设 $M_n(\bbF)$ 是数域 $\bbF$ 上 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间, $V,W$ 分别是上三角矩阵、反对称矩阵全体构成的线性子空间, 则 $$\bex M_n(\bbF)=V\oplus W. \eex$$
证明:
- 设 $A\in V\cap W$, 则 $A$ 上三角 $\ra a_{ij}=0, i>j$; $A$ 反对称 $\ra a_{ii}=0$, $a_{ij}=-a_{ji}=0, i<j$. 因此, $A=0$.
- 对任一 $A\in M_n(\bbF)$, 定义 $B=(b_{ij})\in V$, $C=(c_{ij})\in W$ 如下: $$\bex b_{ij}=\left\{\ba{ll} a_{ij}+a_{ji},&i<j\\ a_{ii},&i=j\\ 0,&i>j \ea\right. \quad\quad\quad\quad c_{ij}=\left\{\ba{ll} -a_{ji},&i<j\\ 0,&i=j\\ a_{ij},&i>j \ea\right. \eex$$ 则 $A=B+C$.
