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带你读《传感器系统:基础及应用》之三:放大器和滤波器 

简介: 本书包括传感器相关的数学、物理、电路等基础理论,介绍了相关的性能指标、性能选择以及集成到工程系统所需的软硬件,讲述了先进的传感器技术、分析建模、实际应用和设计研究实例。全书共12章,前面7章是传感器的基础知识,第8~11章分别讨论了不同种类传感器的结构及实际应用,第12章涉及先进的传感器技术。 本书可以作为高等学校测控技术与仪器、自动化、机电一体化、电气工程等专业高年级本科生和研究生教材,也可供相关科研和工程技术人员学习参考。

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第3章 

放大器和滤波器  
本章主要内容
●信号修整与调理
●运算放大器
●放大器的性能等级
●电压、电流和功率放大器
●仪表放大器
●噪声和接地回路
●模拟滤波器
●无源滤波器和有源滤波器
●低通滤波器
●高通滤波器
●带通滤波器
●带阻滤波器
●数字滤波器

3.1 信号修整与调理

工程系统通常包含了多种多样的互连组件来实现预期的功能。当两个设备通过接口进行连接时,必须保证在动态条件下引起的结果变化对性能影响是可以接受的。在实际应用中,当信号从一个设备输出并输入到其他设备时,必须保证适当的信号水平(即电压、电流、速度、力以及功率的值),以及合适的形式(即电气、机械、模拟、数字、调制、解调)和不失真,而且必须消除干扰和噪声。显然,在仪器仪表工程系统中,信号调理是很重要的,信号放大和滤波适用于这种情况,这是本章的重点。信号调理是信号调整的特例。

3.1.1 信号调理

信号调理和信号处理属于信号修整范畴,它在组件互连、组件接口和系统的正常运行中起至关重要的作用。特别是:
1.对于系统的正常运行来说,系统工作过程中的信号必须进行修整(包括功率、类型、幅值等),在这方面放大器是很有用的。
2.考虑到噪声、干扰、其他误差以及系统需求,必须对信号进行调理。在这种情况下,滤波和放大是主要内容。
信号调理包括放大、模拟和数字滤波。如在信号传输过程中,通过放大、滤波等方法对信号进行修整,使得输出信号的信噪比明显大于接收端的信噪比。通常情况下,由于在信号中存在噪声、未知和无用的干扰以及误差,所以信号调理在组件互连和系统集成中很重要。因此,信号调理是仪器仪表研究中重要的课题。

3.1.2 本章内容

本章详细介绍与放大和滤波相关的信号调理电路,并描述相关的信号调理的操作过程。运算放大器是电子系统中信号调理和阻抗匹配电路的一种基本器件。本章分析不同类型的信号调理器,特别是放大器、滤波器的一般形式,给出了相应的特性和性能指标,并介绍放大器和滤波器的应用。本章将通过专门的硬件组件和设计电路来讨论信号调理。

3.2 放大器

电压、速度、压力和温度是“跨接变量”,因为它们存在于一个元器件之上。电流、力、流体流速和热传导率是“通过变量”,因为它们通过一个元器件时不发生改变。电信号的水平可以通过电流、电压、功率等不同变量来表示。与“跨接变量”类似,“通过变量”和功率型变量的定义也适用于其他类型的信号(例如,机械变量中的速度、力和功率)。在工程系统中,必须适当调节各个组件的接口信号电平,以满足整个系统的性能要求。如执行器的输入应当具有足够大的功率,以便能够驱动执行器本身及其负载。在传输过程中应将信号电平保持在一定阈值之上,以保证在信号减弱时不会发生错误,用于数字设备的信号必须保持在指定的逻辑电平内。许多类型的传感器产生微弱信号,这些信号必须先进行放大,然后再传送给监控系统、数据处理器、控制器或者数据记录仪。
信号放大是对信号电平作出适当的调整,以完成特定的任务。放大器的作用就是实现信号放大。放大器是有源器件,因为它工作时需要使用外部电源。尽管多种多样的有源器件通常以单片集成电路(IC)的形式来生产(尤其是放大器),但单片电路通过各自的集成电路布局来完成规定的放大任务。使用分立电路模型研究其性能是很方便的,其中运算放大器(也称为运放)是基本的构件。当然运算放大器本身也被封装为单片集成电路,广泛用于产生其他形式的放大器和许多硬件电路的基本组件中,同时也用于建模和分析各种放大器和设备。因此,我们对放大器的讨论将建立在运算放大器基础上。

3.2.1 运算放大器

运算放大器的起源可以追溯到20世纪40年代,当时引入了真空管(电子管)运算放大器。运算放大器之所以得此名,是因为它最初的用途几乎都是用作数学运算,例如,用于模拟计算机。随后,在20世纪50年代,晶体管运算放大器开始普及,它使用了诸如双极结型晶体管和电阻等分立元器件。不过,它的尺寸太大,速度较慢,耗能多,而且在一般使用中广泛使用的成本太高。这种情况在20世纪60年代后期发生了改变,当时集成运算放大器以单片集成电路芯片的形式发展。如今,集成电路运算放大器由在一种典型单晶硅(单片形式)基底下的许多电路元器件组成,它是几乎所有的电子信号调理器中极有价值的组件。双极互补金属氧化物半导体运算放大器普遍适用于多种塑料封装和引脚配置。
一个运算放大器可以用分立元器件制造出来,即使用10个双极结型晶体管和多个分立电阻,或者在现代的单片集成电路芯片中。一个集成运算放大器可能相当于100多个分立元器件。不管何种形式的运算放大器,都有一个输入阻抗zi、一个输出阻抗zo,以及一个开环增益K。因此,运算放大器的图解模型如图3-1a所示。运算放大器的封装有几种形式,最常见的是8引脚双列直插式封装或V形封装,如图3-1b所示。引脚的分配(即引脚配置或引脚输出)如图3-1b所示,可与图3-1a进行比较。注意编号顺序为逆时针并始于左上角半圆形切口或点旁边的引脚。这种约定的编号标准不仅适用于运算放大器,对任何类型的集成电路封装都适用。另外还有8引脚金属罐封装或者T形封装,它们用圆形代替了之前的矩形;还有14引脚矩形“四通道”封装,其包含4个运算放大器(总共有8个输入引脚、4个输出引脚和2个电源引脚),运算放大器的常规符号如图3-1c所示。通常情况下,一个运算放大器有5个端子(引脚或者引线连接)。具体地说,有两个输入(差分)端(一个正电压或同相引脚vip、一个负电压或反相引脚vin),一个输出端(vo),两个双极电源端(+vs、vCC或集电极电源以及-vs、vEE或发射极电源)。某些运算放大器可能会提供“芯片选择”引脚,电源电压可以低至2.7V,也可以高至±22V,静态电流大约为250μA,通常,一些引脚可以不连接,如图3-1b所示的引脚1、5和8。

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注意:商用的带有多个运算放大器的IC封装可能有更多的引脚(如具有4个运算放大器14个引脚的四通道封装:8个差分输入引脚、4个差分输出引脚和2个电源引脚)。
差分输入电压:从图3-1a可知,在开环(即无反馈)条件下,有vo=Kvi(3-1)式中输入电压vi是差分输入电压,它为运算放大器的正负极电压的代数差:vi=vip-vin(3-2)一个典型运算放大器的开环电压增益K通常很大,数量级为105~109,而且输入阻抗zi高达10MΩ(典型值为2MΩ),但输出阻抗zo很低(为10Ω),一些运算放大器可能达到75Ω。由于常态下vo为1~15V,所以K非常大,由式(3-1)可看出,vi≈0。因此,由式(3-2),可得出vip≈vin。换句话来说,两个输入端的电压几乎相等。现在,如果我们在输入端施加大的电压差,假设是10V,那么根据式(3-1)可知,输出电压应该非常高。然而,实际上这种情况几乎未发生过,这是因为设备在超过额定输出电压(15V)后会迅速饱和。
由式(3-1)和式(3-2)可以得出,如果负极输入接地(即vin=0),那么很显然vo=Kvip(3-3a)如果正极输入接地(即vip=0),那么vo=-Kvin(3-3b)这就是vip称为同相输入、vin称为反相输入的原因。
例3.1
假定有开环增益为1×105的运算放大器,如果饱和电压为15V,那么确定下列情况下的输出电压。
(a) 同相端电压为5μV,反相端电压为2μV。
(b) 同相端电压为-5μV,反相端电压为2μV。
(c) 同相端电压为5μV,反相端电压为-2μV。
(d) 同相端电压为-5μV,反相端电压为-2μV。
(e) 同相端电压为1V,反相端接地。
(f) 反相端电压为1V,同相端接地。
解:本题可以利用式(3-1)和式(3-2)来解决,结果见表3-1,注意在最后两种情况下输出会饱和,式(3-1)将不适用。

