1. 引言(Introduction)
1.1 Welcome
1.2 什么是机器学习(What is Machine Learning)
1.3 监督学习(Supervised Learning)
1.4 无监督学习(Unsupervised Learning)
2 单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)
2.1 模型表示(Model Representation)
2.2 代价函数(Cost Function)
2.3 代价函数 - 直观理解1(Cost Function - Intuition I)
2.4 代价函数 - 直观理解2(Cost Function - Intuition II)
2.5 梯度下降(Gradient Descent)
2.6 梯度下降直观理解(Gradient Descent Intuition)
2.7 线性回归中的梯度下降(Gradient Descent For Linear Regression)
3 Linear Algebra Review
3.1 Matrices and Vectors
3.2 Addition and Scalar Multiplication
3.3 Matrix Vector Multiplication
3.4 Matrix Matrix Multiplication
3.5 Matrix Multiplication Properties
3.6 Inverse and Transpose
1. 引言(Introduction)
1.1 Welcome
随着互联网数据不断累积，硬件不断升级迭代，在这个信息爆炸的时代，机器学习已被应用在各行各业中，可谓无处不在。
一些常见的机器学习的应用，例如：
-
手写识别
-
垃圾邮件分类
-
搜索引擎
-
图像处理
-
…
使用到机器学习的一些案例：
-
数据挖掘
-
网页点击流数据分析
-
人工无法处理的工作(量大)
-
手写识别
-
计算机视觉
-
个人定制
-
推荐系统
-
研究大脑
-
……
1.2 什么是机器学习(What is Machine Learning)
-
机器学习定义 这里主要有两种定义：
-
Arthur Samuel (1959). Machine Learning: Field of study that gives computers the ability to learn without being explicitly programmed.
-
这个定义有点不正式但提出的时间最早，来自于一个懂得计算机编程的下棋菜鸟。他编写了一个程序，但没有显式地编程每一步该怎么走，而是让计算机自己和自己对弈，并不断地计算布局的好坏，来判断什么情况下获胜的概率高，从而积累经验，好似学习，最后，这个计算机程序成为了一个比他自己还厉害的棋手。
-
Tom Mitchell (1998) Well-posed Learning Problem: A computer program is said to learn from experience E with respect to some task T and some performance measure P , if its performance on T, as measured by P, improves with experience E .
-
Tom Mitchell 的定义更为现代和正式。在过滤垃圾邮件这个例子中，电子邮件系统会根据用户对电子邮件的标记（是/不是垃圾邮件）不断学习，从而提升过滤垃圾邮件的准确率，定义中的三个字母分别代表：
-
T(Task): 过滤垃圾邮件任务。
-
P(Performance): 电子邮件系统过滤垃圾邮件的准确率。
-
E(Experience): 用户对电子邮件的标记。
-
机器学习算法
-
主要有两种机器学习的算法分类
-
监督学习
-
无监督学习
-
两者的区别为 是否需要人工参与数据结果的标注 。这两部分的内容占比很大，并且很重要，掌握好了可以在以后的应用中节省大把大把的时间~
-
还有一些算法也属于机器学习领域，诸如：
-
半监督学习: 介于监督学习于无监督学习之间
-
推荐算法: 没错，就是那些个买完某商品后还推荐同款的某购物网站所用的算法。
-
强化学习: 通过观察来学习如何做出动作，每个动作都会对环境有所影响，而环境的反馈又可以引导该学习算法。
-
迁移学习
1.3 监督学习(Supervised Learning)
监督学习，即为教计算机如何去完成预测任务（有反馈），预先给一定数据量的输入
和对应的结果
即训练集，建模拟合，最后让计算机预测未知数据的结果。
监督学习一般有两种：
-
回归问题(Regression)
-
回归问题即为预测一系列的 连续值 。
-
在房屋价格预测的例子中，给出了一系列的房屋面基数据，根据这些数据来预测任意面积的房屋价格。给出照片-年龄数据集，预测给定照片的年龄。
-
-
分类问题(Classification)
-
分类问题即为预测一系列的 离散值 。
-
即根据数据预测被预测对象属于哪个分类。
-
视频中举了癌症肿瘤这个例子，针对诊断结果，分别分类为良性或恶性。还例如垃圾邮件分类问题，也同样属于监督学习中的分类问题。
-
视频中提到
支持向量机
这个算法，旨在解决当特征量很大的时候(特征即如癌症例子中的肿块大小，颜色，气味等各种特征)，计算机内存一定会不够用的情况。
支持向量机能让计算机处理无限多个特征。
1.4 无监督学习(Unsupervised Learning)
相对于监督学习，训练集不会有人为标注的结果（无反馈），我们
不会给出
