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带你读《传感器系统:基础及应用》之二:组件互连

简介: 本书包括传感器相关的数学、物理、电路等基础理论,介绍了相关的性能指标、性能选择以及集成到工程系统所需的软硬件,讲述了先进的传感器技术、分析建模、实际应用和设计研究实例。全书共12章,前面7章是传感器的基础知识,第8~11章分别讨论了不同种类传感器的结构及实际应用,第12章涉及先进的传感器技术。 本书可以作为高等学校测控技术与仪器、自动化、机电一体化、电气工程等专业高年级本科生和研究生教材,也可供相关科研和工程技术人员学习参考。

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第2章 

组件互连  
本章主要内容
●组件互连简介
●组件互连中的阻抗匹配
●阻抗匹配的方法
●最大功率传输
●最高效率的功率传输
●信号传输中的反射预防
●负载效应的降低
●机械系统中的阻抗匹配

2.1 引言

工程系统通常由各种互连的组件构成以实现预期的功能。当两个组件互连时,信号(和能量)将在它们之间流动,并且当两个组件相互作用(即动态耦合)时,它们之间的信号(响应)将随着时间而变化,这取决于两个组件的动态特性。当两个设备互连时,必须保证由改变系统动态条件所引起的变化不会产生不可接受的性能。很显然,对于工程系统的仪器仪表来说,考虑连接组件之间的组件互连和接口设计是十分重要的。

2.1.1 组件互连概述

工程系统通常是多域(混合)系统,由多种类型的组件互连组成。机电一体化系统尤其如此,该系统在设计和开发过程中采用了集成的并行最优化设计方法。通常,将机械(包括流体和热)、电气、电子和计算机硬件集成起来构成实际应用。当组件互连时,由于集成系统中各个组件的运行状态可能与每个组件独立运行时的状态有显著的不同,因此,组件互连是工程系统的设计和仪表化(和整体开发)过程中需要重点考虑的因素。
互连组件接口处的信号性质和类型取决于组件的性质和类型。比如,当电动机通过齿轮(变速器)单元与负载耦合时,机械能在这些组件的接口处流动。在这种情况下,传输的能量是相同形式的(机械的),并且我们会特别关注角速度和转矩的相关信号。类似地,当电动机连接到其电子驱动系统(例如,电子驱动电路根据电动机的类型不同连接到定子、转子或两者都有的直流电动机上)时,将驱动电路的电能转换成转子的机械能。它们的接口可以由机电变压器表示,如图2-1所示。一方面,我们将电压和电流转化为功率信号,另一方面,我们将角速度和转矩转化为功率信号。注意:在这两个例子中,双方都会有能量损失(浪费),因此能量转换的效率不会是100%。

image.png

通常,当两个组件互连时,它们之间将发生动态交互(动态耦合)。因此,当前任意组件的状态将与连接之前不同。很明显,为了使系统可以以期望的方式运行,相互连接的组件应该合理匹配。例如,由于在电动机及其电子驱动系统这个例子中,效率最大化是其追求的主要目标,所以,两个组件之间的动态交互将是非常重要的。相比之下,对于传感器和被测对象,重要的是传感器不会改变被测对象的动态条件(即传感器对被测对象的负载可以忽略不计。例如,对于运动传感器,电力负载和机械负载均应忽略不计)。换句话说,在保证传感器准确测量所需量时,传感器和被测对象之间的动态交互应该是可忽略不计的。
组件接口在互连系统的正常运行中起着很重要的作用。特别是接口必须根据互连系统的具体功能进行设计、开发或选择。在多组件系统中为了提高系统的性能和准确性,应仔细进行组件匹配。在这种情况下,基于系统的功能目标,对阻抗的考虑是十分重要的,因为为了实现互连系统的最佳性能,对阻抗进行匹配是很有必要的。
以下是与组件互连有关的注意事项:
1.互连组件的特征,例如,组件领域(机械、电气/电子、热),组件类型(执行器、传感器、驱动电路、控制器、安装或外壳)。
2.互连系统的目的(例如,驱动负载、测量信号、传递信息、最小化噪声和干扰——特别是机械冲击和振动)。
3.系统运行时信号/功率的电平/能级。

2.1.2 本章内容

本章介绍工程系统中如传感器、数据采集(DAQ)硬件、信号调理电路、执行器、能量转换装置和安装机械结构等组件互连,研究阻抗和组件匹配的基本概念。基于某些目的和应用,讨论互连组件的期望阻抗特性,提出阻抗匹配的几种方法,并给出其应用。最后解决电气和机械装置中的阻抗匹配问题。附录D概述了多组分系统的可靠性和相关的概率模型。
在某些情况下,这里提出的讨论和研究可能还很笼统。然而,这里介绍的概念适用于工程系统(多域)中许多类型的组件。

