算法效率
算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。
时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。
但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
时间复杂度
时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它=定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
大O的渐进表示法
// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？ void func1(int N){ int count = 0; for (int i = 0; i < N ; i++) { for (int j = 0; j < N ; j++) { count++; } } for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) { count++; } int M = 10; while ((M--) > 0) { count++; } System.out.println(count); }
Func1 执行的基本操作次数 ：
- F(N)=N^2 + 2*N + 10
所以当N=10，100，1000时
- N = 10
F(N) = 130 - N = 100
F(N) = 10210 - N = 1000
F(N) = 1002010
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
大O符号（Big O notation）：
是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。如2×N^2，去掉常数2，结果为O (N^2)
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O (N^2)
- N = 10
F(N) = 100 - N = 100
F(N) = 10000
- N = 1000
F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
常见计算举例
实例1：
// 计算func2的时间复杂度？ void func2(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) { count++; } int M = 10; while ((M--) > 0) { count++; } System.out.println(count); }
基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
实例2：
// 计算func3的时间复杂度？ void func3(int N, int M) { int count = 0; for (int k = 0; k < M; k++) { count++; } for (int k = 0; k < N ; k++) { count++; } System.out.println(count); }
基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)
实例3：
// 计算func4的时间复杂度？ void func4(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 100; k++) { count++; } System.out.println(count); }
基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)
实例4：
void bubbleSort(int[] array) { for (int end = array.length; end > 0; end--) { boolean sorted = true; for (int i = 1; i < end; i++) { if (array[i - 1] > array[i]) { Swap(array, i - 1, i); sorted = false; } } if (sorted == true) { break; } } }
基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N-1))/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)
实例5：
// 计算binarySearch的时间复杂度？ int binarySearch(int[] array, int value) { int begin = 0; int end = array.length - 1; while (begin <= end) { int mid = begin + ((end-begin) / 2); if (array[mid] < value) begin = mid + 1; else if (array[mid] > value) end = mid - 1; else return mid; } return -1; }
基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。（建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）
因为二分查找每次排除掉一半的不适合值,
一次二分剩下：n/2
两次二分剩下：n/2/2 = n/4
实例6：
// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？ long factorial(int N) { return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N; }
通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。
实例7：
// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？ int fibonacci(int N) { return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2); }
通过计算分析发现基本操作递归了2^N 次，时间复杂度为O(2^N)。（建议画图递归栈帧的二叉树）