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场效应晶体管(FET)和金属氧化物半导体场效应晶体管(MOSFET)通常用于制造运算放大器的IC形式。MOSFET比其他几种晶体管更有优势,如在饱和状态下有更高的输入阻抗和更稳定的输出(几乎与电源电压相等),使得在很多应用中MOSFET运放的性能优于双极结型晶体管运放的性能。
在不饱和状态下分析运放电路时,我们使用运放的以下两个特性:
1.两个输入端的电压应当(几乎)相等。(虚短的概念。)
2.通过每个输入端的电流应该(几乎)为0。(虚断的概念。)
正如前所述,第一个特性源于运放的高开环增益,第二个特性源于运放的高输入阻抗,我们将会反复使用这两个特性,以获得使用了运算放大器系统和其他电子设备的输入输出方程。

3.2.2 放大器的性能等级

许多因素都会影响放大器的性能,特别是运算放大器。为了得到好的性能,我们必须考虑以下几个因素:
1.稳定性
2.响应速度[带宽、压摆率(也称转换速率)]
3.输入阻抗和输出阻抗
通常来讲,放大器的稳定性水平受放大器电路的动态特性所控制,并且可以用时间常数来表征。在这种情况下,如果放大器的负反馈回路具有单位增益和2π的相移,则将产生持续振荡,这是不稳定(或临界稳定)的条件。对于放大器而言,另一个需要重点考虑的因素是由老化、温度和其他环境因素引起的参数变化。对于放大器这类设备,参数变化也归类为稳定性问题,因为它关系到输入保持稳定时响应的稳定性。在这种情况下特别重要的是温度漂移,它定义为每单位温度变化时输出信号的漂移。温度漂移也取决于放大器的失调电压(例如,每1.0mV失调电压对应的温度漂移为3.6μV/℃)。可以通过补偿器件和减小放大器的消耗电流来减少温度漂移。
放大器的响应速度决定了放大器如实地响应瞬态输入的能力,特别是在我们追求快速响应时。在时域中用上升时间等表示响应速度,而在频域中用带宽参数来表示。例如,频率响应函数中的恒定(平坦)部分所对应的频率范围作为带宽。由于任何放大器都不是线性的,所以带宽也取决于信号电平本身。特别地,小信号带宽是使用较小的输入信号振幅确定的。
对于运算放大器,另一种测量响应速度的方法是测压摆率(转换速率),压摆率的定义是在特定工作频率时放大器输出的最大可能变化率。由于对于给定的输入振幅,输出振幅还取决于放大器的增益,所以压摆率通常在单位增益条件下定义。
在理想情况下,对于一个线性的元器件,频率响应函数(传递函数)并不依赖于输出振幅(即直流增益和输入振幅的乘积)。但是对于一个具有有限压摆率的元器件来说,带宽(或输出失真可忽略时的最大工作频率)将取决于输出振幅。输出振幅越大,在给定压摆率限制条件下带宽就越小。通常为商用运算放大器指定的带宽参数是增益与带宽的乘积(GBP或GBWP)。这就是运放的开环增益和带宽的乘积。例如,某运算放大器的GBP=15MHz,开环增益为100dB(即105),则带宽为15×106/105Hz=150Hz。显然,这个带宽数值相当低。由于带反馈的运算放大器的增益明显低于100dB,因此其有效带宽远高于开环运算放大器。
正如上文所讨论的,一般来说,我们希望运放具有高输入阻抗和低输出阻抗。运算放大器通常满足这些要求。
例3.2
确定在压摆率受限制条件下元器件的压摆率和带宽之间的关系。假设放大器的压摆率为1V/μs,当输出值为5V时,确定该放大器的带宽。
解:显然,用信号变化率的幅值除以输出信号的幅值,可以估算出输出频率。假设正弦输出电压用下式表示:vo=asin2πft(3-4)输出的变化率是dvo/dt=2πfacos2πft。因此,输出的最大变化率为2πfa,当f是最大可用频率时对应的压摆率为s=2πfba(3-5)其中,s是压摆率;fb是带宽;a是输出振幅。
现在,令s=1V/μs和a=5V,可得到:

image.png

3.2.2.1 运算放大器的误差来源

稳定性问题和频率响应误差在运算放大器的开环形式中是普遍存在的,这些误差可以通过反馈消除掉,因为对于运算放大器来说,如果开环增益非常大,那么开环传递函数对闭环传递函数的影响是可以忽略的。
未建立在模型中的信号(以下简称未建模信号)可能是放大器误差的主要来源,这些信号包括:
●偏置电流
●失调信号
●共模输出电压
●内部噪声
在分析运算放大器时,我们假设通过输入端的电流为零。但在严格意义上,这并不符合实际,因为在放大器电路内部晶体管的偏置电流肯定会流过这些端口,从而放大器的输出信号将略微偏离理想值。
我们在分析运算放大器时作出的另一个假设是两个输入端的电压相等。然而,实际上由于运算放大器内部电路存在小的固有误差,所以在输入端上存在失调电流和电压。
共模输入电压是运算放大器输入端的电压。因为任何实际的放大器在内部电路中都会存在一些不平衡(例如,一个输入端的期望增益可能不等于另一个输入端的期望增益,另外,内部电路在工作时需要偏置信号),所以输出时会存在一个取决于共模输入的误差电压。
可以认为前面提到的这3种类型的未建模信号是噪声。另外,还有其他类型的噪声信号也会降低放大器的性能。例如,接地回路噪声可以进入输出信号。此外,杂散电容和其他类型的未建模信号的影响也可能产生内部噪声。通常在放大器分析中,未建模信号(包括噪声)可以等效为一个噪声电压源作用在其中一个输入端。通过连接适当的补偿电路,可以减少未建模信号的影响,包括调节可变电阻来消除未建模信号对放大器输出端的影响。
以下术语是运算放大器常用性能的总结:
带宽:运算放大器工作的频率范围(例如,56MHz)。
GBWP:直流增益和带宽的乘积,其单位为MHz(因为增益没有单位)。通常,随着增益增加,带宽会减少。
压摆率:不会使输出明显失真的输出电压的最大可能变化率,以V/μs表示(例如,160V/μs)。通常压摆率越高越好。
差分输入阻抗:放大器的两个输入(同相和反相)端之间的阻抗。
共模输入阻抗:每个输入端到地的阻抗。
调零引脚:也称为“平衡”引脚,用于消除失调电压。当同相和反相电压相等时,输出电压就是失调电压(原因是运算放大器中的缺陷,理想情况下,相应的输出电压应为零)。一些运算放大器具有自动消除这种失调量的措施。
输入失调电压:(对于不理想的运算放大器)当输出电压为零时,两个输入端所需要的电压差。
式(3-1)适用于理想运算放大器,给定的增益K为差分增益。严格来说,对于不理想的运算放大器,式(3-1)应该是vo=Kd(vip-vin)+Kcm×12(vip+vin)(3-6)其中,Kd是差分增益;Kcm是共模增益。
共模电压:在式(3-6)中由(vip+vin)/2给出的是两个输入端的平均电压。在一个性能好的运算放大器中,该共模电压不应该放大,也不应该出现在输出中。共模电压是应该消除的,这可以通过一个比差分增益低很多的共模增益来实现。
共模抑制比(CMRR):它是差分增益与共模增益的比值(Kd/Kcm),用分贝表示[即201g10(Kd/Kcm)dB]。应适当地消除共模电压,以获得高的共模抑制比(如113dB)。
静态电流:在没有负载(即输出处于开路状态)和输入端无信号时运算放大器来自电源的电流。
有关运算放大器的一些有用信息,请参见框3.1。