2.2 阻抗

2.2.1 阻抗的定义

在传统电学意义上阻抗可以被解释为“广义电阻”。阻抗也可以在机械或者其他领域(例如,流体、热)进行解释,这取决于所涉及信号的类型。例如,电压表可以改变电路中的电流(和电压),并且考虑交流电路时,这涉及更一般的电阻抗。考虑直流电路时,它表示电阻。再举另一个例子,较重的加速度计将引入额外的动力学(机械)负载,其将改变监测位置处的实际加速度,这涉及机械阻抗。第三个例子是,热电偶的结点可以改变热传递到结点中的被测量的温度,这涉及热阻抗。类似地,我们可以定义流体系统、磁系统(磁阻)的阻抗等。一般来说,阻抗定义为:image.png
跨接变量在组件两端(端口)之间进行测量,通过变量是通过组件而不发生改变的量。跨接变量有电压、速度、温度和压力。通过变量有电流、力、热传递速率和流体流速。电阻抗定义为电压/电流,这与式(2-1)一致。机械阻抗历来都定义为力/速度,这是式(2-1)的倒数。在我们的分析中,定义为速度/力的导纳是一般意义上的阻抗(即广义阻抗)。

2.2.2 在组件互连中阻抗匹配的重要性

当两个电气组件互连时,电流(和能量)在两个组件之间流动并改变初始(未连接时的)条件。这称为(电)负载效应,这种效应必须最小化。在实际情况下,信号通信、调理、显示等需要足够的能量和电流才能进行。仪器的这种要求可以通过组件阻抗的适当匹配来实现。一般来说,当传感器、换能器、电源、控制硬件、数据采集(DAQ)板、过程(即设备)装备、信号调理硬件和电缆等组件互连时,必须在每个接口处正确地匹配阻抗以实现它们的额定性能水平。这种匹配应该根据互连系统的目标进行。以下给出了几类阻抗匹配:
1.用于最大功率传输的电源和负载匹配:在驱动系统中,最重要的目标是使从电源传递到执行器或负载的功率最大化。在这种情况下,互连组件之间的动态交互将变得十分重要。合适的阻抗匹配可以实现最大功率传输要求。
2.用于效率最高的功率传输:在功率传输中实现最高效率不同于实现最大功率,因为在最大功率传输中不能实现最高效率。可以适当选择负载阻抗以实现高效率。
3.信号传输中的反射预防:当两个组件通过具有特性阻抗(例如,50Ω或75Ω的同轴电缆)的电缆(如同轴电缆)进行连接时,由于电缆两端的阻抗差异(来源于所连接组件的阻抗),将会有信号反射(类似于由两个介质的密度差异而形成的弹性波反射)。反射信号(回波)将会有额外的功率消耗,导致信号强度下降和信号失真,所有这些都是不希望出现的。必须匹配电缆的端部阻抗和特性阻抗才能避免信号反射。
4.负载效应的降低:在某些应用中,当两个组件互连时,要求输出组件不加载输入组件。例如,在传感过程中,传感器不应该改变被测对象的状态。换句话说,测量仪器不应扭曲被测量的信号。很简单,即传感器不应该“加载”被测对象。另一示例是,在传感器的信号采集系统中,信号采集硬件不应该扭曲从传感器处获得的信号(即可能具有滤波和放大功能的信号采集系统不应该加载这个传感器)。第三个例子是,在稳压电源中连接到电源的负载不应该显著改变电源的输出电压。可以通过选择阻抗来减小负载效应。在这种情况下,阻抗匹配称为阻抗桥或电压桥。需要阻抗变换器才能实现适当的阻抗匹配以减小负载效应。
不合适阻抗的一个不利影响是输出信号电平不足,这将会使信号处理和传输、组件驱动和组件或设备的最终控制驱动等功能变差。在传感器换能器技术中,应该注意的是,许多类型的换能器(例如,压电加速度计、阻抗探头和传声器)具有高达1000MΩ(兆欧姆,1MΩ=1×106Ω)的输出阻抗。这些设备产生较低的输出信号,它们需要调理才能提高信号电平。使用具有高输入阻抗和低输出阻抗(几欧姆)的阻抗匹配放大器(或阻抗变换器)或阻抗桥装置就是为了这个目的(例如,电荷放大器与压电传感器结合使用)。具有高输入阻抗的装置还有一个优点是,对于给定的输入电压,特别是和与其连接的输入装置相比,消耗更少的功率(即v2/R比较低),此外,功率传输也将以更高的效率进行。具有低输入阻抗的输出装置从输入装置获取高电平的现象也可以解释为输入装置出现了负载误差。在这种情况下,两个互连设备(输入设备和输出设备)之间将存在显著的动态交互。

2.3 阻抗匹配的方法

在仪表化的过程中,组件互连是为了达到某些特定目的而进行的。连接组件的阻抗应该匹配,以提高系统在这些功能目标(目标)方面的性能。我们现在考虑一下阻抗匹配的目标:
●从电源到负载实现最大功率传输
●在效率最高时实现功率传输
●信号传输中的反射预防
●减小负载效应

