题目链接：http://poj.org/problem?id=1458
题目大意：给出两个字符串，求出这样的一个最长的公共子序列的长度：子序列中的每个字符都能在两个原串中找到，而且每个字符的先后顺序和原串中的先后顺序一致。
输入有若干行，每行是两个字符串。对每一行输入的两个字符串，输出最长公共子串的长度。
Sample Input
abcfbc abfcab
programming contest
abcd mnp
Sample Output
4
2
0
算法分析
参考1：北大郭炜老师mooc课程
参考2：http://blog.csdn.net/u013480600/article/details/40741333
参考3：http://blog.csdn.net/lz161530245/article/details/76943991
输入两个串s1,s2,
设MaxLen(i,j)表示:s1的左边i个字符形成的子串，与s2左边的j个字符形成的子串的最长公共子序列的长度(i,j从0开始算）
MaxLen(i,j) 就是本题的“状态”
假定 len1 = strlen(s1),len2 = strlen(s2）
那么题目就是要求 MaxLen(len1,len2)
显然：
MaxLen(n,0) = 0 ( n= 0…len1）
MaxLen(0,n) = 0 ( n=0…len2）
递推公式：
if(s1[i-1] == s2[j-1]) //s1的最左边字符是s1[0]
MaxLen(i,j) = MaxLen(i-1,j-1) + 1;
else
MaxLen(i,j) = Max(MaxLen(i,j-1),MaxLen(i-1,j) );
时间复杂度O(mn),其中m,n是两个字串长度。
关于证明，可以阅读参考2和参考3的证明过程。大概过程记录如下：
我们用Ax表示序列A的连续前x项构成的子序列，即Ax= a1,a2,……ax, By= b1,b2,……by, 我们用LCS(x, y)表示它们的最长公共子序列长度，那原问题等价于求LCS(m,n)。为了方便我们用L(x, y)表示Ax和By的一个最长公共子序列。 让我们来看看如何求LCS(x, y)。我们令x表示子序列,考虑最后一项 第（1）种情况：Ax ＝ By 那么它们L(Ax, By)的最后一项一定是这个元素！ 为什么呢？为了方便，我们令t=Ax=By, 我们用反证法：假设L(x,y)最后一项不是t， 则要么L(x,y)为空序列（别忘了这个），要么L(x,y)的最后一项是Aa＝Bb ≠ t, 且显然有a<x,b<y。无论是哪种情况我们都可以把t接到这个L(x,y)后面,从而得到一个更长的公共子序列。矛盾！ 如果我们从序列Ax中删掉最后一项ax得到Ax-1,从序列By中也删掉最后一项by得到By-1，(多说一句角标为0时，认为子序列是空序列)，则我们从L(x,y)也删掉最后一项t得到的序列是L(x – 1, y - 1)。为什么呢？和上面的道理相同，如果得到的序列不是L(x - 1, y - 1)，则它一定比L(x - 1, y - 1)短，那么它后面接上元素t得到的子序列L(x,y)也比L(x - 1, y - 1)接上元素t得到的子序列短，这与L(x, y)是最长公共子序列矛盾。 因此L(x,y)=L(x-1,y-1)最后接上元素t，也就是说： LCS(Ax, By) = LCS(x - 1, y - 1) + 1 第（2）种情况：Ax ≠ By 仍然设t=L(Ax,By)的最后一个字符,或者L(Ax,By)是空序列（这时t是未定义值不等于任何值）。 则t≠Ax和t≠By至少有一个成立，因为t不能同时等于两个不同的值嘛！ （2.1） 如果t≠Ax，则有L(x,y)=L(x-1,y)，因为根本没Ax的事嘛。 也就是说：LCS(x,y) = LCS(x – 1, y) （2.2） 如果t≠By,同理有L(x,y)= L(x,y-1)。 也就是说：LCS(x,y) = LCS(x, y – 1) 可是，我们事先并不知道t，由定义，我们取最大的一个，因此这种情况下,有LCS(x,y)=max(LCS(x–1,y),LCS(x,y–1))。 看看目前我们已经得到了什么结论： LCS(x,y) = (1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By (2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By 这是一个显然的递推式，光有递推可不行，初值是什么呢？ 显然，一个空序列和任何序列的最长公共子序列都是空序列！所以我们有: LCS(x,y) = (1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By (2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By (3) 0 如果x=0或者y=0 到此我们求出了计算最长公共子序列长度的递推公式。我们实际上计算了一个(n + 1)行(m + 1)列的表格（行是0..n，列是0..m)，也就这个二维度数组LCS(n,m)。
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 using namespace std; 4 char sz1[5005]; 5 char sz2[5005]; 6 int maxLen[5005][5005]; 7 int main() 8 { 9 while( cin >> sz1 >> sz2 ) 10 { 11 int length1 = strlen( sz1); 12 int length2 = strlen( sz2); 13 int nTmp; 14 int i,j; 15 for( i = 0;i <= length1; i ++ ) maxLen[i][0] = 0; 16 for( j = 0;j <= length2; j ++ ) maxLen[0][j] = 0; 17 for( i = 1;i <= length1;i ++ ) 18 { 19 for( j = 1; j <= length2; j ++ ) 20 { 21 if( sz1[i-1] == sz2[j-1] ) 22 maxLen[i][j] = maxLen[i-1][j-1] + 1; 23 else 24 maxLen[i][j] = max(maxLen[i][j-1],maxLen[i-1][j]); 25 } 26 } 27 cout << maxLen[length1][length2] << endl; 28 } 29 return 0; 30 }
