决策树之 GBDT 算法 - 回归部分

GBDT（Gradient Boosting Decision Tree）是被工业界广泛使用的机器学习算法之一，它既可以解决回归问题，又可以应用在分类场景中，该算法由斯坦福统计学教授 Jerome H. Friedman 在 1999 年发表。本文中，我们主要学习 GBDT 的回归部分。

在学习 GBDT 之前，你需要对 CART、AdaBoost 决策树有所了解，和 AdaBoost 类似，GBDT 也是一种 Boosting 类型的决策树，即在算法产生的众多树中，前一棵树的错误决定了后一棵树的生成。

我们先从最为简单的例子开始，一起来学习 GBDT 是如何构造的，然后结合理论知识，对算法的每个细节进行剖析，力求由浅入深的掌握该算法。

我们的极简数据集由以下 3 条数据构成，使用它们来介绍 GBDT 的原理是再好不过了，假设我们用这些数据来构造一个 GBDT 模型，该模型的功能是：通过身高、颜色喜好、性别这 3 个特征来预测体重，很明显这是一个回归问题。

构造 GBDT 决策树

GBDT 的第一棵树只有 1 个叶子节点，该节点为所有样本的初始预测值，且该值到所有样本间的 MSE（Mean Squared Error）是最小的。实际上，初始值就是所有样本的平均值，即 (88+76+56)/3 = 73.3，原因我们在下文会详细介绍。

接下来，根据预测值，我们算出每个样本的残差（Residual），如第一个样本的残差为：88 - 73.3 = 14.7，所有样本的残差如下：

接着，我们以残差为目标值来构建一棵决策树，构造方式同 CART 决策树，这里你可能会问到为什么要预测残差？原因我们马上就会知道，产生的树如下：

因为我们只有 3 个样本，且为了保留算法的细节，这里只用了 2 个叶子节点，但实际工作中，GBDT 的叶子节点通常在 8-32 个之间。

然后我们要处理有多个预测值的叶子节点，取它们的平均值作为该节点的输出，如下：

上面这棵树便是第 2 棵树，聪明的你一定发现了，第 2 棵树实际上是第 1 棵树和样本之间的误差，我们拿第 3 个样本作为例子，第一棵树对该样本的预测值为 73.3，此时它和目标值 56 之间的误差为 -17.3，把该样本输入到第 2 棵树，由于她的身高值为 1.5，小于 1.55，她将被预测为 -17.3。

既然后一棵树的输出是前一棵树的误差，那只要把所有的树都加起来，是不是就可以对前面树的错误做出补偿，从而达到逼近真实值的目的呢。这就是我们为什么以残差建树的原因。

当然树之间不会直接相加，而是在求和之前，乘上一个学习率，如 0.1，这样我们每次都可以在正确的方向上，把误差缩小一点点。Jerome Friedman 也说过这么做有助于提升模型的泛化能力（low variance）。

整个过程有点像梯度下降，这应该也是 GBDT 中 Gradient 的来历。GBDT 的预测过程如下图所示：

按此方法更新上述 3 个样本的预测值和残差，如下：

比较这两棵树的残差：

可见，通过 2 棵树预测的样本比只用 1 棵树更接近目标值。接下来，我们再使用第 2 棵树的残差来构建第 3 棵树，用第 3 棵树的残差来构建第 4 棵树，如此循环下去，直到树的棵数满足预设条件，或总残差小于一定阈值为止。以上，就是 GBDT 回归树的原理。

深入 GBDT 算法细节

GBDT 从名字上给人一种不明觉厉的印象，但从上文可以看出，它的思想还是非常直观的。对于只想了解其原理的同学，至此已经足够了，想学习更多细节的同学，可以继续往下阅读。

初始化模型

该算法主要分为两个步骤，第一步为初始化模型：

$$ F_0(x) = \arg\min_{\gamma} \sum_{i=1}^n L(y_i, \gamma) $$

上式中，$F$ 表示模型，$F_0$ 即模型初始状态；L 为 Loss Function，n 为训练样本的个数，$y_i$ 为样本 i 的目标值，gamma 为初始化的预测值，意为找一个 gamma，能使所有样本的 Loss 最小。

前文提过，GBDT 回归算法使用 MSE 作为其 Loss，即：

$$ L(y_i,\hat{y_i}) = \frac{1}{2}(y_i-\hat{y_i})^2 $$

公式中 $\hat{y_i}$ 表示第 i 个样本的预测值，我们把例子中的 3 个样本带入 $F_0$ 中，得：

$$ F_0(x) = \frac{1}{2}(88-\gamma)^2 + \frac{1}{2}(76-\gamma)^2+\frac{1}{2}(56-\gamma)^2 $$

要找到一个 gamma，使上式最小，因为上式是一个抛物线，那么 $d(F_0)/d\gamma=0$ 时，上式有最小值，于是：

$$ \frac{d(F_0)}{d\gamma}=(\gamma-88)+(\gamma-76)+(\gamma-56)=0 $$

上式化简后，你一眼就可以看出 gamma = (88+76+56)/3 = 73.3，即初始值就是所有样本的平均值，

模型迭代

算法的第二个步骤是一个循环，伪代码如下：

for m = 1 to M:
    (A)
    (B)
    (C)
    (D)