2.3.1 最大功率传输

一些应用的目的是从电源处获取最大功率。电源内部阻抗Zs必须与负载阻抗Zl相匹配,以便最大化负载功率。如果互连系统中有除了电源和负载之外的其他组件,那么我们可以简单地使用相同的方法将其作为电源阻抗,即不包括负载的戴维南电路等效阻抗。首先可以通过使用纯电阻(DC)示例来展现该方法。
例2.1
假设直流电源电压为vs,内部(输出)阻抗(电阻)为Rs。它为负载或电阻Rl供电,如图2-2所示。如果这个电路的目标是最大化负载所吸收的功率,那么Rs和Rl之间的关系应该是什么?

image.png

解:通过电路的电流为image.png
因此,负载上的电压是:image.png
负载吸收的功率为:image.png
为了获得最大功率,需要image.png
将式(i)的右边表达式对Rl求导,并使结果等于0,以满足式(ii)。这就得出了对最大功率的要求:Rl=Rs因此,最大功率传输要求是负载电阻必须等于电源端电阻。
从例2.1中获得的结果可以容易地扩展到一般情况,既有电阻又有电抗(电抗由电感和电容引起)的交流电路。这种情况如图2-3所示,其中vs是电源电压,Zs是电源阻抗,Zl是负载阻抗。如果有电源和负载之外的组件,那么它们可以集成到电源中。因此Zl代表那些组件(不包括负载)的等效戴维南阻抗。如果这些组件也有源,则vs表示戴维南等效电路的等效电源电压。

image.png

在交流电路中,物理量具有幅值和相位角,在数学上它们用复数(实部和虚部)表示。使用它们的幅值可知,流过电路的电流大小为image.png
负载吸收的功率是电阻功率,由下式给出:image.png
其中,“rms”表示有效值(对于正弦信号,它是振幅的image.png);R是阻抗的实部;X是阻抗的虚部。
从这个式子的最后一项中可以看出,功率最大化的一个要求是分母中电抗的贡献应最小(即为零,因为这里是平方)。因此,我们需要Xl=-Xs(2-2a)一旦满足这个条件,先前给出的负载功率表达式就与纯电阻表达式相同,然后可参见例2.1的解决方法。因此,对于负载功率最大化,我们也需要Rl=Rs(2-2b)通过组合式(2-2a)和式(2-2b),可以看出,最大化负载功率的总体要求是负载阻抗必须是电源阻抗的复共轭:Z1=Z*s(2-2)这称为“共轭匹配”。通过将式(2-2)的阻抗匹配要求代入负载功率表达式,将得到最大功率:image.png

2.3.2 效率最高的功率传输

由负载吸收的功率效率由总功率的吸收功率的分数形式给出:image.png
可以看出,当负载电阻为最大值(或负载阻抗为最大值)时,效率最高。为提高负载功率吸收效率,必须提高负载效率。理论上,当负载阻抗为无限大时,我们可以获得100%的效率。
显然,最高效率完全不同于最大功率[见式(2-2)]。事实上,通过将式(2-2b)代入式(2-3),我们看到在最大功率时效率为50%。这确实是效率相当差的一个条件。

2.3.3 信号传输中的反射预防

当阻抗突然变化时,信号的一部分将会反射回来。反射系数Γ由反射信号电压vr与入射信号电压vi的比值给出:image.png
如果通过阻抗Zc传输的信号突然遇到终端阻抗Zl,那么相应的反射系数为image.png
反射信号会导致信号恶化(幅值、相位角)和耗散(功率损耗),两者都是不期望的。因此,在理想情况下,我们希望Γ=0。
考虑将一个内部阻抗为Zs的电源通过特征阻抗为Zc(如50Ω)的电缆与阻抗为Zl的负载相连,如图2-4所示。
 

image.png

为了避免终端(负载和电源)信号反射,我们必须具有阻抗匹配条件:Zs=Zc=Zl(2-7)如果未进行阻抗匹配,则可以通过接地阻抗(或阻抗匹配垫)来实现。如图2-5所示。在这个例子中,假设Zs≠Zc,则必须放置接地阻抗Zg来满足以下条件:image.png
这样,在电源端提供了Zc的等效匹配阻抗。
在短电缆中,反射信号非常快速地传播到终端并快速衰减。因此,在短电缆中信号反射不重要。信号反射原理可以用于实际应用中。例如,由于电缆损坏会导致阻抗突然变化,所以在损坏位置处将出现信号反射。通过确定电压脉冲被反射回电源所需的时间,就可以确定电源到损坏位置的距离。这是反射计的原理,它用于检测电缆的损坏。
信号反射不限于金属电缆(铜、铝等)。例如,信号反射会出现在光纤和传输介质中遇到声阻抗变化的声信号中。