3.2.2.2 在运算放大器中使用反馈

运算放大器是一种非常通用的器件,主要原因是它的输入阻抗非常高,输出阻抗低,而且增益很高。但是,如果不进行修整的话,那么运算放大器不能作为一个实用的放大器,因为它在图3-1所示的形式中并不十分稳定。造成这一问题的两个主要因素是频率响应和漂移。换句话说,虽然运算放大器的增益K很高,但它不是恒定不变的。增益会随输入信号的频率而变化(也就是说运算放大器的频率响应特性在操作范围内并不平坦),增益还随时间变化(即存在漂移)。由于增益非常高,所以一个中等的输入信号将会使运算放大器饱和。频率响应问题是由运算放大器的电路动态性能而引起的,除非它工作在非常高的频率,否则这个问题一般不会很严重。由于增益K对温度、光、湿度和振动等环境因素比较敏感,以及老化会引起增益K的变化,所以会出现漂移问题。运算放大器中的漂移可能会产生较大的影响,应采取措施来解决这个问题。
在运算放大器中,要避免增益的漂移和频率响应误差几乎是不可能的。然而,一种巧妙的方法可以用来消除这两个因素对放大器输出的影响。由于增益K非常大,所以借助反馈,我们几乎可以消除其在放大器输出端的影响。运算放大器的闭环形式具有以下优点:整个电路的输出特性和精度取决于电路中的高精度无源组件(例如,电阻和电容),而不依赖于运算放大器的自身参数。在几乎所有的应用中,闭环都是首选。特别地,电压跟随器和电荷放大器都利用运算放大器的高输入阻抗zi、低输出阻抗zo和高增益K的特性,以及通过高精度电阻器的反馈来消除由大且可变的增益K而引起的误差。总的来说,运算放大器的开环形式并不是很有用,特别是增益K较大且可变时。然而,正是因为K非常大,所以可以通过使用反馈来解决前面所提到的问题。这种闭环形式常用于实际应用中的运算放大器。
除了大且不稳定的增益特性外,还有其他的误差来源,它们导致了运算放大器的性能不理想。如前所述,值得注意的是:
1.由于操作固态电路需要偏置电流,所以在输入端存在失调电流。
2.即使输入端开路,在输出端也可能出现失调电压。
3.两个输入端的增益不相等(即反相增益不等于同相增益)。
4.噪声和环境影响(热漂移等)。
类似的问题可能在运算放大器电路中导致非线性行为。然而,可以通过适当的电路设计和使用补偿电路来减少误差。

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3.2.3 电压、电流和功率放大器

由于任何类型的放大器都可以以单片形式从零开始构造为IC芯片,或者以离散形式构成包含分立双极结型晶体管、分立场效应晶体管(FET)、分立二极管和分立电阻器等的多种分立元器件电路,所以,几乎所有类型的放大器都可以使用运算放大器作为基本构建块。由于我们已经熟悉运算放大器,并且运算放大器也广泛用于电子放大器电路中,所以我们将使用另一种方案,该方案使用离散运算放大器来构建通用放大器。此外,在此基础上可以进行一般放大器的建模、分析和设计。
如果一个放大器的功能是电压放大,则将其称为电压放大器。由于电压放大器的使用非常普遍,所以放大器一词常用于表示电压放大器。电压放大器可以表示为vo=Kvvi(3-7)其中,vo是输出电压;vi是输入电压;Kv是电压增益系数。
电压放大器通常用于实现电路中的电压兼容性(或电平移位)。
类似地,电流放大器用于实现电路中的电流兼容性。电流放大器可以表示为io=Kiii(3-8)其中,io是输出电流;ii是输入电流;Ki是电流增益系数。
因为电压跟随器具有单位增益(Kv=1),所以可认为它是一种电流放大器。此外,它能提供阻抗兼容性,并且可作为互连的低电平(高阻抗)输出设备(信号源或提供信号的设备)和高电平(低阻抗)输入设备(信号接收器或其他接收信号的设备)之间的缓冲器。因此,缓冲放大器或阻抗变换器这两个名称有时用于具有单位电压增益的电流放大器。
如果放大信号的目的是提高相应的功率,则应该使用功率放大器。功率放大器可以表示为po=Kppi(3-9)其中,po是输出功率;pi是输入功率;Kp是功率增益系数。
由式(3-7)到式(3-9)不难得出:Kp=KvKi(3-10)以上3种类型放大器的功能可以由同一放大器同时实现。此外,具有单位电压增益的电流放大器(如电压跟随器)是功率放大器。通常,电压放大器和电流放大器用于信号通路的第一级(例如,感测、数据采集和信号产生),这一级的信号电平和功率电平相对较低;而功率放大器通常在最后一级使用(例如,终端控制、启动、记录、长途通信和显示),这一级通常需要高电平信号和功率电平。
在推导一个实用设备的运算放大器实现方程时,我们使用运算放大器的两个主要特性:
1.由于具有高差分增益,所以两个输入端(反相和同相)的电压相等。
2.由于具有高输入阻抗,所以每个输入端上的电流为零。
我们将在下文的常用放大器的公式推导过程中多次用到这些特性。
图3-2a给出了电压放大器中的运算放大器电路。注意,反馈电阻Rf用于保持运算放大器的稳定性并提供精确的电压增益。运放的正极接地,并通过已知阻值的精确电阻R将输入电压接入负极。该电阻值的选择根据实际需要来决定。输出通过反馈电阻Rf反馈到负极,该电阻值的选择也根据实际需要来决定。为确定电压增益,需要知道的是,在理想情况下运算放大器的两个输入端上的电压应相等。由于+ve端接地,所以节点A处的电压也为零。根据以上结论可知,在理想情况下通过运算放大器输入端的电流为零,可写出节点A当前的电流平衡方程:image.png
结合式(3-7)可以得到image.png
因此,电压增益可由式(3-12)给出image.png
需要注意的是,此处可以忽略增益中-ve的符号,因为可以通过简单地将输入端反转到应用程序的方式进行更改。另外,需要注意,Kv取决于R和Rf的数值,而不是取决于运算放大器的增益。因此,可以通过精确选择两个无源元件(电阻)R和Rf的值来确定电压增益。此外,由于输出电压与输入电压具有相同的符号,因此这是一个同相放大器。如果电压值异号,那么我们将该放大器称为反相放大器。

image.png

电流放大器如图3-2b所示。将输入电流ii接入运算放大器的负极,正极引脚接地。反馈电阻Rf通过负载RL连接到负极。由于运算放大器的输入电流几乎为零,所以电阻Rf为输入电流提供路径。第二电阻器R的输出接地,该电阻对电流放大有重要作用。为分析该放大器,使用A点处的电压,由于运算放大器的正极接地,所以它为零。输入电流ii会全部通过电阻Rf。由此得知,点B处的电压值为Rfii。通过电阻R的电流为Rfii/R,其在所示方向上为正值。因此,输出电流io可由公式io=ii+(Rf/R)ii或下式得到:image.png
因此,电流增益可由下式给出:image.png
如前所述,可以使用高精度电阻R和Rf来精确地设置放大器增益。这些电阻可以称为放大器的“增益设置电阻”。

3.2.4 仪表放大器

仪表放大器通常是用于仪表的专用电压放大器。仪表放大器的一个重要特征是增益可调。大多数仪表放大器可以手动调整增益值。在更复杂的仪表放大器中,增益是可编程的,并且可以通过数字逻辑进行设置(如通过控制计算机)。仪表放大器通常用于欠电压信号。仪表放大器的应用示例如下所示:
1.需要应用两个信号的差值,例如,在比较器的控制硬件中,比较器产生“控制误差”信号(即参考信号和传感器输出信号之间的差值)。这个误差信号在控制系统中用作反馈。
2.在两个信号(当两个信号中出现相同的噪声)中,通过对比它们的差异,消除共同的噪声分量(例如,交流电源的60Hz线路噪声)。根据实际应用的需要,可以以这种方式去除常见的噪声分量。
3.如果可以直接测量信号中的噪声或非线性分量(例如,在电源处),则可从信号中去除噪声或非线性分量。
4.用于产生电桥电路(即桥式放大器)输出的放大器。
5.放大器与各种传感器和换能器一起使用。

3.2.4.1 差分放大器

通常,仪表放大器也是差分放大器。它以两个信号之差作为输入,具有许多用途,如在仪表放大器部分所提到的。对于单端放大器,接地回路噪声是一个非常严重的问题。使用差分放大器可以有效地消除接地回路噪声,因为噪声回路是由放大器的两个输入端形成的,所以这些噪声信号在放大器输出处可减去。由于两个输入的噪声水平几乎相同,因此可抵消。两个由输入端进入的具有相同强度的任何其他噪声(例如,60Hz线路噪声)也将在差分放大器的输出端被去除。

image.png

在差分放大器中,两个输入端都用于信号输入;而在单端放大器中,一个引脚接地,仅一个引脚用于信号输入。
一个基本的差分放大器使用一个单一的运算放大器,如图3-3a所示。这个放大器的输入输出方程可以用通常的方式来获得。例如,因为流过运算放大器的电流可以忽略,所以B点的电流平衡方程为image.png
其中vB是B点的电压。同理,A点的电流平衡方程为image.png
然后,从式(i)和式(ii)中消去vA和vB,通过运用运算放大器的特性vA=vB(iii)得出image.png
image.png
从式中可以得出两个结论。第一,放大器的输出是和两输入的差值成比例的,而不是两个输入vA和vB的绝对值。第二,放大器的电压增益是Rf/R,这称为“差分增益”。显然,使用高精度电阻R和Rf可以精确地设置差分增益。

