【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理 | 推理的形式结构 | 推理定律 | 附加律 | 化简律 | 假言推理 | 拒取式 | 析取三段论 | 假言三段论 | 等价三段论 | 构造性两难 )

简介: 【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理 | 推理的形式结构 | 推理定律 | 附加律 | 化简律 | 假言推理 | 拒取式 | 析取三段论 | 假言三段论 | 等价三段论 | 构造性两难 )

文章目录

一、推理的形式结构

二、推理定律

1、附加律

2、化简律

3、假言推理

4、拒取式

5、析取三段论

6、假言三段论

7、等价三段论

8、构造性两难





一、推理的形式结构


推理的形式结构


前提 : A 1 , A 2 , ⋯   , A k A_1 , A_2 , \cdots , A_kA

1


,A

2


,⋯,A

k



结论 : B BB


推理的形式结构为 : ( A 1 ∧ A 2 ∧ ⋯ ∧ A k ) → B (A_1 \land A_2 \land \cdots \land A_k) \to B(A

1


∧A

2


∧⋯∧A

k


)→B






二、推理定律


推理定律 : A , B A,BA,B 是两个命题 , 如果 A → B A \to BA→B 是永真式 , 那么 A ⇒ B A \Rightarrow BA⇒B ;




1、附加律


附加律 : A ⇒ ( A ∨ B ) A \Rightarrow (A \lor B)A⇒(A∨B)


根据 推理定律 , A → ( A ∨ B ) A \to (A \lor B)A→(A∨B) 蕴含式 是 永真式 ;


前提 : A AA


结论 : A ∨ B A \lor BA∨B



A AA 是对的 , 那么 A ∨ B A \lor BA∨B 也是对的 , 后者是在前者基础上附加了一个 B BB ;




2、化简律


化简律 : ( A ∧ B ) ⇒ A ( A \land B ) \Rightarrow A(A∧B)⇒A , ( A ∧ B ) ⇒ B ( A \land B ) \Rightarrow B(A∧B)⇒B


根据 推理定律 , ( A ∧ B ) → A ( A \land B ) \to A(A∧B)→A , ( A ∧ B ) → B ( A \land B ) \to B(A∧B)→B 蕴含式 是 永真式 ;


前提 : A ∧ B A \land BA∧B


结论 : A AA 或 B BB



A ∧ B A \land BA∧B 是对的 , 那么 A AA 或 B BB 也是对的 , 后者是在前者基础上进行了化简 ;




3、假言推理


假言推理 : ( A → B ) ∧ A ⇒ B ( A \to B ) \land A \Rightarrow B(A→B)∧A⇒B


根据 推理定律 , ( A → B ) ∧ A → B ( A \to B ) \land A \to B(A→B)∧A→B 蕴含式 是 永真式 ;


前提 : A → B A \to BA→B , A AA


结论 : B BB



这是个典型的小三段论 ;




4、拒取式


拒取式: ( A → B ) ∧ ¬ B ⇒ ¬ A ( A \to B ) \land \lnot B \Rightarrow \lnot A(A→B)∧¬B⇒¬A


根据 推理定律 , ( A → B ) ∧ ¬ B → ¬ A ( A \to B ) \land \lnot B \to \lnot A(A→B)∧¬B→¬A 蕴含式 是 永真式 ;


前提 : A → B A \to BA→B , ¬ B \lnot B¬B


结论 : ¬ A \lnot A¬A



可以理解为是反证法 ;




5、析取三段论


析取三段论 : ( A ∨ B ) ∧ ¬ A ⇒ B ( A \lor B ) \land \lnot A \Rightarrow B(A∨B)∧¬A⇒B , ( A ∨ B ) ∧ ¬ B ⇒ A ( A \lor B ) \land \lnot B \Rightarrow A(A∨B)∧¬B⇒A


根据 推理定律 , ( A ∨ B ) ∧ ¬ A → B ( A \lor B ) \land \lnot A \to B(A∨B)∧¬A→B , ( A ∨ B ) ∧ ¬ B → A ( A \lor B ) \land \lnot B \to A(A∨B)∧¬B→A 蕴含式 是 永真式 ;


前提 : A ∨ B A \lor BA∨B , ¬ A \lnot A¬A


结论 : B BB



( A ∨ B ) (A \lor B)(A∨B) 是正确的 , 其中 A AA 是错误的 , 那么 B BB 肯定是正确的 ;


( A ∨ B ) (A \lor B)(A∨B) 是正确的 , 其中 B BB 是错误的 , 那么 A AA 肯定是正确的 ;


警察破案常用推理方式 , 逐一排除嫌疑人 ;




6、假言三段论


假言三段论 : ( A → B ) ∧ ( B → C ) ⇒ ( A → C ) ( A \to B ) \land ( B \to C ) \Rightarrow ( A \to C )(A→B)∧(B→C)⇒(A→C)


根据 推理定律 , ( A → B ) ∧ ( B → C ) → ( A → C ) ( A \to B ) \land ( B \to C ) \to ( A \to C )(A→B)∧(B→C)→(A→C) 蕴含式 是 永真式 ;


前提 : A → B A \to BA→B , B → C B \to CB→C


结论 : A → C A \to CA→C




7、等价三段论


等价三段论: ( A ↔ B ) ∧ ( B ↔ C ) ⇒ ( A ↔ C ) ( A \leftrightarrow B ) \land ( B \leftrightarrow C ) \Rightarrow ( A \leftrightarrow C )(A↔B)∧(B↔C)⇒(A↔C)


根据 推理定律 , ( ( A ↔ B ) ∧ ( B ↔ C ) ) → ( A ↔ C ) ( ( A \leftrightarrow B ) \land ( B \leftrightarrow C ) ) \to ( A \leftrightarrow C )((A↔B)∧(B↔C))→(A↔C) 蕴含式 是 永真式 ;


前提 : A ↔ B A \leftrightarrow BA↔B , B ↔ C B \leftrightarrow CB↔C


结论 : A ↔ C A \leftrightarrow CA↔C




8、构造性两难


等价三段论: ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ⇒ ( B ∨ D ) ( A \to B ) \land ( C \to D ) \land ( A \lor C ) \Rightarrow ( B \lor D )(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⇒(B∨D)


根据 推理定律 , ( ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ) → ( ( B ∨ D ) ) ( ( A \to B ) \land ( C \to D ) \land ( A \lor C ) ) \to ( ( B \lor D ) )((A→B)∧(C→D)∧(A∨C))→((B∨D)) 蕴含式 是 永真式 ;


前提 : A → B A \to BA→B , C → D C \to DC→D , A ∨ C A \lor CA∨C


结论 : B ∨ D B \lor DB∨D



理解方式 :


A AA 是发展经济 , B BB 是污染

C CC 是不发展经济 , D DD 是贫穷


A ∨ B A \lor BA∨B 要么发展经济 , 要么不发展经济

结果是 B ∨ D B \lor DB∨D , 要么产生污染 , 要么忍受贫穷


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