数学问题-反射定律&折射定律的向量形式推导

说明

      近期项目中有光线反射和折射的相关知识点，涉及到其向量形式，有些遗忘，因此进行了一轮公式推导工作，为了便于后期查看，整理在文章中。

      本文主要针对反射定律和折射定律的向量形式，进行公式推导，以加深记忆和理解。

反射定律

向量形式公式：

      假设A为入射光单位向量，B为反射光单位向量，N为法线单位向量，则有如下公式成立：

证明：

      假设 是入射光在法线上的投影且方向向下， 是反射光在法线上的投影且方向向上， 是入射光在界面上的投影且方向向右， 是反射光在界面上的投影且方向向右， 是入射角， 是反射角。

      根据反射定律知，入射角等于反射角，则有：

      又有：

      不难知道 和 相等， 和 方向相反数值相等，所以有：

      得证。

折射定律

向量形式公式：

      假设A为入射光单位向量，B为折射光单位向量，N为法线单位向量，n1是入射区的折射率，n2是折射区的折射率，则有如下公式成立：

证明：

      假设 是入射光在法线上的投影且方向向下， 是折射光在法线上的投影且方向向下， 是入射光在界面上的投影且方向向右， 是折射光在界面上的投影且方向向右， 是入射角， 是折射角。

      根据折射定律知，则有：

      考虑到A2和B2平行且方向一致，有：

      由勾股定理得：

      进而得：

      结合折射定律得出：

   代入得：

      合并得：

      又因为 得：

得证。

      以上就是反射定律&折射定律向量形式的公式推导过程。

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