3.2.4.2 仪表放大器

如图3-3a所示,前面讨论的基本的差分放大器是仪表放大器的重要组成部分。此外,仪表放大器应具有增益可调的能力。并且,仪表放大器的每个输入端都应具有非常高的输入阻抗和非常低的输出阻抗。仪表放大器希望比基本的差分放大器有更高和更稳定的增益以及更高的输入阻抗。具有这些基本要求的仪表放大器可以以单列IC形式作为单个封装来制造。此外,可以使用3个差分放大器和高精度电阻构建仪表放大器,如图3-3b所示。可以通过微调电阻R2调整放大器的增益。阻抗由两个电压跟随器型放大器来提供,每个输入一个。可变电阻δR4用于补偿由于不相等的共模增益而引起的误差。我们从这个方向出发,进而得出仪表放大器的方程式。

3.2.4.3 共模

现在,我们将关于这一主题的讨论扩展到差分放大器。当vi1=vi2时,在理想情况下,输出电压vo应为零。换句话说,在理想情况下,任何共模信号都将被差分放大器所阻挡。但是由于商用运算放大器并不是理想的,并且两个输入引脚通常不具有完全相同的增益,所以当两个输入相同时,输出电压vo也不为零。相关联的共模误差可以通过在差分放大器的两个输入引脚之一提供具有精细分辨率的可变电阻器来补偿。因此,在图3-3b中,为了补偿共模误差(即达到合适的共模抑制电平),首先,使两个输入相等,然后小心地调节δR4,直到输出电压足够小(最小)。通常,实现该补偿所需的δR4比标准化的反馈电阻R4小。
一个差分放大器的共模抑制比(CMRR)定义为image.png
其中,K是差分放大器的增益(即差分增益);vcm是共模输入电压(即两个输入端使用相同的电压);vocm是共模输出电压(即基于共模输入电压产生的输出电压)。
在理想情况下,由于vocm=0,因此共模抑制比(CMRR)为无穷大。共模抑制比(CMRR)越大,差分放大器的性能越好。
因为在理想情况下δR4=0,所以我们可以在仪表放大器的推导公式中忽略δR4。现在,注意到运算放大器没有达到饱和的基本属性(具体来说,两个输入引脚上的电压必须几乎相同),如图3-3b所示,点2处的电压应为vi2,点1处的电压应为vi1。接下来,我们运用运算放大器的每个输入端的电流可忽略不计的特点。通常,流过路径B→2→1→A的电流必须相等。由此得出式(vB-vi2)∕R1=(vi2-vi1)∕R2=(vi1-vA)∕R1,其中vA和vB是分别是A点和B点的电压。因此我们得到两个等式vB=vi2+(R1∕R2)(vi2-vi1)和vA=vi1-(R1∕R2)(vi2-vi1)。现在,通过vB-vA,我们得出仪表放大器第一级的方程:image.png
接下来,从上一个差分放大器的结果式(3-15)得到(其中δR4=0)image.png
式(3-17a)和式(3-17b)提供了仪表放大器的方程。只有电阻器R2可以调节放大器的增益(差分增益)。在图3-3b中,只要精确地选择了电阻R1和R2,两个输入运算放大器(电压跟随运算放大器)就没有完全相同的必要。这是因为如前所述,放大器参数(例如,开环增益和输入阻抗)不会进入放大器方程,前提是它们的值足够大。

3.2.4.4 电荷放大器

电荷放大器是仪表放大器的一个重要类别。它主要用于调理来自高阻抗传感器(如压电传感器)的信号。它使用具有反馈电容的运算放大器为高阻抗设备提供信号调理。电荷放大器将在压电加速度计中详细讨论。

3.2.4.5 交流耦合放大器

在某些应用中,必须限定信号的直流分量,并且只允许有交流分量。同时去除直流偏置和失调是非常重要的。信号的直流分量可以通过连接电容来阻挡[注意:由于电容阻抗为1∕(jωC),因此在零频率时会存在无穷阻抗]。如果器件的输入引线串联了电容器,则称输入为交流耦合;如果输出引线串联了电容,则称输出为交流耦合。通常,交流耦合放大器在输入端和输出端都串联电容器。因此,交流耦合放大器的频率响应函数具有高通特性,特别是直流分量将会被过滤掉。对于交流耦合放大器,由偏置电流和失调信号引起的误差可忽略不计。此外,在交流耦合放大器中,稳定性不是很严重的问题。

3.2.5 噪声和接地回路

在处理低电平信号的仪器(例如,加速度计等传感器、应变片电桥电路等信号调理电路,以及计算机磁盘驱动器和汽车控制模块等复杂精密的电子组件)中,电噪声会导致过大的误差,除非采取适当的纠正措施。一种噪声是由附近的交流电源线或电动机而产生的波动磁场产生的。这通常称为“电磁干扰”(EMI)。这个问题可以通过消除电磁干扰源来避免,以使受影响的仪器附近不存在波动的外部磁场和电流。另一种解决方案是使用光纤(光学耦合)进行信号传输,使得从源到目标仪器的传输信号中没有噪声传导。在硬连线传输的情况下,如果两根信号线(正极、负极,相线、中性线)扭绞在一起或使用屏蔽电缆,则两根线上的感应噪声电压相等,相互抵消。
正确的接地对于减少不必要的电气噪声非常重要,更重要的是减少电气安全隐患。一个标准的单相交流电源插座(120V、60Hz)有3个端子,第一个端子连接电源(相线),第二个是中性线端子,第三个端子接地(在电网中点与点之间相当一致地保持在零电位)。相应地,仪器的电源插头也应该有3个插脚。较短的平插脚连接到黑线(相线),较长的平插脚连接到白线(中性线)。圆形插脚连接到绿色电线(地线),另一端连接到仪器的底盘或外壳(机箱地线)。通过这种方式可将底盘接地,即使在电源电路出现故障(例如,漏电或短路)的情况下,仪器外壳也会保持在零电位。仪器的电源电路也有一个本地接地(信号地),参考它的电源信号被测量。这是因为仪器内足够厚的导体对0V提供了一个共同和统一的参考。考虑图3-4所示的传感器信号调理示例。直流电源可以提供正(+)和负(-)输出。其零电压基准由公共地(COM)表示,并且是设备的信号地。直流电源的COM没有连接到机箱地,而是通过电源中的圆形插头连接到地。这是避免触电危险所必需的。请注意,电源的COM连接到信号调理模块的信号地。以这种方式,公共的0V为给信号调理模块供电的直流电压提供参考。

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接地回路噪声
电噪声主要是由于仪器的不良接地回路而造成的。如果两个相互连接的仪器在两个相距很远的地方接地(多点接地),那么两个接地点之间可能存在电位差而使接地回路噪声进入信号引线。原因在于地面本身一般不是均匀电位的介质(差别大约为100mV),并且一点到另一点的阻抗也非零(有限)。事实上,这是一种典型的地面介质,如公共接地线。一个例子如图3-5a所示,在这个例子中,传感器的两条引线直接连接到了信号调理装置(如放大器),其中输入的一根引线(+)接地(在B点)。传感器的0V参考通过自身的机壳接地(在A点)。在这种方式下,两个器件(这个例子中的传感器和放大器)是接地参考(即连接到建筑物地面,它是建筑物中有三针墙插座的地面)。因为地面电位不均匀,所以两个地面点A和B之间有一个电位差vg。这将与连接两台设备的公共参考引线形成接地回路。解决这个问题的办法是隔离(即提供无穷的阻抗)两个设备中的一个。这称为“浮置”,图3-5b展示了传感器的内部隔离。通过绝缘传感器外壳的外部隔离也会消除接地回路。浮置电源的COM端(见图3-4)是消除接地回路的另一种方法。具体来说,就是COM没有连接到地面。

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3.3 模拟滤波器

滤波器是一种只允许通过信号的理想分量,同时拒绝信号中不需要分量的器件。不想要的信号会严重地降低工程系统的性能。外部干扰、激励中的误差分量、系统组件和仪器内部产生的噪声都是这样的假信号,它们都可由滤波器滤除。另外,滤波器能够以期望方式对信号进行整形。
在典型的信号处理和获取的系统工程应用中,滤波器的任务是在一个确定的频率范围内去除一些信号分量,在这种情形下,我们可将滤波器分为下列四大类:
●低通滤波器
●高通滤波器
●带通滤波器
●带阻(或陷波)滤波器
4种滤波器理想的频率响应特性如图3-6所示。图中仅展示了频率响应函数的幅值(频率传递函数的幅值)。然而,可以理解的是,输入信号的相位失真在通频带(允许的频率范围)内也应该是很小的。实际的滤波器并不理想,它们的频率响应函数没有图3-6所示的那么陡峭的截止频率,此外,一些相位失真将是不可避免的。

