python中的除法，取整和求模

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首先注明：如果没有特别说明，以下内容都是基于python 3.4的。

先说核心要点：

1. /是精确除法，//是向下取整除法，%是求模
2. %求模是基于向下取整除法规则的
3. 四舍五入取整round, 向零取整int, 向下和向上取整函数math.floor, math.ceil
4. //和math.floor在CPython中的不同
5. /在python 2 中是向下取整运算
6. C中%是向零取整求模。

如果你对上面这几点都很熟悉，那么就不要浪费时间往下看了，珍惜生命，远离泛滥的灌水文章！

大纲如下：
1. 一个测试程序和它的输出
2. 取整和求模运算规则
3. python中其他的取整运算
4. //和math.floor在CPython中的不同
5. 运算符/在python 2 和python 3 中的区别
6. 其他讨论(求余和求模)

下面按顺序介绍：

1. 一个测试程序和它的输出
测试程序如下(python 3.4)：

print('usage of 3 operators /, // and % in python 3.4')
print('1). usage of /')
print ('10/4 = ', 10/4)
print ('-10/4 = ', -10/4)
print ('10/-4 = ', 10/-4)
print ('-10/-4 = ', -10/-4)

print('\n2). usage of //')
print ('10//4 = ', 10//4)
print ('-10//4 = ', -10//4)
print ('10//-4 = ', 10//-4)
print ('-10//-4 = ', -10//-4)

print('\n3). usage of %')
print ('10%4 = ', 10%4)
print ('-10%4 = ', -10%4)
print ('10%-4 = ', 10%-4)
print ('-10%-4 = ', -10%-4)

输出结果如下：

usage of 3 operators /, // and % in python 3.4
1). usage of /
10/4 =  2.5
-10/4 =  -2.5
10/-4 =  -2.5
-10/-4 =  2.5

2). usage of //
10//4 =  2
-10//4 =  -3
10//-4 =  -3
-10//-4 =  2

3). usage of %
10%4 =  2
-10%4 =  2
10%-4 =  -2
-10%-4 =  -2

如果被除数和除数都是正整数，比如10对4求模，一般人都能算出来是2，但是如果两个或其中一个是负数，比如-10对4求模，取整除法和模应该如何计算呢？虽然我们可以从上面的输出总结一个现象律：模和除数同号(除非能整除是模是0)，但是如何理解这个现象律呢，它的内在本质是什么呢？这是这篇文章主要讨论的问题。

2.取整和求模运算规则

求模运算规则是由除法规则定的，因为被除数(dividend), 除数(divisor)，商(quotient)和模(或余数，modulus or remainder)在数学上必须满足如下关系：
被除数=除数*商+模 (方程1)
变化一下，已知被除数和余数，模可以通过商计算出来，计算公式如下：
模=被除数-除数*商 (方程2)

从wiki(https://en.wikipedia.org/wiki/Modulo_operation)查到三种不同的算法，这里拷贝了其中的一张图(只有英文版）

图1：三种不同的算法 。图中红线表示商，绿线表示模。横坐标表示被除数，纵坐标表示商或模。

这幅图可以分成三行两列，共6个子图。三行trancated/floored/Euclidean division代表三种取整除法(下面会讨论)；两列的解释是：第一列positive divisor, 也就是说除数是正数，第二列negative divisor，除数是负数。那这幅图到底是什么意思呢？ 现在拿第二行第一列的子图解释一下 (floored division, positive divisor)，这里的横坐标表示被除数，纵坐标表示商或模。这个子图中除数(divisor)是正数，当被除数也是正数时(比如前面讨论的10对4求模），商和余数都是正数或零；当被除数是负数的时候(比如之前讨论的-10对4求模)，采取了向下(负数方向)取整(rounded downwards, , 函数floor的功能)，本来精确除法下答案是 (-10/4 = )-2.5，现在向下取整答案是(-10//4 =) -3，也就是取整后的结果(-3)必须小于等于精确结果(-2.5)， 这时用商和模的关系(方程2)很容易计算出模是2, 这也是前面例子中讨论的。这就是python采用的floored division算法，这个算法可以说是python的//和%运算符采用的最重要也是唯一的规则(当然还有abs(模) < abs(除数))，对所有的情况都适用(你可以仔细看看开始讨论的测试程序和图1中第二行的两个子图)。其它的现象都可以从这个规则中推导出来。比如我们前面说的python模运算符%的一个现象规律：模要么与除数同号，要么是零(能整除的情况下)。其本质是由python采取的向下取整算法决定的。我们只需要记住python的取整规则是：向下取整！向下取整！向下取整！

另外两种：第一种truncated division，是向零取整，也就是简单粗暴地去掉小数部分，C语言采用这种方法(例子见后面的讨论)。还有一种是Euclidean division, 这里不讨论了，有兴趣的同学可以问度娘或谷哥。

