1, ELEMENT_NUMBER + 1, 1) plt.plot(days, temperature, color='r') plt.scatter(days, temperature) plt.show() # 2. 指数加权平均温度 def test02(beta=0.9): # 固定随机数种子 torch.manual_seed(0) # 产生30天的随机温度 temperature = torch.randn(size=[ELEMENT_NUMBER,]) * 10 print(temperature) exp_weight_avg = [] for idx, temp in enumerate(temperature, 1): # 第一个元素的的 EWA 值等于自身 if idx == 1: exp_weight_avg.append(temp) continue # 第二个元素的 EWA 值等于上一个 EWA 乘以 β + 当前气氛乘以 (1-β) new_temp = exp_weight_avg[idx - 2] * beta + (1 - beta) * temp exp_weight_avg.append(new_temp) days = torch.arange(1, ELEMENT_NUMBER + 1, 1) plt.plot(days, exp_weight_avg, color='r') plt.scatter(days, temperature) plt.show() if __name__ == '__main__': test01() test02(0.5) test02(0.9)
程序结果如下:
从程序运行结果可以看到：
指数加权平均绘制出的气氛变化曲线更加平缓; β 的值越大，则绘制出的折线越加平缓; β 值一般默认都是 0.9.
🍔 Momentum
当梯度下降碰到 “峡谷” 、”平缓”、”鞍点” 区域时, 参数更新速度变慢. Momentum 通过指数加权平均法，累计历史梯度值，进行参数更新，越近的梯度值对当前参数更新的重要性越大。
梯度计算公式：Dt = β * St-1 + (1- β) * Dt
- St-1 表示历史梯度移动加权平均值
- wt 表示当前时刻的梯度值
- β 为权重系数
咱们举个例子，假设：权重 β 为 0.9，例如：
第一次梯度值：s1 = d1 = w1 第二次梯度值：s2 = 0.9 + s1 + d2 * 0.1 第三次梯度值：s3 = 0.9 * s2 + d3 * 0.1 第四次梯度值：s4 = 0.9 * s3 + d4 * 0.1
- w 表示初始梯度
- d 表示当前轮数计算出的梯度值
- s 表示历史梯度值
梯度下降公式中梯度的计算，就不再是当前时刻 t 的梯度值，而是历史梯度值的指数移动加权平均值。公式修改为：
那么，Monmentum 优化方法是如何一定程度上克服 “平缓”、”鞍点”、”峡谷” 的问题呢？
当处于鞍点位置时，由于当前的梯度为 0，参数无法更新。但是 Momentum 动量梯度下降算法已经在先前积累了一些梯度值，很有可能使得跨过鞍点。
由于 mini-batch 普通的梯度下降算法，每次选取少数的样本梯度确定前进方向，可能会出现震荡，使得训练时间变长。Momentum 使用移动加权平均，平滑了梯度的变化，使得前进方向更加平缓，有利于加快训练过程。一定程度上有利于降低 “峡谷” 问题的影响。
峡谷问题：就是会使得参数更新出现剧烈震荡.
Momentum 算法可以理解为是对梯度值的一种调整，我们知道梯度下降算法中还有一个很重要的学习率，Momentum 并没有学习率进行优化。
🍔 AdaGrad
AdaGrad 通过对不同的参数分量使用不同的学习率，AdaGrad 的学习率总体会逐渐减小，这是因为 AdaGrad 认为：在起初时，我们距离最优目标仍较远，可以使用较大的学习率，加快训练速度，随着迭代次数的增加，学习率逐渐下降。
其计算步骤如下：
- 初始化学习率 α、初始化参数 θ、小常数 σ = 1e-6
- 初始化梯度累积变量 s = 0
- 从训练集中采样 m 个样本的小批量，计算梯度 g
- 累积平方梯度 s = s + g ⊙ g，⊙ 表示各个分量相乘
学习率 α 的计算公式如下：
- 参数更新公式如下：
- 重复 2-7 步骤.
AdaGrad 缺点是可能会使得学习率过早、过量的降低，导致模型训练后期学习率太小，较难找到最优解。
🍔 RMSProp
RMSProp 优化算法是对 AdaGrad 的优化. 最主要的不同是，其使用指数移动加权平均梯度替换历史梯度的平方和。其计算过程如下：
- 初始化学习率 α、初始化参数 θ、小常数 σ = 1e-6
- 初始化参数 θ
- 初始化梯度累计变量 s
- 从训练集中采样 m 个样本的小批量，计算梯度 g
- 使用指数移动平均累积历史梯度，公式如下：
- 学习率 α 的计算公式如下：
- 参数更新公式如下：
RMSProp 与 AdaGrad 最大的区别是对梯度的累积方式不同，对于每个梯度分量仍然使用不同的学习率。
RMSProp 通过引入衰减系数 β，控制历史梯度对历史梯度信息获取的多少. 被证明在神经网络非凸条件下的优化更好，学习率衰减更加合理一些。
需要注意的是：AdaGrad 和 RMSProp 都是对于不同的参数分量使用不同的学习率，如果某个参数分量的梯度值较大，则对应的学习率就会较小，如果某个参数分量的梯度较小，则对应的学习率就会较大一些
🍔 Adam
Momentum 使用指数加权平均计算当前的梯度值、AdaGrad、RMSProp 使用自适应的学习率，Adam 结合了 Momentum、RMSProp 的优点，使用：移动加权平均的梯度和移动加权平均的学习率。使得能够自适应学习率的同时，也能够使用 Momentum 的优点。
🍔 小节
本小节主要学习了常见的一些对普通梯度下降算法的优化方法，主要有 Momentum、AdaGrad、RMSProp、Adam 等优化方法，其中 Momentum 使用指数加权平均参考了历史梯度，使得梯度值的变化更加平缓。AdaGrad 则是针对学习率进行了自适应优化，由于其实现可能会导致学习率下降过快，RMSProp 对 AdaGrad 的学习率自适应计算方法进行了优化，Adam 则是综合了 Momentum 和 RMSProp 的优点，在很多场景下，Adam 的表示都很不错。
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