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广泛用于响应信号的采集和监测(例如,在产品动态测试中)的特殊类型的带通滤波器叫作跟踪滤波器。这是一个带通滤波器,具有可变(可调)的窄通频带。确切地说,带通滤波器的中心频率是可变的,通常将其耦合到载波信号(如驱动信号)上。在这种方式下,在存在噪声和其他信号的情况下时,可以准确地跟踪其频率随系统中的一些基本变量(例如,转子速度、谐波激励信号的频率、扫频振荡器的频率)而变化的信号。跟踪滤波器的输入是被跟踪信号和可变的跟踪频率(载波输入)。图3-7示意了一个可以同时跟踪两个信号的典型跟踪滤波器。

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滤波能够由数字滤波器或者模拟滤波器来完成,在数字信号处理变得高效和经济之前,模拟滤波器专门用于信号滤波并且仍在广泛使用。模拟滤波器通常是包含有源组件的有源滤波器,如晶体管或运算放大器。在模拟滤波器中,输入信号通过模拟电路。电路的动态性能将决定哪些(所需的)信号分量将会被允许通过,哪些(不需要的)信号分量将被拒绝。早期的模拟滤波器使用的是离散电路元器件,例如,离散的晶体管、电容、电阻和均匀的电感。由于电感具有易受电磁噪声影响、电阻效应未知、尺寸大等缺点,因此目前在滤波电路中很少使用它。此外,由于IC具有的众所周知的优点,所以如今的单片IC芯片形式的模拟滤波器广泛地用于现代应用,并且优于离散滤波器。采用数字信号处理实现滤波的数字滤波器如今也在广泛使用。

3.3.1 无源滤波器和有源滤波器

无源模拟滤波器只利用模拟电路包含无源的元件[如电阻和电容(还有一些电感)]来完成滤波。无源滤波器不需要外部电源。有源模拟滤波器利用有源器件和组件(如晶体管和运放),同时也有无源器件。由于有源器件和组件的操作需要外部电源,所以有源滤波器的特征在于需要外部电源。有源滤波器广泛应用于单片IC封装,通常优于无源滤波器。
有源滤波器的优点如下:
1.负载效应和组件之间相互作用的影响是轻微的,因为有源滤波器能够提供非常高的输入阻抗和非常低的输出阻抗。
2.可以在低信号电平时工作,因为信号放大和滤波都可以由相同的有源电路来提供。
3.以低成本和紧凑的IC形式被广泛使用。
4.能够很容易地集成到数字设备里。
5.受到的电磁噪声干扰更少。
有源滤波器通常提到的缺点如下所示:
1.需要外部电源供电。
2.在高信号电平时易受饱和型非线性影响。
3.可以引入许多类型的内部噪声和未建模的信号误差(失调、偏置信号等)。
请注意,无源滤波器的优缺点可以直接从有源滤波器的优缺点中推断出来。
极点数
模拟滤波器是动态系统。若假设线性动态,它们可以用传递函数来表示。滤波器的极数是相关传递函数的极点数。这也等于滤波器传递函数中特征多项式的阶数(即滤波器的阶数)。注意:极点(或特征值)是特征方程的根。
在我们的讨论中,展示了滤波器的简化版本,它通常由单个滤波器组成。这种基本滤波器的性能可以以增加电路复杂度为代价(并增加极数)来提高。基本的运算放大器可用于有源滤波器。虽然更复杂的设备可以在市场上买到,但我们的主要目的是说明基本原理,而不是为商用滤波器提供完整的描述和数据手册。

3.3.2 低通滤波器

低通滤波器的目的是允许所有低于特定(截止频率)频率通过的信号分量,并阻断高于该截止频率的所有信号分量。模拟低通滤波器广泛用于数字信号处理中的防混叠滤波器(参见第6章)。如果原始信号的频率分量高于采样频率的一半(采样频率的一半称为奈奎斯特频率),则称为“混叠”的误差就会进入到信号数字处理的结果中。因此,如果信号在采样和数字处理之前使用截止频率为奈奎斯特频率的低通滤波器进行滤波,则可以消除混叠失真。这是模拟低通滤波器的众多应用之一。另一个典型的应用是消除感测信号中的高频噪声。

image.png

一个单极点有源低通滤波器如图3-8a所示。如果两个与图3-8a类似的有源滤波器连接在一起,则负载误差可以忽略不计,因为具有反馈的运算放大器(即电压跟随器)引入了高输入阻抗和低输出阻抗,同时保持电压增益一致。通过类似的推理可以得出结论,有源滤波器具有的一个期望特性是与任何其他连接组件之间非常低的相互作用。
为了得到图3-8a所示的滤波器方程,我们写出运算放大器反相输入端的电流平衡方程(输入到运算放大器的电流等于0;考虑到反相输入引线已接地,所以电压等于0):(vi/R)+(vo/Rf)+Cf(dvo/dt)=0,我们得到image.png
其中滤波器的时间常数为image.png
现在,由式(3-17)得到滤波器的传递函数image.png
滤波器增益为image.png
从这个传递函数可以清晰地看出,模拟低通滤波器在本质上是一个滞后电路(即它提供了一个相位延迟)。
通过设定s=jω,得到对应于式(3-20a)的频率响应函数image.png
当施加正弦信号的频率为ω时,这个式子会给出滤波器的响应。频率传递函数的幅值G(jω)是信号的放大,并且相位角∠G(jω)给出输出信号相对于输入信号的超前相位。图3-8b显示了幅值曲线(伯德幅值曲线),通过除以直流增益k使其归一化。从式(3-20b)可以看到,对于小频率(即ω<<1/τ),幅值(归一化)近似为1。因此,1/τ可以认为是截止频率image.png

例3.3
说明式(3-21)给出的截止频率也是低通滤波器的半功率带宽。说明对于比这更大的频率,伯德图幅值平面上的滤波器传递函数(即对数幅值和对数频率)可以近似斜率为-20dB/十倍频程的直线。这个斜率称为“滚降率”。
解:使用归一化传递函数(k=1),相应的半功率(或1/2幅值)频率由下式给出:image.png。通过交叉相乘、平方和简化,得到τ2ω2=1。因此,半功率带宽是image.png
这与式(3-21)中给出的截止频率相同。
现在对于ω>>1/τ(即ωτ>>1),归一化的式(3-19b)可以近似为G(jω)=1/τjω。此时频率特征的幅值为|G(jω)|=1/τjω。
转换到对数,我们得到image.png
由此得出,幅值频率曲线是斜率为-1的直线(均取了对数)。换句话说,当频率增加10倍(即十倍频程)时,log10的幅值减小1(即20dB)。因此,滚降率是-20dB/十倍频程。这些观察结果如图3-8b所示。幅值变化image.png
倍(或功率增大2倍)相当于3dB。因此,当DC(零频率)值为1(0dB)时,半功率幅值为-3dB。
截止频率和滚降率是低通滤波器的两个主要设计规范。理想情况下,我们希望低通滤波器幅值曲线平坦到达所需的通带限制(截止频率),然后非常迅速地滚降。图3-8所示的低通滤波器只能大概满足这些要求,特别是滚降率不够大。在实际使用的滤波器中,我们希望至少-40dB/十倍频程或甚至-60dB/十倍频程的滚降率。这可以通过使用高阶滤波器(即具有很多极点的滤波器)来实现。低通巴特沃斯滤波器属于这种类型,并已广泛使用。
低通巴特沃斯滤波器
具有两个极点的低通巴特沃斯滤波器可以提供-40dB/十倍频程的滚降率,三极点的可以提供-60dB/十倍频程此外,滚降斜率越陡,通带内的滤波器幅值曲线越平坦。