上面的题目并没有要求输出最长的公共子序列。假如要输出最长公共子序列，可以阅读参考3的代码：（也可以暂时跳过，本文末尾有代码实现。）
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <stdlib.h> 4 int LCSLength(char* str1, char* str2, int **b) 5 { 6 int i,j,length1,length2,len; 7 length1 = strlen(str1); 8 length2 = strlen(str2); 9 10 //双指针的方法申请动态二维数组 11 int **c = new int*[length1+1]; //共有length1+1行 12 for(i = 0; i < length1+1; i++) 13 c[i] = new int[length2+1];//共有length2+1列 14 15 for(i = 0; i < length1+1; i++) 16 c[i][0]=0; //第0列都初始化为0 17 for(j = 0; j < length2+1; j++) 18 c[0][j]=0; //第0行都初始化为0 19 20 for(i = 1; i < length1+1; i++) 21 { 22 for(j = 1; j < length2+1; j++) 23 { 24 if(str1[i-1]==str2[j-1])//由于c[][]的0行0列没有使用，c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素 25 { 26 c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; 27 b[i][j]=0; //输出公共子串时的搜索方向 28 } 29 else if(c[i-1][j]>c[i][j-1]) 30 { 31 c[i][j]=c[i-1][j]; 32 b[i][j]=1; 33 } 34 else 35 { 36 c[i][j]=c[i][j-1]; 37 b[i][j]=-1; 38 } 39 } 40 } 41 /* 42 for(i= 0; i < length1+1; i++) 43 { 44 for(j = 0; j < length2+1; j++) 45 printf("%d ",c[i][j]); 46 printf("\n"); 47 } 48 */ 49 len=c[length1][length2]; 50 for(i = 0; i < length1+1; i++) //释放动态申请的二维数组 51 delete[] c[i]; 52 delete[] c; 53 return len; 54 } 55 void PrintLCS(int **b, char *str1, int i, int j) 56 { 57 if(i==0 || j==0) 58 return ; 59 if(b[i][j]==0) 60 { 61 PrintLCS(b, str1, i-1, j-1);//从后面开始递归，所以要先递归到子串的前面，然后从前往后开始输出子串 62 printf("%c",str1[i-1]);//c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素 63 } 64 else if(b[i][j]==1) 65 PrintLCS(b, str1, i-1, j); 66 else 67 PrintLCS(b, str1, i, j-1); 68 } 69 70 int main(void) 71 { 72 char str1[100],str2[100]; 73 int i,length1,length2,len; 74 printf("请输入第一个字符串："); 75 gets(str1); 76 printf("请输入第二个字符串："); 77 gets(str2); 78 length1 = strlen(str1); 79 length2 = strlen(str2); 80 //双指针的方法申请动态二维数组 81 int **b = new int*[length1+1]; 82 for(i= 0; i < length1+1; i++) 83 b[i] = new int[length2+1]; 84 len=LCSLength(str1,str2,b); 85 printf("最长公共子序列的长度为：%d\n",len); 86 printf("最长公共子序列为："); 87 PrintLCS(b,str1,length1,length2); 88 printf("\n"); 89 for(i = 0; i < length1+1; i++)//释放动态申请的二维数组 90 delete[] b[i]; 91 delete[] b; 92 system("pause"); 93 return 0; 94 }
查找并输出最长公共子序列也可以参考https://wenku.baidu.com/view/7e96c94f2b160b4e767fcfc9.html
空间上的优化：
观察上面算法中的关键代码：
for( i = 1;i <= length1;i ++ ) { for( j = 1; j <= length2; j ++ ) { if( sz1[i-1] == sz2[j-1] ) maxLen[i][j] = maxLen[i-1][j-1] + 1; else maxLen[i][j] = max(maxLen[i][j-1],maxLen[i-1][j]); } }