当然还有一种取整法，就是我们耳熟能详的四舍五入法，:)。

下面接着介绍python中其它的取整方法。

3.python中其他的取整运算

首先说明，取整或模运算(比如a//b, a%b)中, a和b都可以是非整数，比如
-10.6//2.1=-6.0
-10.6//2.1=2.00000…

这也可以归纳到上面所说的向下取整规则中，当然还有一条隐蔽规则：模的绝对值小于除数的绝对值，也就是abs(模) < abs(除数)

python能够实现基本的四种取整运算：四舍五入，向零取整，向下取整和向上取整。

四舍五入取整函数round

>>>round(3.5)
4
>>>round(-3.5)
-4
>>>round(3.49)
3
>>>round(-3.49)
-3

向零取整函数int

>>>int(3.99)
3
>>>int (-3.99)
-3

math模块中向下取整函数floor和向上取整函数ceil

>>>from math import floor, ceil
>>>floor(3.99)
3
>>>floor(-3.-1)
-4
>>>ceil(3.01)
4
>>>ceil(-3.99)
-3

4.//和math.floor在CPython中的不同

从以上讨论中可以看出，//和math.floor对除法运算都是向下取整，结果应该相同，比如

>>>from math import floor
>>>3//5 == floor(3/5)
True

但是

>>>1//0.05 == floor(1/0.05)
False

What? 不是说好的相同吗，友谊的小船怎么说翻就翻呢？

分开测试：

>>> 1/0.05
20.0
>>> 1//0.05
19.0
>>> floor(1/0.05)
20

先说结论：这个问题是由于cpython的向下取整除法运算符（//）的实现不是 浮点除法+floor 来实现而是用了（被除数 - 余数）/除数 导致的。
PS：Jython下可以得到20.0，而PEP里规定了a // b应该等于round(a/b)，所以似乎这是cpython实现的一个bug？

首先先分析下1 / 0.05究竟应该等于多少。答案就是精确的20.0。简单解释下：IEEE754浮点数规定，如果一个浮点数的值不能被精确记录，那么它的值会被记成与这个数距离最近的可以被IEEE浮点数表示的数。首先，0.05在二进制下是无限循环小数，自然不能被精确记录，因此0.05这个浮点数的实际值是不等于0.05的，实际值是约为0.05 + 2.7e-18。之后做浮点除法，实际上做的是1 / (0.05+2.7…e-18)，这个除法的结果大约是20 - 1.1e-15。这个值也不能被精确表示，恰好离这个数最近的可以表示的值就是20.0，因此即使有浮点数误差结果也是精确的20.0。既然1/0.05就是20.0，那么对他做floor运算自然也是20了。

现在的问题就是为什么1 // 0.05会变成19.0，要解决这个问题只能翻源码看//运算符的实现。
这里不贴源码了，结论是：cpython中x // y的实现实际上是round((x - fmod(x, y)) / y) ，其中fmod函数是求两个浮点数相除的余数。

这样一来就解释的通了：在十进制下，显然1除以0.05的余数应该是0.0。然而在IEEE浮点数环境中，0.05的实际值是约0.05 + 2.7e-18，略大于0.05，这样一来1除以这个数的余数就成了约0.05 - 5e-17，从1中减掉这么多之后就只剩0.95了，除以0.05再round后变成19.0。

注：这段主要参考知乎上的一篇文章(http://www.zhihu.com/question/41017093/answer/89848433)，如有兴趣，大家可查看，里面有源码。

5.运算符/在python 2 和python 3 中的区别

//和%运算符在2和3版本中一样，但是运算符/不一样，最开始的测试程序中和运算符/有关的部分在python 2.7中的输出结果是这样的：

print ('10/4 = ', 10/4)
print ('-10/4 = ', -10/4)
print ('10/-4 = ', 10/-4)
print ('-10/-4 = ', -10/-4)('1

输出：
('10/4 = ', 2)
('-10/4 = ', -3)
('10/-4 = ', -3)
('-10/-4 = ', 2)

除了大家熟知的print用法不一样外，这里要说的是运算符/在python 3以前的版本是向下取整（等同于//），这是大家要注意的。

6.其他讨论(求余和求模)
一篇文章(http://blog.sina.com.cn/s/blog_a3052b4a01018fd7.html)讨论求余和求模的区别 , 原文中列了一个表格，我拷贝在下面

原作者认为： 取模运算时，向0 方向舍入(fix()函数)； 求余运算时，向无穷小方向舍入(floor()函数)。

还有一篇文章(http://www.bieryun.com/1099.html)，讨论在matlab中取模（mod）与取余（rem）的不同。

不能说这些观点本身有什么错误，matlab 也确实给出了两个不同的函数，细化了区别。但我却认为这样处理把问题复杂化了，我们没有必要在文字上钻牛角尖，非得人为区分“求余”和”求模”。我们就可以简单地认为两者相同，比如统一用”求模” 表示(当然你也可以用“求余”)，只是在数学运算和不同编程语言中求模时存在不同的取整算法，主要是上面讨论的三种：truncated division, floored division, Euclidean division。 C语言用的是truncated division, 而python用的是floored division.