image.png

图3-9显示了一个双极点低通巴特沃斯滤波器。我们可以简单地通过将图3-8a所示的两个单极点滤波器连接在一起来构建一个双极点滤波器。然后,我们需要两个运算放大器,而图3-9所示的电路通过仅使用一个运算放大器(即以较低的成本)达到了相同的目的。
例3.4
证明图3-9所示的运算放大器电路是一个双极点低通滤波器。这个滤波器的传递函数是什么?在合适的条件下估算截止频率并表明滚降率是-40dB/十倍频程。
解:为了得到滤波器方程,我们首先写出电流平衡方程。特别地,通过R1和C1电流的和通过R2。相同的电流必须通过C2,因为通过运算放大器的电流为零(运算放大器的一个特性)。因此有image.png
此外,流过反馈电阻器Rf的电流完全流过接地电阻器R,因为流过运算放大器第二根引线的电流也是零。因此,这种分压路径可表示如下vB=kvo(ii)其中image.png
由式(i)和式(ii),我们得到image.png
现在我们定义下面的常量:τ1=R1C1, τ2=R2C2, τ3=R1C2(3-24)通过将式(iv)代入式(iii)消去vA并引入拉普拉斯变量s。我们得到了滤波器传递函数image.png
如果极点比较复杂,即[(1-1/k)τ1+τ2+τ3]2<4τ1τ2,则这个二阶传递函数将会振荡。理想情况下,我们希望有一个零谐振频率,这对应的阻尼比为ζ=1/image.png
无阻尼自然频率为image.png
阻尼比为image.png
谐振频率为image.png
对于低通滤波器,当ζ=1/2时,理想条件对应于ωr=0(即没有谐振峰值,给出更宽的平坦区域)。对于这个最优情况,从式(3-27)和式(3-28),我们得到[(1-1/k)τ1+τ2+τ3]2=2τ1τ2(3-28)滤波器的频率响应函数是[见式(3-25a)]image.png
为了方便起见,我们对该传递函数进行归一化(即设置k=1)。现在,对于ω>>ωn,滤波器的频率响应在单位增益下是平坦的。对于ω>>ωn,滤波器的频率响应可以近似为G(jω)=-ω2n/ω2。
在幅频曲线中,该函数是斜率为-2的直线。因此,当频率增加10倍(即十倍频程)时,log10(幅值)下降两个单位(即40dB)。换句话说,滚降率是-40dB/十倍频程。
滤波器截止频率:这是低通滤波的有效频率。对于理想滤波器(即image.png),可以把ωn作为截止频率。因此,image.png
使用式(3-25b)可以很容易验证,当image.png时,该频率等于半功率带宽(即传递函数幅值变为1/image.png时所对应的频率,其中归一化的DC值是1.0)。
注意:如果两个单极点滤波器(见图3-8a所示类型)串联,则所得到的双极点滤波器具有过阻尼(即非振荡)传递函数(ζ>1),而且不同于目前的情况,不可能达到ζ=1/image.png。此外,通过串联图3-9所示的双极点滤波器和图3-8a所示的单极点滤波器,可以获得三极点低通巴特沃斯滤波器。高阶低通巴特沃斯滤波器可以以类似方式获得,即通过串联一组适当的基本滤波器单元。
可以清楚得到,理想且截止频率为ωc的双极点(即二阶)低通巴特沃斯滤波器的传递函数可表示为:image.png
式(3-30)中的第二个传递函数是在MATLAB中使用的归一化形式,其归一化频率使得0<ωc/ωo<1。一旦使用MATLAB确定了归一化的滤波器传递函数,就可以使用适当的缩放频率ωo,把其缩放为任何其他频率。
例3.5
确定一个二阶低通巴特沃斯滤波器,使其截止频率为ωc=1/2rad/s。使用MATLAB验证结果。
画出滤波器传递函数的幅频特性。
如何使用这个结果获得10倍于该截止频率的滤波器?
接下来,获得具有相同截止频率(ωc=1/2rad/s)的四极点(四阶)巴特沃斯滤波器并比较这两个结果。
解:直接代入式(3-30),得到滤波器传递函数image.png
相应的MATLAB命令是
image.png

其中,n是滤波器阶数;Wn是截止频率;b是传递函数的分子系数向量;a是传递函数的分母系数向量。
我们得到以下结果:
image.png

这与分析结果一致。我们可以用MATLAB来绘制该滤波器的频率响应函数的幅值,如下所示:
image.png

结果如图3-10a所示(实线)。
对于归一化的滤波器结果(对于任何滤波器阶数为n),我们可以直接获得对应于任何其他截止频率和相同滤波器阶数的滤波器传递函数。我们简单地改变归一化结果的多项式系数(分子和分母)如下所示:image.png

image.png

其中r是改变截止频率的倍增因子。
现在,当r=10时它对应10/image.pngrad/s的截止频率,我们有最佳滤波器传递函数image.png
接下来,让我们使用一个四极点巴特沃斯滤波器为同一个例子设计一个更好的低通滤波器,并比较这两个结果。我们使用下面的MATLAB命令来达到这个目的:

image.png
image.png

图3-10a中的“x”点表示四极点巴特沃斯滤波器的频率响应函数的幅值。可以看出,通带的平坦度大大提高了。特别地,双极点滤波器已经相当平坦,高达约0.2rad/s,而四极点滤波器则高达约0.4rad/s。
相位失真:滤波器有明显的好处,但就信号失真而言,我们通常在牺牲某些东西的同时达到这些目的。有两种类型的失真可进入信号(当去除不需要的分量时):(1) 信号幅值失真; (2) 信号相位角失真(引入相位滞后)。我们已经观察到了幅值失真,当频率大于截止频率的一半时,幅值失真可能是显著的。我们能够通过增加滤波器的数量来改善幅值失真。现在让我们使用相同的例子来考虑相位失真。
两个滤波器的相位角曲线(以弧度为单位)使用以下MATLAB命令来获得:
image.png

结果如图3-10b所示,双极点滤波器为实线,四极点滤波器为“x”点。可以看出相位失真相当显著。然而,就相位失真而言,双极点滤波器比四极点滤波器好。特别是在截止频率下,双极点滤波器的相位滞后是π/2,而四极点滤波器的相位滞后是π。
假设产生了一个有随机噪声的正弦信号,如图3-10c所示,使用MATLAB脚本:
image.png

使用以下MATLAB命令将此信号分别应用于双极点滤波器和四极点滤波器:
image.png

接下来,使用以下命令绘制输入(噪声)信号和滤波器输出:
image.png

图3-10c显示了这些图。可以得出以下结论:
1.两个滤波器在消除噪声方面同样有效。
2.双极点滤波器稍微引入了幅值失真。
3.四极点滤波器引入了更多的相位失真。

3.3.3 高通滤波器

理想情况下,高通滤波器允许所有高于某个频率(截止频率)的信号分量通过,并阻止低于该频率的所有信号分量。图3-11a显示了一个单极点高通滤波器。对于前面讨论的低通滤波器,希望是有源滤波器,因为它具有许多优点,包括由于运放的高输入阻抗和低输出阻抗引起的负载误差可忽略不计,所以运算放大器电压跟随器就具备这个特性。

image.png

由于流过路径C-R-Rf的电流是相同的(因为没有电流可以流入运算放大器引线),因此可获得滤波器方程。令vA为A点的电压,我们得到C(d/dt)(vi-vA)=vA/R=-vo/Rf。通过消除这两个方程中的vA,我们可以得到image.png
可以写成image.png
其中滤波器的时间常数为τ=RC(3-32)为了方便(不失一般性),取k=1(即R=Rf)。然后,引入拉普拉斯变量s,滤波器的传递函数可以写成image.png
这对应于超前电路(即由该传递函数提供整个相位的超前)。相应的频率响应函数是image.png
由于ω<<1/τ,因此幅值为0,而由于ω<<1/τ的幅值为1,所以截止频率为image.png
一个理想的高通滤波器允许所有高于该截止频率的信号不失真,并将完全阻断截止频率以下的所有信号。然而,从图3-11b所示的频率响应特性来看,图3-11所示的基本高通滤波器的实际性能并不完美。基本的高通滤波器的半功率带宽等于式(3-33b)给出的截止频率,就像在基本低通滤波器中看到的情况一样。单极点高通滤波器的上升斜率为20dB/十倍频程。越陡峭越好。可以构建多极点高通巴特沃斯滤波器,以提供更陡峭的上升斜率和合理平坦的通带幅值特性。