结果或
无法得知
训练集的结果是什么样，而是单纯由计算机通过无监督学习算法自行分析，从而“得出结果”。计算机可能会把特定的数据集归为几个不同的簇，故叫做聚类算法。
无监督学习一般分为两种：
-
聚类(Clustering)
-
新闻聚合
-
DNA 个体聚类
-
天文数据分析
-
市场细分
-
社交网络分析
-
非聚类(Non-clustering)
-
鸡尾酒问题
新闻聚合
在例如谷歌新闻这样的网站中，每天后台都会收集成千上万的新闻，然后将这些新闻分组成一个个的新闻专题，这样一个又一个聚类，就是应用了无监督学习的结果。
鸡尾酒问题
在鸡尾酒会上，大家说话声音彼此重叠，几乎很难分辨出面前的人说了什么。我们很难对于这个问题进行数据标注，而这里的通过机器学习的无监督学习算法，就可以将说话者的声音同背景音乐分离出来，看视频，效果还不错呢~~。
嗯，这块是打打鸡血的，只需要一行代码就解决了问题，就是这么简单！当然，我没复现过 ^_^……
神奇的一行代码： [W,s,v] = svd((repmat(sum(x.*x,1),size(x,1),1).*x)*x');
编程语言建议
在机器学习刚开始时，
推荐使用 Octave 类的工程计算编程软件
，因为在 C++ 或 Java 等编程语言中，编写对应的代码需要用到复杂的库以及要写大量的冗余代码，比较耗费时间，建议可以在学习过后再考虑使用其他语言来构建系统。 另外，在做
原型搭建
的时候也应该先考虑使用类似于 Octave 这种便于计算的编程软件，当其已经可以工作后，才将模型移植到其他的高级编程语言中。
注：Octave 与 MATLAB 语法相近，由于 MATLAB 为商业软件，课程中使用开源且免费的 Octave。
机器学习领域发展迅速，现在也可使用 Tensorflow 等开源机器学习框架编写机器学习代码，这些框架十分友好，易于编写及应用。
2 单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)
2.1 模型表示(Model Representation)
-
房价预测训练集
-
Size in ()
-
Price ($) in 1000's()
-
2104
-
460
-
1416
-
232
-
1534
-
315
-
852
-
178
-
...
-
...
房价预测训练集中，同时给出了输入 和输出结果 ，即给出了人为标注的
”正确结果“
，且预测的量是连续的，属于监督学习中的回归问题。
-
问题解决模型
其中 代表结果函数，也称为
假设(hypothesis)
。假设函数根据输入(房屋的面积)，给出预测结果输出(房屋的价格)，即是一个 的映射。
，为解决房价问题的一种可行表达式。
: 特征/输入变量。
上式中， 为参数， 的变化才决定了输出结果，不同以往，这里的 被我们
视作已知
(不论是数据集还是预测时的输入)，所以怎样解得 以更好地拟合数据，成了求解该问题的最终问题。
单变量，即只有一个特征(如例子中房屋的面积这个特征)。
2.2 代价函数(Cost Function)
李航《统计学习方法》一书中，损失函数与代价函数两者为
同一概念
，未作细分区别，全书没有和《深度学习》一书一样混用，而是统一使用
损失函数
来指代这类类似概念。
吴恩达(Andrew Ng)老师在其公开课中对两者做了细分。
如果要听他的课做作业，不细分这两个概念是会被打小手扣分的
！这也可能是因为老师发现了业内混用的乱象，想要治一治吧。
损失函数
(Loss/Error Function): 计算
单个
训练集的误差
代价函数
(Cost Function): 计算整个训练集
所有损失函数之和的平均值
综合考虑，本笔记对两者概念进行细分，若有所谬误，欢迎指正。
我们的目的在于求解预测结果 最接近于实际结果 时 的取值，则问题可表达为
求解 的最小值
。
: 训练集中的样本总数
: 目标变量/输出变量
: 训练集中的实例
: 训练集中的第 个样本实例
上图展示了当 取不同值时， 对数据集的拟合情况，蓝色虚线部分代表
建模误差
（预测结果与实际结果之间的误差），我们的目标就是最小化所有误差之和。
为了求解最小值，引入代价函数(Cost Function)概念，用于度量建模误差。考虑到要计算最小值，应用二次函数对求和式建模，即应用统计学中的平方损失函数（最小二乘法）：
: 的预测值
系数 存在与否都不会影响结果，这里是为了在应用梯度下降时便于求解，平方的导数会抵消掉 。
讨论到这里，我们的问题就转化成了
求解 的最小值
。
2.3 代价函数 - 直观理解1(Cost Function - Intuition I)
根据上节视频，列出如下定义：
-
假设函数(Hypothesis):
-
参数(Parameters):
-
代价函数(Cost Function):
-
目标(Goal):
为了直观理解代价函数到底是在做什么，先假设 ，并假设训练集有三个数据，分别为，这样在平面坐标系中绘制出 ，并分析 的变化。
右图 随着 的变化而变化，可见
当 时，，取得最小值，
对应于左图青色直线，即函数 拟合程度最好的情况。
2.4 代价函数 - 直观理解2(Cost Function - Intuition II)
注：该部分由于涉及到了多变量成像，可能较难理解，要求只需要理解上节内容即可，该节如果不能较好理解可跳过。
给定数据集：
参数在 不恒为 时代价函数 关于 的3-D图像，图像中的高度为代价函数的值。
由于3-D图形不便于标注，所以将3-D图形转换为
轮廓图(contour plot)
，下面用轮廓图（下图中的右图）来作直观理解，其中相同颜色的一个圈代表着同一高度（同一 值）。
时：
大概在 时：