其中，m 表示树的序号，M 为树的总个数（通常该值设为 100 或更多），(A) (B) (C) (D) 代表每次循环中的 4 个子步骤，我们先来看 (A)

(A) 计算

$$ r_{im} = -\left[ \frac{\partial L(y_i,F(x_i))}{\partial F(x_i)} \right]_{F(x)=F_{m-1}(x)} $$

我们把 $F(x_i)$ 换成 $\hat{y_i}$，该式子其实是对 Loss 求 $\hat{y_i}$ 的偏微分，该偏微分为：

$$ \frac{\partial{L(y_i, \hat{y_i})}}{\partial \hat{y_i}} = \frac{\partial \frac{1}{2}(y_i-\hat{y_i})^2}{\partial \hat{y_i}} = -(y_i-\hat{y_i}) $$

而 $F(x)=F_{m-1}(x)$ 意为使用上一个模型来计算 $\hat{y_i}$，即用 m-1 棵已生成的树来预测每一个样本，那么 $r_{im} = y_i-\hat{y_i}$ 就是上面说的计算残差这一步。

(B) 使用回归决策树来拟合残差 $r_{im}$，树的叶子节点标记为 $R_{jm}$，其中 j 表示第 j 个叶子节点，m 表示第 m 棵树。该步骤的细节如果不清楚可以查看 CART 回归树一文。

(C) 对每个叶子节点，计算

$$ \gamma_{jm} = \arg\min_{\gamma} \sum_{x_i \in R_{ij}} L(y_i,F_{m-1}(x_i)+\gamma) $$

上面式子虽然较为复杂，但它和初始化步骤中的式子的目的是一样的，即在每个叶子节点中，找到一个输出值 gamma，使得整个叶子节点的 Loss 最小。

$\gamma_{jm}$ 为第 m 棵树中，第 j 个叶子节点的输出，$\sum_{x_i \in R_{ij}}L$ 表示在第 j 个叶子节点中所有样本的 Loss，如下面的树中，左边叶子节点上有 1 个样本，而右边叶子节点内有 2 个样本，我们希望根据这些样本来求得对应叶子的唯一输出，而 Loss 最小化就是解决之道。

在 Loss 函数中，第 2 个参数 $F_{m-1}(x_i) + \gamma$ 是模型对样本 i 的预测，再加上 $\gamma$，对于只有 1 个样本的叶子节点来说，$\gamma$ 就是该样本残差，而对于有多个样本的节点来说，$\gamma$ 为能使 Loss 最小的那个值，下面就这两种情况分别说明：

以上面这棵树为例，左边叶子节点只有 1 个样本，即样本 3，将它带入到公式中：

$$ \begin{aligned} \gamma_{11} &= \arg\min_{\gamma}L(y_3, F_0(x_3)+\gamma)\\ &=\arg\min_{\gamma}(\frac{1}{2}(56-(73.3+\gamma))^2)\\ &=\arg\min_{\gamma}(\frac{1}{2}(-17.3-\gamma)^2) \end{aligned} $$

要求右边的式子最小，和上面一样，我们令其导数为 0：

$$ \frac{d}{d\gamma}\left[\frac{1}{2}(-17.3-\gamma)^2\right] = 17.3+\gamma = 0 $$

算得 $\gamma_{11} = -17.3$，所以当叶子中只有 1 个样本时，该叶子的输出就是其残差。

再来看下右边这个节点，其中包含 2 个样本，同样把样本 1 和样本 2 带入到公式中，得：

$$ \begin{aligned} \gamma_{21} &=\arg\min_{\gamma}(L(y_1, F_0(x_1)+\gamma)+L(y_2, F_0(x_2)+\gamma))\\ &=\arg\min_{\gamma}(\frac{1}{2}(88-(73.3+\gamma))^2+\frac{1}{2}(76-(73.3+\gamma))^2)\\ &=\arg\min_{\gamma}(\frac{1}{2}(14.7-\gamma)^2+\frac{1}{2}(2.7-\gamma)^2) \end{aligned} $$

对右边求导：

$$ \frac{d}{d\gamma}\left[ \frac{1}{2}(14.7-\gamma)^2+\frac{1}{2}(2.7-\gamma)^2) \right] = \gamma-14.7+\gamma-2.7 $$

上式为 0 时，Loss 最小，即

$$ \gamma-14.7+\gamma-2.7 = 0 $$

于是

$$ \gamma = \frac{14.7+2.7}{2} = 8.7 $$

可见，当叶子中有多个样本时，该叶子的输出值就是所有样本残差的平均值。

(D) 更新模型，下次迭代中使用 m 棵树来做预测：

$$ F_m(x) = F_{m-1}(x) + \nu \sum_{j=1}^{J_m}\gamma_{jm} $$

上式中，$\nu$ 表示学习率。之后，训练将重新来到 (A) 步骤，进入下一棵树构建的循环中。

总结

本文我们一起学习了 GBDT 的回归算法，一开始，通过一个简单的例子描述了 GBDT 的原理，之后，我们对 GBDT 的每个步骤进行了逐一剖析，希望本文能给你带来收获。

参考：

• Greedy Function Approximation: A Gradient Boosting Machine
• Gradient Boost Part 1: Regression Main Ideas
• Gradient Boost Part 2: Regression Details