[家里蹲大学数学杂志]第243期对合矩阵的两个性质

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^2=E$. 证明:

(1) $A$ 相似于形如 $\dps{\sex{\ba{cc} E_s&\\ &-E_{n-s} \ea}}$ 的矩阵;

(2) 对于任何正整数 $m,k$, 都有 $$\bex \rank(A+E)^m+\rank(A-E)^k=n. \eex$$

证明:

(1) 设 $$\bex V_1=\sed{x;\ (A-E)x=0},\quad V_2=\sed{x;\ (A+E)x=0}, \eex$$ 则

(a)由 $$\bex x=\frac{A+E}{2}x+\frac{E-A}{2}x\in V_1+V_2 \eex$$ 知 $\bbF^n=V_1+V_2$;

(b)由 $$\bex x\in V_1\cap V_2\ra Ax=x=-Ax\ra x=Ax=0 \eex$$ 知 $\bbF^n=V_1\oplus V_2$. \ei 取 $V_1$ 的一组基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$, $V_2$ 的一组基 $\alpha_{s+1},\cdots,\alpha_n$. 则 $$\bex A(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\sex{\ba{cc} E_s&\\ &-E_{n-s} \ea}. \eex$$ 此即说明结论.

(2)由 $$\bex A^2=E\ra (A+E)(A-E)=0\ra (A+E)^m(A-E)^k=0 \eex$$ 知 $$\bex \rank(A+E)^m+\rank(A-E)^k\leq n. \eex$$ 为证 $$\bex \rank(A+E)^m+\rank(A-E)^k\geq n, \eex$$ 不妨设 $m\leq k$, 由 $$\beex \bea (E+A)^k+(E-A)^k&=E+\sex{k\atop 1}A+\sex{k\atop 2}A^2 +\cdots+\sex{k\atop k}A^k\\ &+E-\sex{k\atop 1}A+\sex{k\atop 2}A^2-\cdots+\sex{k\atop k}(-1)^kA^k\\ &=\sez{1+\sex{k\atop 2}+\cdots+\sex{k\atop 2\sez{\frac{k}{2}}}}E \eea \eeex$$ 知 $$\beex \bea n&\leq \rank (E+A)^k+\rank(E-A)^k\\ &=\rank (A+E)^k+\rank(A-E)^k\\ &\leq \rank (A+E)^m+\rank(A-E)^k. \eea \eeex$$