2.3.4 负载效应的降低

不合适阻抗的不利影响是负载效应,它可使信号失真。其所产生的误差可能远远超过其他类型的误差,如测量误差、传感器误差、噪声和输入干扰。负载在任何物理域中都存在,如电气和机械。测量装置等输出单元或具有低输入阻抗的信号采集硬件将会导致电负载误差,其中硬件的输入装置(如信号源或具有低到中等阻抗的传感器)具有低输入阻抗。机械负载误差由输入装置(例如,执行器)导致,这是由于惯性、摩擦力和其连接的输出组件(例如,齿轮传动装置、机械负载)而产生的其他阻力引起的。
在工程系统中,负载误差也可能表现为相位失真。数字硬件也可能产生负载误差。例如,数据采集(DAQ)板中的模数转换器从应变片电桥电路加载放大器的输出,从而影响数据数字化(参见第4章)。

2.3.4.1 设备的级联连接

为了获得负载失真的模型和减小负载效应的方法,我们现在考虑二端口电气设备的级联连接。二端口电气设备如图2-6a所示。图中特别显示了设备的输入阻抗Zi和输出阻抗Zo。它们会在下文中定义。 

image.png

输入阻抗:输入阻抗Zi定义为当输出端保持开路时,额定输入电压与流过输入端电流的比值。
输出阻抗:输出阻抗Zo定义为输出端处的开路电压(无负载)与输出端的短路电流的比值。当输出端没有电流流过时,输出端的开路电压为输出电压。如果输出端没有连接负载(阻抗),那么就是这种情况。一旦在输出端接了负载,电流就会流过该负载,那么输出电压将下降并小于开路电压。为了测量开路电压,在输入端施加额定输入电压并保持恒定,并且输出电压使用具有高(输入)阻抗的电压表进行测量。为了测量短路电流,输出端连接了阻抗非常低的电流表。
这些定义是根据电气装置给出的。然而,如前所述,若将电压和速度解释为“跨接变量”,电流和力解释为“通过变量”,可以将上述概念推广到机械设备中。然后在相关分析中,应使用机械导纳代替电阻抗。对于其他物理域也可以进行类似的泛化。
可以看出,图2-6a所示的输入阻抗Zi和输出阻抗Zo与前面给出的定义一致。请注意,vo是开路输出电压。当负载连接至输出端时,负载两端的电压不同于vo。这是由于流过Zo的电流而引起的。在频域中,vi和vo由它们各自的傅里叶谱(具有实部和虚部或幅值和相位的复数形式)表示。相应的传递关系可以用开路(无负载)条件下的复频率响应(转移)函数G(jω)表示:vo=Gvi(2-9)接下来,考虑两个级联在一起的设备,如图2-6b所示。可以很容易证实以下关系:image.png
这些关系可以结合起来,给出总体的输入输出关系:image.png
从这个结果我们观察到,整体频率传递函数与理想预期乘积(G2G1)的因子不同:image.png
从该式可以看出,级联已经使两个设备的频率响应特性失真,这意味着有负载误差。当Zo1/Zi2<<1时,负载误差会变得无关紧要。可以得出结论,当两个组件互连(级联)时,为了减小负载误差,二级设备(输出设备)的输入阻抗应该远大于一级设备(输入设备)的输出阻抗。
例2.2
用作补偿控制系统的滞后网络如图2-7a所示。证明其传递函数由vo/vi=Z2/(R1+Z2)给出,其中Z2=R2+(1/Cs),那么该电路的输入和输出阻抗是多少?
此外,如果两个这样的滞后电路组成图2-7b所示的级联电路,那么总的传递函数是什么?你如何将这个传递函数逼近理想结果[Z2/(R1+Z2)]^2?

image.png

解:为了解决这个问题,首先要注意的是,在图2-7a中,R2+(1/Cs)的压降是:
image.png
因此,image.png
现在,通过使用输入电流i=vi/(R1+Z2)导出输入阻抗Zi,从而有image.png
通过使用短路电流isc=vi/R1导出输出阻抗Zo,从而有image.png
接下来,考虑图2-7c所示的等效电路。由于Z是通过Z2和(R1+Z2)并联而形成的,从而有image.png
Z两端的压降为image.png
现在,将单电路模块得到的结果式(i)应用到图2-7b所示的第二个电路部分。我们得到vo=[Z2/(R1+Z2)]v′o。将其代入式(v)中,得到vo=[Z2/(R1+Z2)][Z/(R1+Z)]vi。则级联电路的整体传递函数为image.png
现在,将式(iv)中的1/Z代入,我们得到:image.png
我们观察得到,通过使R1Z2/(R1+Z2)2尽可能小于1就会接近理想传递函数。