上图中最中心的点（红点），近乎为图像中的最低点，也即代价函数的最小值，此时对应 对数据的拟合情况如左图所示，嗯，一看就拟合的很不错，预测应该比较精准啦。
2.5 梯度下降(Gradient Descent)
在特征量很大的情况下，即便是借用计算机来生成图像，人工的方法也很难读出 的最小值，并且大多数情况无法进行可视化，故引入
梯度下降(Gradient Descent)方法，让计算机自动找出最小化代价函数时对应的 值。
梯度下降背后的思想是：开始时，我们随机选择一个参数组合即起始点，计算代价函数，然后寻找下一个能使得代价函数下降最多的参数组合。不断迭代，直到找到一个
局部最小值(local minimum)
，由于下降的情况只考虑当前参数组合周围的情况，所以无法确定当前的局部最小值是否就是
全局最小值(global minimum)
，不同的初始参数组合，可能会产生不同的局部最小值。
下图根据不同的起始点，产生了两个不同的局部最小值。
视频中举了下山的例子，即我们在山顶上的某个位置，为了下山，就不断地看一下周围
下一步往哪走
下山比较快，然后就
迈出那一步
，一直重复，直到我们到达山下的某一处
陆地
。
梯度下降公式：
$\begin{align*} & \text{repeat until convergence:} \; \lbrace \newline \; &{{\theta }_{j}}:={{\theta }_{j}}-\alpha \frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}J\left( {\theta_{0}},{\theta_{1}} \right) \newline \rbrace \end{align*}$
: 第 个特征参数
”:=“: 赋值操作符
: 学习速率(learning rate),
: 的偏导
公式中，学习速率决定了参数值变化的速率即”
走多少距离
“，而偏导这部分决定了下降的方向即”
下一步往哪里
“走（当然实际上的走多少距离是由偏导值给出的，学习速率起到调整后决定的作用），收敛处的局部最小值又叫做极小值，即”
陆地
“。
注意，在计算时要
批量更新 值
，即如上图中的左图所示，否则结果上会有所出入，原因不做细究。
2.6 梯度下降直观理解(Gradient Descent Intuition)
该节探讨 的梯度下降更新过程，即 ，此处为了数学定义上的精确性，用的是 ，如果不熟悉微积分学，就把它视作之前的 即可。
把红点定为初始点，切于初始点的红色直线的斜率，表示了函数 在初始点处有
正斜率
，也就是说它有
正导数
，则根据梯度下降公式 ， 右边的结果是一个正值，即 会
向左边移动
。这样不断重复，直到收敛（达到局部最小值，即斜率为0）。
初始 值（初始点）是任意的，若初始点恰好就在极小值点处，梯度下降算法将什么也不做（）。
不熟悉斜率的话，就当斜率的值等于图中三角形的高度除以水平长度好啦，精确地求斜率的方法是求导。
对于学习速率 ，需要选取一个合适的值才能使得梯度下降算法运行良好。
-
学习速率过小图示：
-
-
-
收敛的太慢，需要更多次的迭代。
-
学习速率过大图示：
-
-
-
可能越过最低点，甚至导致无法收敛。
学习速率只需选定即可
，不需要在运行梯度下降算法的时候进行动态改变，随着斜率越来越接近于0，代价函数的变化幅度会越来越小，直到收敛到局部极小值。
如图，品红色点为初始点，代价函数随着迭代的进行，变化的幅度越来越小。
最后，梯度下降不止可以用于线性回归中的代价函数，还通用于最小化其他的代价函数。
2.7 线性回归中的梯度下降(Gradient Descent For Linear Regression)
线性回归模型
梯度下降算法
-
$\begin{align*} & \text{repeat until convergence:} \; \lbrace \newline \; &{{\theta }_{j}}:={{\theta }_{j}}-\alpha \frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}J\left( {\theta_{0}},{\theta_{1}} \right) \newline \rbrace \end{align*}$
直接将线性回归模型公式代入梯度下降公式可得出公式
当 时，
线性回归中代价函数求导的推导过程：
所以当 时：
所以当 时：
上文中所提到的梯度下降，都为批量梯度下降(Batch Gradient Descent)，即每次计算都使用
所有
的数据集 更新。
由于线性回归函数呈现
碗状
，且
只有一个
全局的最优值，所以函数
一定总会
收敛到全局最小值（学习速率不可过大）。同时，函数 被称为
凸二次函数
，而线性回归函数求解最小值问题属于
凸函数优化问题
。
另外，使用循环求解，代码较为冗余，后面会讲到如何使用
向量化(Vectorization)
来简化代码并优化计算，使梯度下降运行的更快更好。
3 Linear Algebra Review
这部分，学过线性代数的可以复习一下，比较基础。笔记整理暂留。
3.1 Matrices and Vectors
Octave/Matlab 代码:
