数据结构与算法学习十：排序算法介绍、时间频度、时间复杂度、常用时间复杂度介绍

前言

• 前面的数据结构到了现在可以到一段落了。
• 从第十章开始就要学习 排序算法了。
• 排序算法主要学习(按学习顺序来排列、也是难易程度)：冒泡排序、简单选择排序、直接插入排序、希尔排序、快速排序、归并排序、基数排序、堆排序等等。
• 这一节主要是介绍排序的分类、还有衡量算法的优劣的方法时间复杂度，还有常用的时间复杂度等等。

一、排序算法介绍

排序也称 排序算法 (Sort Algorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。

1.1 排序分类

1. 内部排序:
   指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器中进行排序。
2. 外部排序法：
   数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储进行排序。
3. 常见的排序算法分类(见下图):
   

二、算法的时间复杂度

2.1 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

1. 事后统计的方法
   这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

2. 事前估算的方法
   通过分析某个算法的 时间复杂度 来判断哪个算法更优.

2.2 时间频度

2.2.1 基本介绍

时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

2.2.2 举例说明-基本案例

比如计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法：
第一种就是 100，第二种就是 1。

2.2.3 举例说明-忽略常数项

图1 列表

列表对应曲线图走向

结论:

1. 2n+20 和 2n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略

2. 3n+10 和 3n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略

2.2.4 举例说明-忽略低次项

图1 列表

列表对应曲线图走向

结论:

1. 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
2. n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20**

2.2.5 举例说明-忽略系数

图1 列表

列表对应曲线图走向

结论:

1. 随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。
2. 而n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键

2.3 时间复杂度

1. 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

2. T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

3. 计算时间复杂度的方法：

• 用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
• 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
• 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

2.4 常见的时间复杂度

1. 常数阶O(1)
2. 对数阶O(log2n)
3. 线性阶O(n)
4. 线性对数阶O(nlog2n)
5. 平方阶O(n^2)
6. 立方阶O(n^3)
7. k次方阶O(n^k)
8. 指数阶O(2^n)

• 常见的时间复杂度对应的图：
  
  说明：

1. 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
2. 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

2.4.1 常数阶 O(1)

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

2.4.2 对数阶 O(log2n)

说明：
在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) .

复习对数函数：

2.4.3 线性阶 O(n)

说明：
这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

2.4.4 线性对数阶 O(nlog2n)

说明：
线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

2.4.5 平方阶 O(n^2)

说明：
平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n_n)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m_n)

2.4.6 立方阶 O(n^ 3) 、K次方阶O(n^k)

说明：参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似

2.5 最坏时间复杂度

1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。
   

三、算法的空间复杂度【简单了解即可】

1. 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况

3. 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.