2.3.4.2 通过阻抗匹配降低负载效应

从前面的分析可以看出,为了减少负载误差,与传感器换能器单元的输出阻抗相比,信号调理电路应该具有相当大的输入阻抗。该问题在具有非常高输出阻抗的压电传感器等装置中是非常关键的。在这种情况下,信号调理单元的输入阻抗可能不足以降低负载效应。此外,这些高阻抗传感器的输出信号电平对于信号传输、处理、驱动和控制来说也相当低。该问题的解决方案是在第一级硬件输出单元(例如,传感器)和第二级硬件输入单元(例如,DAQ单元)之间引入几级放大器电路。这种接口装置的第一级通常是具有高输入阻抗、低输出阻抗和单位增益的阻抗匹配放大器(或阻抗变换器)。这称为“阻抗电桥”。最后一级通常是稳定的高增益放大器级,以提高信号电平。实际上,阻抗匹配放大器是具有反馈功能的运算放大器。
综上所述,我们得出如下结论:
1.当将装置连接到信号源时,可以通过确保装置具有高输入阻抗来减少负载问题。不幸的是,这也将降低装置从信号源处接收到的信号电平(幅值、功率)。这就需要对信号进行放大,同时应在输出端保持所需的阻抗大小。
2.如我们在介绍信号反射处所指出的那样,高阻抗设备会反射源信号的一些谐波。如上所述,终端电阻(阻抗垫)可以与设备并联以减少信号反射。在许多数据采集(DAQ)系统中,输出放大器的输出阻抗等于传输线阻抗(特性阻抗)。
3.当最大功率需要放大时,推荐使用共轭匹配。在这种情况下,匹配放大器的输入和输出阻抗分别等于源和负载阻抗的复共轭。

2.3.5 机械系统中的阻抗匹配

阻抗匹配的概念可以直接扩展到机械系统和混合系统(例如,机电系统或机电一体化系统)中。这个过程可以与我们熟悉的机电系统进行类比。两个具体应用是:冲击和振动隔离,传动系统(齿轮)。下面将对这两个应用进行讨论。
振动隔离
在机械系统中组件互连的一个很好例子是振动隔离。工程系统(如精密仪器、计算机硬件、机床和车辆)的正常运行都会受到冲击和振动的阻碍。振动隔离的目的是将设备从不良振动和冲击扰动的环境(包括支撑结构或道路)中“隔离”开来。这是通过在它们之间连接隔振器或减振器来实现的。
力隔离和运动隔离
外部扰动可以以力或运动输入的形式到达系统,根据这一点,隔离器的设计将适用于力隔离(与力传递性相关)或运动隔离(与运动传递性相关)。幸运的是,在这两种情况下,隔离器的设计非常相似。
在力隔离情况下,通常隔离器通过其柔性部分(弹簧)和耗散部分(阻尼)将从振动源直接传递到支撑结构(隔离系统)的振动力过滤掉,这使得部分力通过惯性路径传递。在运动隔离中,通过移动平台施加到系统(如车辆)的振动运动可由隔离器通过其柔性部分和耗散部分吸收,使得传递到系统的运动被削弱。在这两种情况下,设计问题都是为隔离器选择适当的参数,以使进入感兴趣系统的振动低于感兴趣频段(工作频率范围)的规定值。这种设计问题在本质上是“机械阻抗匹配”问题,因为隔离器的阻抗参数(机械)是根据隔离器的阻抗参数来选择的。
注意:如前所述,广义阻抗(跨接变量/通过变量)对应于机械移动性,一般称之为机械阻抗的倒数。

image.png

力隔离和运动隔离如图2-8所示。在图2-8a中,振源的振动力为f(t)。鉴于隔离器的存在,因此振源(机械阻抗为Zm)与隔离器(机械阻抗为Zs)以相同的速度移动。由于它们以并联方式连接,因此,力f(t)被分散,这使得其一部分由Zm的惯性路径(虚线)吸收,余下的部分(fs)通过Zs传递到作为隔离系统的支撑结构。力的传递关系是image.png
在图2-8b中,振源的振动运动v(t)通过隔离器(机械阻抗为Zs,导纳为Ms)加载到隔离系统(机械阻抗为Zm,导纳为Mm)。假设所产生的力直接从隔离器传输到隔离系统,那么这两个单元串联连接。因此,运动传递性为image.png
值得注意的是,根据这两个模型,我们有Tf=Tm=T(2-13)结论是,通常这两种类型的隔离器可以使用共同的传递函数T并以相同的方式进行设计。
力隔离和运动隔离的简单示例如图2-8c、d所示。首先,我们从图2-8c中获得了系统的传递(力传递)函数。然后,根据式(2-13)可知,图2-8d中系统的运动传递性等于相同的表达式。首先,考虑图2-8c中的力传递问题,这在图2-8e中再次表现出来。它可以代表机床及其支撑结构的简化模型。
显然,m、b和f是并联的,因为它们之间具有共同的速度v,所以,其机械阻抗电路如图2-8f所示。在这个电路中,基本的阻抗分别为:质量(m)的阻抗为Zm=mjω,弹簧(k)的阻抗为Zk=k/jω,黏性阻尼器(b)的阻抗为Zb=b(见表2-1)。将各阻抗代入力传递表达式(其通过使用图2-9所示的互连定律和图2-8f中的电路获得):image.png