3.3.4 带通滤波器

一个理想的带通滤波器通过有限频带内的所有信号分量,并阻断该频带外的所有信号分量。通带的下限频率称为“下限截止频率”(ωc1),频带的上限频率称为“上限截止频率”(ωc2)。形成带通滤波器最直接的方法是将截止频率为ωc1的高通滤波器与截止频率为ωc2的低通滤波器级联起来。我们通过将无源低通滤波器连接到图3-11所示的高通滤波器来实现这一点。这种结构如图3-12所示。尽管在高通滤波器的输出端会有一个负载电流,但是如前所述,从其方程推导中可以看出,滤波器方程将是相同的。
为了得到滤波器方程,首先考虑图3-12a所示电路的高通部分。根据之前得到的高通滤波器的结果[见式(3-31a)],我们有image.png
其中vo1是高通阶段的输出。

image.png
image.png

无源低通滤波器的方程比较简单(输出处于开路),如下所示:(vo1-vo)/R2=C2(dvo/dt)这给出了低通级的传递函数 image.png
然后,结合式(i)和式(ii),我们得到了带通滤波器的传递函数image.png
其中τ2=R2C2(3-36)截止频率是ωc1=1/τ和ωc2=1/τ2,这些用图3-12b所示的频率特性来表示。可以验证,对于这个基本的带通滤波器,上升斜率是+20dB/十倍频程,下降斜率是-20dB/十倍频程。这些斜率在许多应用中是不够的。此外,基本滤波器通带内的频率响应平坦度不够。具有更清晰截止频率和更平坦通带的更复杂(更高阶)的带通滤波器可商购获得。
谐振型带通滤波器
有很多应用需要滤波器的通带非常窄。在讲述模拟滤波器部分时,所提到的跟踪滤波器就是这样一种应用。具有尖锐谐振的滤波器电路可以用作窄带滤波器。由于级联RC电路不提供振荡响应(因为滤波器极点都是真实的),因此它不能构成谐振型滤波器。另一方面,图3-13a所示的电路将会产生所需的效果。
要获得滤波器方程,首先写出在运算放大器-ve引线端的电流总和:image.png
接下来写出A点的电流总和:image.png
从式(iii)和式(iv)中消去vA:[τ1τ2s2+(k1τ1+τ2)s+1+k2]vo=-τ1svi。
则滤波器方程为:image.png
其中image.png
可以证明,特征方程可具有复数根(即复极点)。
例3.6
验证图3-13a所示的带通滤波器具有图3-13b所示的谐振峰值的频率响应。验证在低阻尼时滤波器的半功率带宽Δω由2ζωr给出(注:ζ是阻尼比,ωr是谐振频率)。
解:我们可以通过显示其特征方程可能具有复数根的方式,来证明式(3-37)给出的传递函数具有谐振峰值方程。例如,如果我们使用参数值C1=2、C2=1、R1=1、R2=2和R3=1,那么有τ1=2、τ2=2、k1=2和k2=2。对应的特征方程为4s2+6s+3=0,其根为-(3/4)±j(3/4)。显然,极点是复数。
要获得滤波器半功率带宽的表达式,滤波器的传递函数可写为image.png
其中,ωn是无阻尼固有频率;ζ是阻尼比;k是增益参数。
频率响应函数由下式给出image.png
对于低阻尼,谐振频率ωr≈ωn。对应的谐振峰值M是通过将ω=ωn代入式(3-38b)中并取传递函数的幅值而得到的。从而有image.png
在半功率频率处我们有image.png
从而得到(ω2n-ω2)2=4ζ2ω2nω2式(3-36)的正根提供通带频率ωc1和ωc2。根由ω2n-ω2=±2ζωnω给出。因此,这两个根ωc1和ωc2满足以下两个等式:ω2c1+2ζωnωc1-ω2n=0和ω2c2+2ζωnωc2-ω2n=0。
因此,通过求解这两个二次方程并选择适当的符号,我们可以得到image.png
半功率带宽为:Δω=ωc2-ωc1=2ζωn(3-43)现在,因为在阻尼比较小的情况下有ωn≈ωr,所以我们有Δω=2ζωr(3-44)
共振型滤波器的一个明显缺点是带宽(通带)内的频率响应不平坦。因此,在通带内会发生非常不均匀的信号衰减。

3.3.5 带阻滤波器

带阻滤波器或陷波滤波器通常用于滤除信号中的窄带噪声分量。例如,通过使用陷波频率为60Hz的陷波滤波器,可以消除信号中60Hz的线路噪声。
图3-14a显示了一个可用作陷波滤波器的有源电路。这称为“双T形电路”,因为其几何形状类似于连接在一起的两个T形电路。
为了获得滤波器方程,需注意由于电压跟随器的单位增益(由于与电阻Rf相等)以及运算放大器的输入端接地,因此点P处的电压为-vo。现在,我们在节点A和B写下电流平衡方程:image.png
接下来,由于流过运算放大器正极的电流为零,因此在节点P处电流平衡image.png

image.png

这3个式子都是用拉普拉斯形式写成的 image.png
其中τ=RC 且 k=R/Rf(3-45)最后,通过式(iii)消去式(i)中的vA和vB,我们得到image.png
滤波器的频率响应函数(令s=jω)为image.png
当频率为下面的值时频率响应函数的幅值变为零ωo=1/τ(3-47)这就是所谓的“陷波频率”。陷波滤波器的频率响应函数的幅值如图3-14b所示。注意到,任何频率为ωo的信号分量都将被陷波滤波器完全消除。为了让其他(理想的)信号分量通过,不会有太多的衰减,就需要急速的滚降和滚升。
虽然前面3种滤波器通过滤波器传递函数的极点实现了频率响应特性,但陷波滤波器却是通过其零点(分子多项式方程的根)实现其频率响应特性的。
框3.2总结了一些关于滤波器的有用信息。

image.png
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3.3.6 数字滤波器

在模拟滤波中,滤波器是一个物理动态系统,通常是一个电路。要滤波的信号作为这个动态系统的输入,动态系统的输出是滤波后的信号。实质上,任何物理动态系统都可被解释为模拟滤波器。
模拟滤波器可以用时间微分方程来表示。它需要一个模拟输入信号u(t),它是在时间t上连续定义的,并产生一个模拟输出y(t)。数字滤波器是一种接收一系列离散输入值(例如,以采样周期Δt内对模拟信号进行采样)的设备,表示为{uk}={u0,u1,u2,…}(3-48)并且产生一系列离散的输出值{yk}={y0,y1,y2,…}(3-49)由此可见,数字滤波器是一个离散时间系统,可以用差分方程来表示。
一个n阶线性差分方程a0yk+a1yk-1+…+anyk-n=b0uk+b1uk-1+…+bmuk-m(3-50)是递归算法,就是说它使用输出序列的先前值以及直到当前时间点的输入序列的所有值来生成输出序列的一个值。以这种方式表示的数字滤波器称为递归数字滤波器。有使用数字处理的滤波器,其中输入序列的块(采样集合)通过一次性计算转换为输出序列的块。它们不是递归滤波器。非递归滤波器通常采用数字傅里叶分析,特别是快速傅里叶变换算法。
软件实现和硬件实现
在数字滤波器中,信号滤波是通过对输入信号进行数字处理来完成的。输入数据的序列(通常通过采样和数字化相应的模拟信号来获得)根据特定数字滤波器的递归算法进行处理。这就产生了输出序列。如果需要的话,最终的数字输出可以使用数模转换器转换成模拟信号(参见第4章)。
递归数字滤波器是应用特定滤波方案(例如,低通、高通、带通和带阻)的递归算法的实现。滤波器算法可以用软件或硬件来实现。在软件实现中,滤波器算法被编程到数字计算机中。计算机的处理器(例如,微处理器或DSP)根据存储在存储器(以机器代码形式)中的运行时滤波器程序处理输入数据序列,以生成滤波后的输出序列。
在软件方法中,滤波器算法在数字计算机中被编程和执行。硬件数字滤波器可以在IC芯片中实现,使用逻辑元器件来执行滤波方案。
数字滤波器的软件实现具有的优点是灵活性;具体而言,可以通过改变存储在计算机中的软件程序来很容易地修改滤波器算法。另一方面,如果在商业上需要大量特定(固定)结构的滤波器,那么将滤波器设计成可大批量生产的IC将会更经济。以这种方式,可以生产成本非常低的数字滤波器。与软件滤波器相比,硬件滤波器可以以更快的速度运行,因为在硬件滤波的情况下,处理过程通过滤波器芯片中的逻辑电路自动进行,而无须使用存储在计算机存储器中的软件程序和各种数据。硬件滤波器的主要缺点是其算法和参数值不能修改,该种滤波器专门用于执行固定功能。
关键术语
组件互连的注意事项:阻抗匹配,信号转换和信号调理。
运算放大器(Op-amp):高输入阻抗(大约为2MΩ),低输出阻抗(大约为10Ω)和非常高的开环电压(差分)增益(数量级为105~109)。
运算放大器方程:vo=Kd(vip-vin)+Kcm×(1/2)(vip+vin);vip为同相引脚电压,vin为反相引脚电压,Kd为差分增益,Kcm为共模增益。
共模电压:(1/2)(vip+vin)。
共模抑制比(CMRR):Kd/Kcm。
带宽:工作频率的范围(例如,56MHz)。
压摆率:输出电压的最大可能变化率,不会明显扭曲输出(例如,160V/μs)。
静态电流:当输出处于开路且没有输入信号时,运算放大器输出的电流。
运算放大器电路方程的两个假设:(1)输入端(反相和同相)的电压相等(由于高差分增益而产生的);(2)输入端的电流为零(由于高输入阻抗而产生的)。
仪表放大器:获取并放大两个输入信号之差,在每个输入端都有运算放大器(高输入阻抗),增益可调,有调整能力(纠错)。
仪表放大器的应用:控制诸如比较器之类的硬件,从两个信号中消除常见噪声(例如,来自交流电源线的60Hz线路噪声),去除可测量的噪声或非线性分量,作为电桥电路的放大器,作为传感器和换能器的放大器。
接地和隔离:避免电子噪声和有害信号传入仪器。
滤波器:有低通、高通、带通和带阻(包括陷波)4种形式。
模拟滤波器:使用模拟电路(使用运算放大器、电阻和电容等元器件)。滤波过程由电路的动态特性完成。
无源滤波器:使用无源器件,不需要电源。
有源滤波器:使用外部电源,使用运算放大器,有高输入阻抗,更便宜、更小、更精确、更高效。
滤波器参数:通带=允许信号的频带;截止频率=通带的结束频率(由滤波器时间常数来确定);极点=滤波器传递函数中分母方程(特征方程)的根。
低通滤波器:G(s)=k/(τs+1)(单极点),截止频率=半功率带宽=ωc=1/τ,滚降率=-20dB/十倍频程;G(s)=ω2n/(s2+2ζωns+ω2n)(双极点),截止频率=ωc=ωn,滚降率=-40dB/十倍频程。最佳滤波器→image.png→ωn=半功率带宽。
注意:这个双极点滤波器比两个级联的单极点滤波器要好,因为它需要一个运算放大器,并且是最佳的(image.png)。
高通滤波器:G(s)=τs/(τs+1)(单极点),截止频率ωc=1/τ,上升斜率=20dB/十倍频程。
带通滤波器:G(s)=τs/[(τs+1)(τ2s+1)],截止频率ωc1=1/τ,ωc2=1/τ2,上升斜率=+20dB/十倍频程,滚降斜率=-20dB/十倍频程;G(s)=ω2n/(s2+2ζωns+ω2n),其中image.png→半功率带宽Δω=2ζωn的共振型带通滤波器。
带阻(陷波)滤波器:G(s)=-(τ2s2+1)/[τ2s2+(4+k)τs+1+2k]且陷波频率ωo=1/τ。
数字滤波器:用于滤波的数字处理;滤波器模型是差分方程a0yk+a1yk-1+…+anyk-n=b0uk+b1uk-1+…+bmuk-m或Z传递函数;软件实现(在计算机程序中)和硬件实现(在固定逻辑硬件中)都是可行的。
思考题
3.1 在运动感测的情况下,定义下列术语:
(a) 机械负载
(b) 电负载
解释如何减少这些负载效应。下表给出了运算放大器中某些参数的理想值。为这些参数给出典型的实际值(例如,50Ω的输出阻抗)。