可以发现，计算maxLen数组第i行时用到的只有第i行与第i-1行。我们的目的是要计算maxLen[length1][length2]，所以，可以考虑只保存两行即可，也就是使用滚动数组只保存两行。
代码如下：（参考来源）
cur表示当前需要求的那一行的下标。
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 using namespace std; 4 char sz1[5005]; 5 char sz2[5005]; 6 int maxLen[2][5005]; 7 int main() 8 { 9 int i,j,length1,length2,cur=0; 10 11 while( cin >> sz1 >> sz2 ) 12 { 13 length1 = strlen( sz1); 14 length2 = strlen( sz2); 15 for( i=0;i<2; i++ ) maxLen[i][0]=0; 16 for( j=0;j<=length2;j++ ) maxLen[0][j]=0; 17 cur=0; 18 19 for( i = 1;i <= length1;i ++ ) 20 { 21 cur ^= 1; 22 for( j = 1; j <= length2; j ++ ) 23 { 24 if( sz1[i-1] == sz2[j-1] ) 25 maxLen[cur][j] = maxLen[cur^1][j-1] + 1; 26 else 27 maxLen[cur][j] = max(maxLen[cur][j-1],maxLen[cur^1][j]); 28 } 29 } 30 cout << maxLen[cur][length2] << endl; 31 } 32 return 0; 33 }
下面修改一下代码寻找出一个最长公共子序列。
上面经过空间优化后，也只是寻找到了最长公共子序列的长度，那么如何得到一个最长公共子序列而仅仅不是简单的长度呢？其实我们离真正的答案只有一步之遥！
参考上图，我们建立一个二维数组ans[][]，在寻找最长公共子序列的长度时用ans[i][j]记录LCS（i，j）是如何来的（从左边、上边或是从左上），ans[i][j]等于1，2，3分别表示：
L(x,y) = L(x, y – 1)
L(x,y)= L(x – 1, y)
L(x,y) = L(x,- 1 y- 1)末尾接上Ax
当ans[i][j]等于3时字符串1的第i个字符（或字符串2的第j个字符，其实两者相同）肯定是最长公共子序列的一部分，要保留到temp[ ]中。所以从ans[][]右下角逆推即可求出temp[ ]，然后逆序输出temp[]即可。代码如下：
1 //51Nod动态规划教程例题 求最长公共子序列的长度并输出一个最长公共子序列 2 #include <iostream> 3 #include <cstring> 4 using namespace std; 5 #define maxN 5005 6 char sz1[maxN]; 7 char sz2[maxN]; 8 int maxLen[2][maxN]; 9 char ans[maxN][maxN]={0}; 10 11 void printLCS(int len1,int len2);//输出一个最长公共子序列 12 int main() 13 { 14 int i,j,length1,length2,cur=0; 15 freopen("poj1458.in","r",stdin); 16 while( cin >> sz1 >> sz2 ) 17 { 18 memset(ans,0,sizeof(char)*maxN*maxN); 19 length1 = strlen( sz1); 20 length2 = strlen( sz2); 21 for( i=0;i<2; i++ ) maxLen[i][0]=0; 22 for( j=0;j<=length2;j++ ) maxLen[0][j]=0; 23 cur=0; 24 25 for( i = 1;i <= length1;i ++ ) 26 { 27 cur ^= 1; 28 for( j = 1; j <= length2; j ++ ) 29 { 30 if( sz1[i-1] == sz2[j-1] ) 31 { 32 maxLen[cur][j] = maxLen[cur^1][j-1] + 1; 33 ans[i][j]=3; 34 } 35 else 36 { 37 //maxLen[cur][j] = max(maxLen[cur][j-1],maxLen[cur^1][j]); 38 if(maxLen[cur][j-1]>maxLen[cur^1][j]) 39 { 40 maxLen[cur][j]=maxLen[cur][j-1]; 41 ans[i][j]=1; 42 } 43 else 44 { 45 maxLen[cur][j]=maxLen[cur^1][j]; 46 ans[i][j]=2; 47 } 48 } 49 } 50 } 51 cout << maxLen[cur][length2] << endl; 52 if(maxLen[cur][length2]>0) printLCS(length1,length2); 53 } 54 return 0; 55 } 56 void printLCS(int len1,int len2)//输出一个最长公共子序列 57 { 58 char temp[maxN]; 59 int i=len1,j=len2,k=0; 60 while(ans[i][j]!=0) 61 { 62 if(ans[i][j]==3) { temp[k++]=sz1[i-1]; i--;j--; } 63 else if(ans[i][j]==1) 64 { 65 j--; 66 } 67 else if(ans[i][j]==2) 68 { 69 i--; 70 } 71 } 72 for(k--;k>=0;k--) printf("%c",temp[k]); 73 printf("\n"); 74 }