image.png

我们可以得到image.png
这个表达式是通过将分子和分母同时除以m得到的。现在,使用k/m=ω2n和b/m=2ζωn(或系统的无阻尼固有频率image.png和系统的阻尼比image.png),然后同除ω2n[见式(2-14a)]。我们得到image.png
其中无量纲激励频率定义为r=ω/ωn。
传递函数具有相位角和幅值。在振动隔离的实际应用中,相比于振动激励与响应之间的相位差,振动激励的衰减水平是最重要的。因此,我们使用传递率幅值image.png
要确定|Tf|的峰值点,应对式(2-15a)中平方根里面的表达式求微分并且令其等于零:image.png
因此,4r{[(1-r2)2+2ζ2r2]2ζ2+(1+4ζ2r2)[(1-r2)2-2ζ2]}=0。将该式化简为r(2ζ2r4+r2-1)=0,其根是r=0和image.png
根r=0对应于初始稳定点(零频率)。这并不代表一个峰值。只取r2的正根,然后取其正平方根,传递函数的峰值点由下式给出:image.png
对于ζ,由泰勒公式展开可得image.png。式(ii)近似等于1。因此对于小阻尼,传递率幅值将在r=1处有峰值,并且从式(2-15a)可得,其值为|Tf|≈image.pngimage.png
图2-10a所示为ζ=0、0.3、0.7、1.0和2.0时,Tf对应于r的5条曲线。这些曲线是使用精确式(2-15a)得到的,可以使用以下MATLAB程序生成:

从图2-10a的传递率曲线可以看出:
1.总有一个非零的频率值使传递率幅值达到峰值。这就是谐振点。
2.对于较小的ζ,大约在r=1处达到传递率幅值的峰值。随着ζ增加,峰值点向左移动(即峰值频率的较低值)。
3.峰值随ζ的增加而减小。
4.所有传递率曲线通过幅值1.0时,频率都是r=image.png
5.隔离区域(即Tf<1)由r>image.png给出。在这个区域,Tf随ζ的增加而增加。
6.在隔离区域中,随着r增加,传递率幅值会减小。
在两种特殊情况下,从传递率曲线中可以看出以下特点:
对于所有ζ,当r>image.png时,Tf<1.05。
对于r>(1.73,1.964,2.871,3.77,7.075),当Tf<0.5时,分别有ζ=0.0,0.3,0.7,1.0,2.0。
接下来,假设图2-8e所示的装置具有的主要无阻尼固有频率为6Hz,阻尼比为0.2。假设为了正常运行,要求系统在大于12Hz的工作频率值实现小于0.5的传递率幅值。我们需要image.png
对于ζ=0.2和r=12/6=2,该表达式为24-2×22-12×0.22×22-3=3.08>0。
因此,可知满足要求。实际上,对于r=2,表达式为24-2×22-12×22ζ2-3=5-48ζ2,因此满足要求需要image.png。如果不满足要求(如ζ=0.4),则应选择减少阻尼。
在隔振器的设计问题中,通常规定隔离百分比由下式给出:I=(1-|T|)×100%(2-17)

image.png

式(2-15)的结果对应于image.png
式(2-18)的隔离曲线如图2-10b所示。这些曲线在隔振器的设计中是很有用的。
注意:图2-8中的模型不限于正弦振动。任何一般的振动激励都可以由傅里叶频谱来表示,傅里叶频谱是频率ω的函数。然后,通过将激励谱乘以传输函数T获得响应振动频谱。相关的设计问题涉及隔离器阻抗参数k和b的选择,从而使其满足隔离设计。
例2.3
如图2-11a所示,一个机床的质量为1000kg,通常在300~1200r/min的转速范围内工作。必须将一组弹簧座放置在机器底部的下方,以减少至少70%的隔振。市售的弹簧座具有图2-11b所示的负载挠度特性。如果需要,建议使用适当数量的安装座以及惯性块。每个安装座的阻尼常数为1.56×103N·s/m。设计该机床的隔振系统。具体来说,确定所需弹簧座的数量和应该添加的惯性块质量。