% The ; denotes we are going back to a new row. A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; 10, 11, 12] % Initialize a vector v = [1;2;3] % Get the dimension of the matrix A where m = rows and n = columns [m,n] = size(A) % You could also store it this way dim_A = size(A) % Get the dimension of the vector v dim_v = size(v) % Now let's index into the 2nd row 3rd column of matrix A A_23 = A(2,3)
执行结果:
A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 v = 1 2 3 m = 4 n = 3 dim_A = 4 3 dim_v = 3 1 A_23 = 6
3.2 Addition and Scalar Multiplication
Octave/Matlab 代码:
% Initialize matrix A and B A = [1, 2, 4; 5, 3, 2] B = [1, 3, 4; 1, 1, 1] % Initialize constant s s = 2 % See how element-wise addition works add_AB = A + B % See how element-wise subtraction works sub_AB = A - B % See how scalar multiplication works mult_As = A * s % Divide A by s div_As = A / s % What happens if we have a Matrix + scalar? add_As = A + s
执行结果:
A = 1 2 4 5 3 2 B = 1 3 4 1 1 1 s = 2 add_AB = 2 5 8 6 4 3 sub_AB = 0 -1 0 4 2 1 mult_As = 2 4 8 10 6 4 div_As = 0.50000 1.00000 2.00000 2.50000 1.50000 1.00000 add_As = 3 4 6 7 5 4
3.3 Matrix Vector Multiplication
Octave/Matlab 代码:
% Initialize matrix A A = [1, 2, 3; 4, 5, 6;7, 8, 9] % Initialize vector v v = [1; 1; 1] % Multiply A * v Av = A * v
执行结果:
A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v = 1 1 1 Av = 6 15 24
3.4 Matrix Matrix Multiplication
Octave/Matlab 代码:
% Initialize a 3 by 2 matrix A = [1, 2; 3, 4;5, 6] % Initialize a 2 by 1 matrix B = [1; 2] % We expect a resulting matrix of (3 by 2)*(2 by 1) = (3 by 1) mult_AB = A*B % Make sure you understand why we got that result
执行结果:
A = 1 2 3 4 5 6 B = 1 2 mult_AB = 5 11 17
3.5 Matrix Multiplication Properties
Octave/Matlab 代码:
% Initialize random matrices A and B A = [1,2;4,5] B = [1,1;0,2] % Initialize a 2 by 2 identity matrix I = eye(2) % The above notation is the same as I = [1,0;0,1] % What happens when we multiply I*A ? IA = I*A % How about A*I ? AI = A*I % Compute A*B AB = A*B % Is it equal to B*A? BA = B*A % Note that IA = AI but AB != BA
执行结果:
A = 1 2 4 5 B = 1 1 0 2 I = Diagonal Matrix 1 0 0 1 IA = 1 2 4 5 AI = 1 2 4 5 AB = 1 5 4 14 BA = 5 7 8 10
3.6 Inverse and Transpose
Octave/Matlab 代码:
% Initialize matrix A A = [1,2,0;0,5,6;7,0,9] % Transpose A A_trans = A' % Take the inverse of A A_inv = inv(A) % What is A^(-1)*A? A_invA = inv(A)*A
执行结果:
A = 1 2 0 0 5 6 7 0 9 A_trans = 1 0 7 2 5 0 0 6 9 A_inv = 0.348837 -0.139535 0.093023 0.325581 0.069767 -0.046512 -0.271318 0.108527 0.038760 A_invA = 1.00000 -0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 -0.00000 -0.00000 0.00000 1.00000