image.png

注:在理想条件下,反相端电压等于同相端电压(即失调电压为零)。

3.2 通常,通过使用以下两个假设分析运算放大器电路:
1.正输入端的电位等于负输入端的电位。
2.通过每个输入端的电流为零。
解释为什么这些假设在运算放大器不饱和时是有效的。
(a) 一个业余爱好者将电路连接到没有反馈组件的运算放大器上。即使在运算放大器没有施加信号的情况下,一旦电源接通,就会发现输出在+12V和-12V之间振荡。给出出现这种现象的原因。
(b) 运算放大器的开环增益为5×105,饱和输出电压为±14V。如果同相输入为-1μV,反相输入为+0.5μV,则输出是多少?如果反相输入为5μV,同相输入接地,则输出是多少?

3.3 在运算放大器中定义以下术语:
(a) 失调电流
(b) 失调电压(输入和输出)
(c) 增益不等
(d) 压摆率(转换速率)
给出这些参数的典型值。已知运算放大器的开环增益和输入阻抗随频率而变化,并且也随时间漂移。尽管如此,已知的运算放大器电路的性能表现仍非常好。请解释主要原因是什么?

3.4 (a) 什么是电压跟随器?给出一个电压跟随器的实际使用。

(b) 考虑图P3-1所示的放大器电路。根据电阻R和Rf确定放大器电压增益Kv的表达式。这是一个反相放大器还是一个同相放大器?

image.png

3.5 放大器的响应速度可以用3个参数来表示:带宽、上升时间和压摆率(转换速率)。对于理想化的线性模型(传递函数),可以验证上升时间和带宽与系统输入值及直流增益无关。由于输出值(在稳定条件下)可以表示为输入值和直流增益的乘积,因此可以看出对于线性模型而言,上升时间和带宽与输出幅值无关。
讨论压摆率与实际放大器的带宽和上升时间是如何相关的。通常,放大器有受限的转换速率值。表明在这种情况下,带宽随输出的振幅而减小。
电压跟随器的转换速率为0.5V/μs。如果振幅为2.5V的正弦电压施加到该放大器,那么请估算工作带宽。相反,如果施加幅值为5V的阶跃输入,则估计输出达到5V所需的时间。

3.6 定义以下术语:
(a) 共模电压
(b) 共模增益
(c) CMRR
运算放大器的共模抑制比的典型值是多少?图P3-2显示了一个带有横越电容的差分放大器电路。在操作过程中,开关A和B交替打开和关闭。例如,首先开关A在开关B断开(打开)的情况下打开(闭合)。接下来,开关A断开,开关B闭合。解释为什么这种设置提供了良好的共模抑制特性。

image.png

3.7 比较系统稳定性的常规(教科书)含义和仪器稳定性的实际解释。
已知放大器的温度漂移为1mV/℃,长期漂移为25μV/月。定义术语温度漂移和长期漂移。建议减少仪器漂移的方法。

3.8 一个设备(或电路)与其他设备(或电路)的电气隔离在工程实践中非常有用。可以使用隔离放大器来实现这一点。它提供了一个几乎是避免负载问题唯一方式的传输链路。按照这种方式,可以减少由于其他组件中信号电平的增加(可能是短路、故障、噪声、高共模信号等)而引起的一个组件的损坏。一个隔离放大器可以由一个变压器、一个带有其他辅助部件(如滤波器和放大器)的解调器构成。为隔离放大器绘制一个合适的原理图,并说明该器件的操作方式。

3.9 一份报纸上报道,一个人在使用手机和笔记本电脑的情况下,因触电死亡。根据报告,这个人在它们正充电时使用这两种设备(见图P3-3)。特别是,这个人戴着耳机连接到了笔记本电脑。在人的耳朵和胸部发现烧伤。尽管据称原因是有故障的手机充电器发送的高电压电脉冲进入了体内,但是这个怀疑是不能确定的,这从图P3-3中应该可以清楚地看到。讨论这种触电的可能原因。

image.png

3.10 什么是无源滤波器?列出无源(模拟)滤波器与有源滤波器相比的几个优点和缺点。
构建有源滤波器的一个简单方法是从一个相同类型的无源滤波器开始,并在输出端添加一个电压跟随器。这个电压跟随器的作用是什么?

3.11 为以下类型的模拟滤波器分别提供一个应用场景:
(a) 低通滤波器
(b) 高通滤波器
(c) 带通滤波器
(d) 陷波(带阻)滤波器
假设有多个单极点有源滤波器进行级联。整个(级联)滤波器可能具有谐振峰值吗?请说明原因。

3.12 巴特沃斯滤波器具有最大的平坦度。解释这是什么意思。给出一个实用滤波器所需的另一个特点。

image.png

3.13 图P3-4给出了一个有源滤波器电路。
(a) 求出滤波器的传递函数。滤波器的阶数是多少?
(b) 画出频率传递函数的幅频特性。它代表什么类型的滤波器?
(c) 估计滤波器的截止频率和滚降斜率。

3.14 选择一组传感器,并从这些传感器中确定可能存在于测量中的噪声类型。指出可以使用哪种类型的滤波器来滤除噪声。

3.15 使用MATLAB脚本语言生成噪声信号(在采样周期为0.02s时采样501个点),如图P3-5所示:
image.png

(a) 识别这个信号的一些特征(假设没有产生信号,没有这个信号的任何描述就给了你)。
(b) 使用截止频率为2.0rad/s的四极点巴特沃斯低通滤波器,并获得滤波后的信号。描述这个信号的性质。
(c) 使用四极点巴特沃斯带通滤波器,通带为:[9.9,10.1],[9.0,11.0]和[8.0,12.0],获得滤波后的信号。讨论这些结果。

image.png

3.16 具有内置补偿和滤波电路的单芯片放大器在工程应用中非常流行的作用是信号调理,特别是在与数据采集、机器健康监测和控制相关的任务中变得越来越流行。一些信号处理任务(如信号集成,即将加速度计的数据转换成速度传感器所需的数据),也可以使用IC芯片以模拟形式来完成。与传统的采用分立电路元器件和独立元件来完成各种信号调理任务的模拟信号调理硬件相比,这种信号修整芯片的优点是什么?

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