image.png

解:首先,我们假设零阻尼(在实际中,这种系统中的阻尼较小),在此基础上设计隔离器(弹簧安装座和惯性块),并使其隔离度大于所要求的70%。然后,我们将检查阻尼隔离器的情况,以查看是否实现了所需70%的隔离。
对于无阻尼的情况,式(2-15a)变为image.png
注意:因为隔离区域对应于r>image.png,所以我们使用r>1。
假设保守的隔离百分比I=80%→T=0.2。使用式(2-15b),可得image.png
最低运行速度(频率)是最重要(关键)的(因为它对应于最低隔离度,如图2-10a所示)。因此,image.png
从弹簧座的负载挠度曲线(见图2-11b)可以得出:image.png
要想使基底稳定,我们将使用4个安装座。因此,k=4×50×103N/m。
于是,image.png
注意,根据该结果,必须添加质量为216kg的惯性块。
现在,我们必须检查在有阻尼情况下是否可以达到所要求的振动水平:image.png
代入式(2-15a)的有阻尼隔离器式中得到:image.png
我们有image.png
这对应于73%的隔离度,比所要求的70%要好。
机械传动
在机械系统中组件互连和阻抗匹配的另一个应用涉及速度传输(齿轮、谐波驱动、丝杆螺母装置、皮带传动、齿条齿轮装置等)。对于具体应用,请考虑由电动机驱动的机械负载。由于可用电动机有转速转矩特性的限制,所以通常直接驱动是不实际的。在电动机和负载之间加入合适的齿轮传动装置,可以根据负载来修正驱动系统的转速转矩特性。这是机械系统的组件互连、接口设计和阻抗匹配的过程。我们将用一个例子说明这些概念的应用。
例2.4 由电动机驱动的惯性负载考虑使用转矩为T的转矩源(电动机)和转动惯量Jm来驱动惯性矩为JL的纯惯性负载,如图2-12a所示。系统产生的角加速度θ是多少?忽略连接轴的灵活性。

image.png

现在,假设负载通过电动机负载转速比为r∶1的理想(无损耗)齿轮连接到相同的转矩源,如图2-12b所示。则负载产生的角加速度θg是多少?
根据r和p=JL/Jm获得标准化负载加速度a=θg/θ的表达式。在p=0.1、1.0和10.0的条件下,绘制a-r图。根据p确定r的值使得负载加速度a最大。
解释这个问题的结论。
解:对于没有齿轮传动的单元,由牛顿第二定律可知(Jm+JL)θ=T。
因此,image.png
对于具有齿轮的传动装置,请参见图2-13所示的自由体受力图,在无损(即效率为100%)齿轮传动的情况下。由牛顿第二定律可知image.png
并且JLθg=Tg(iii)其中Tg是负载惯量上的齿轮转矩。通过消去式(ii)和式(iii)中的Tg,我们得到image.png

image.png

用式(iv)除以式(i)可得:image.png
我们得到传输加速比:image.png
其中p=JL/Jm。
由此可以看出,对于r=0,我们有a=0;对于r→∝,我们有a→0。a的峰值可以通过微分获得:image.png
取其正根可得image.png
其中rp是对应于a达到峰值时r的值。通过用式(v)代替式(vi)来获得a的峰值。因此,image.png

image.png

此外,从式(v)中注意到,当r=1时,对于任何p的值,都有a=r=1。因此,式(v)中的所有曲线将通过相同的点(1,1)。
当p=0.1、1.0和10.0时,关系式如图2-14所示。峰值列在表2-2中。
从图2-14可以看出,根据惯性比可以选择传动速度比来最大化负载加速度。因此,相关的阻抗匹配(设计)问题如下:对于规定的(需要的)峰值加速比ap,使用ap=(1+p)/(2image.png)和rp=image.png选择r和p。
特别说明如下:
1.当JL=Jm时,选择直接驱动系统(无齿轮传动,即r=1)。
2.当JL的峰值选择加速齿轮。
3.当JL>Jm时,选择峰值为r的减速齿轮。

image.png

关键术语
组件互连:由于动态交互(耦合),所以组件之间的状态在互连后会发生变化。它会影响信号、负载等。
负载:当连接输出组件时,不希望输入组件的信号变化。电气负载示例:产生电信号(输入设备)的传感器和信号采集硬件(输出设备)。机械负载示例:感测对象(输入设备)和安装在其上的重型传感器(输出设备)。
组件互连的注意事项:阻抗匹配、信号转换和信号调理。
阻抗:跨接变量除以通过变量,适用于多个领域(电气、机械、热、流体等)。注意:电阻抗类似于机械导纳(机械阻抗的倒数)。
阻抗匹配:匹配互连设备的阻抗,并在必要时增加补偿阻抗。
阻抗匹配的类别:(1)最大功率传输时电源和负载的匹配;(2)效率最高时的功率传输;(3)信号传输中的反射预防;(4)负载效应的降低。
最大功率传输:使用共轭匹配image.png
效率最高时功率传输:效率η=Rl/(Rl+Rs)。增加负载阻抗可以提高效率。
反射系数:反射信号的电压/入射信号电压;image.png,其中Zi和Zc是组件阻抗。
反射预防:补偿阻抗的变化(例如,使用阻抗垫),使得(1/Zi)+(1/Zg)=1/Zc。
输入阻抗Zi:输出端处于开路状态时,输入端额定输入电压/流过输入端的相应电流。
输出阻抗Zo:在输出端,开路(即无负载)电压/短路电流。
级联:vo=1/(Zo1/Zi2+1)G2G1vi。
负载误差的减小:使Zo1/Zi2<<1。
机械系统中的阻抗匹配:比如振动隔离和速度转换(齿轮等)。
力传递率Tf:传递的力/施加的力。
运动传递率Tm:传递的运动/施加的运动。
传递率:T=Tf=Tm=Zs/(Zs+Zm)=Mm/(Mm+Ms)
简单的振荡模型:image.png
其中,r=ω/ωn;image.png为无阻尼固有频率;image.png为阻尼比。
传递率幅值:对于ζ较小的情况,有image.png
振动隔离:I=(1-|T|)×100%
隔离器设计:指定I,并使其增加10%;在最低工作频率(速度)下,使用I的近似(低阻尼)公式确定r;因此image.png。选择k(振动安装刚度)和m(惯性块)。使用I的完整公式来检查有阻尼的情况。
机械传动:传动加速比a=r(1+p)/(r2+p);电动机负载转速为r∶1;惯性比p=JL/Jm;峰值ap=(1+p)/2image.png出现在rp=image.png
设计问题:为特定的(需要的)ap选择r和p。
思考题
2.1 (a) 定义电阻抗和机械阻抗。(b) 在这一命名中确定与力电流类比有关的漏洞。(c) 你会提出什么改进?(d) 输入阻抗和输出阻抗在与测量装置精度的关系中发挥了什么重要作用?

image.png

2.2 列出阻抗匹配在组件互连中很重要的4个原因。
2.3 信号测量中负载误差是什么意思?另外,如图P2-1所示,假设输出阻抗为Zs的压电传感器连接到输入阻抗为Zi的电压跟随放大器中。传感器信号为vi,放大器输出为vo。放大器输出端连接到具有非常高输入阻抗的设备上。绘制信号比vo/vi与阻抗比Zi/Zs的关系图,阻抗比值范围为0.1~1.0。
2.4 戴维南定理表明,根据输出端的特性,由线性无源器件和理想源器件组成的未知子系统可以由单个跨接变量(电压)源veq串联单个阻抗Zeq来表示。如图P2-2a、b所示。注意,在图P2-2b中,由于通过Zeq的电流为零,所以veq等于开路时输出端上的跨接变量voc。考虑图P2-2c所示的电路,确定该电路频域中的等效电压源veq和等效串联阻抗Zeq。

image.png

2.5 对于具有源电阻和负载电路的电路,如图2-2所示,绘制负载功率效率曲线以及负载功率/最大负载功率与负载电阻/源电阻的曲线,并分析结果。
2.6 说明为什么电压表应该有很高的电阻,电流表应该有很低的电阻。两种测量仪器的一般要求的设计意义是什么,特别是在仪器灵敏度、响应速度和鲁棒性方面?使用经典的动圈式电流计作为讨论模型。注意:电流计目前不用于测量电信号。相反,它们可用于定位和运动控制。
2.7 在以下两个应用中,为连接的组件选择合适的阻抗:
(a) 输出阻抗为10MΩ的pH传感器连接到调理放大器。
(b) 输出阻抗为0.1Ω的功率放大器连接到无源扬声器。
在每种情况下,估计在传输信号中可能的百分比误差。

image.png

2.8 二端口非线性设备如图P2-3所示。在静态平衡(即稳态)条件下的转移关系由下式给出:vo=F1(fo,fi)
vi=F2(fo,fi)其中,v表示跨接变量;f表示通过变量;o、i分别表示输出端和输入端的下标。
根据函数F1和F2的偏导数,在静态条件下,在工作点附近获取输入阻抗和输出阻抗的表达式。解释这些阻抗是如何通过实验确定的。
2.9 信号通过阻抗为Zc的电缆进行传输,然后通过阻抗为Zl的天线传输(见图P2-4)。

image.png

(a) 显示vt=[2Zl/(Zl+Zc)]vi,其中v是电缆天线接口处的入射信号电压,vi是从电缆到天线的发送信号的电压。
(b) 在这个例子中,若对Zl和Zc之间进行适当的阻抗匹配,则所需满足的关系是什么?
(c) 在本例中阻抗匹配的一种方法是在天线连接处使用阻抗垫。再给出另一种方法。
2.10 质量为m的机器是一个旋转装置,其在垂直方向上产生谐振受迫激励f(t)。在工厂车间为该机器安装刚度为k和阻尼常数为b的隔振器。由于受迫激励而传递到地面的力的谐波分量为fs(t)。系统的简化模型如图P2-5所示。相应地从f到fs的力的传递率幅值|Tf|由下式给出:

image.png

其中,r=ω/ωn;ζ为阻尼比;ω为激励频率f(t);ωn为系统的无阻尼固有频率。
假设m=100kg,k=1.0×106N/m。另外,在机器操作范围内的激励力f(t)的频率为200rad/s或以上。确定振动隔离器的阻尼常数b,使力传递率幅值不超过0.5。
使用MATLAB绘制所得到的传递函数,并验证设计要求是否满足。
image.png

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