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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.6

2014-10-29 782

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简介： 6. 设

$A\in M_{m,n}$ ,

$B\in M_{n,m}$ . 证明:

$\bex \sex{\ba{cc} AB&0\\ B&0 \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} 0&0\\ B&BA \ea} \eex$ 相似, 从而给出定理 1.

6. 设 $A\in M_{m,n}$ , $B\in M_{n,m}$ . 证明:

$\bex \sex{\ba{cc} AB&0\\ B&0 \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} 0&0\\ B&BA \ea} \eex$ 相似, 从而给出定理 1.14 的另一个证明.

证明:

$\bex \sex{\ba{cc} I_m&A\\ 0&I_n \ea}\sex{\ba{cc} 0&0\\ B&BA \ea}\sex{\ba{cc} I_m&-A\\ 0&I_n \ea}=\sex{\ba{cc} AB&0\\ B&0 \ea}. \eex$

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.4

4. 怎样的符号模式要求所有特征值都互不相同呢? 证明: Open problems.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

14. (Shao) 设非负方阵

$A$ 具有 (6.22) 的形式并且

$A$ 没有零行也没有零列. 证明:

$A$ 不可月且非本原指标为

$k$ 当且仅当乘积

$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$ 是本原矩阵.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.13

13. (Sinkhorn) 设

$A$ 是一个方的正矩阵, 则存在对角元素为正数的两个对角矩阵

$D_1$ 和

$D_2$ 使得

$D_1AD_2$ 为双随机矩阵 (doubly stochastic matrix).

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.5

5. 元素属于

$\sed{0,*}$ 的矩阵称为零模式矩阵. 设

$A$ 是零模式矩阵, 用

$Q_\bbF(A)$ 记元素属于域

$\bbF$ 的具有零模式

$A$ 的矩阵的集合, 即若

$B\in Q_F(A)$ ,

$B=(b_{ij})$ ,

$A=(a_{ij})$ , 则

$b_{ij}=0$ 当且仅当

$a_{ij}=0$ .

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.6

6. 举例说明: 存在那样的实方阵

$A$ ,

$A$ 的零元素的个数大于

$A$ 的 Jordan 标准形的零元素的个数. 解答: 想法就是利用第 5 节的 Jordan 标准形的组合刻画.

张祖锦

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机器学习/深度学习

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.3

3. 设

$\lm$ 是一个复数. 证明: 存在非负方阵

$A$ 使得

$\lm$ 是

$A$ 的一个特征值. 证明: (1). 首先

$A$ 的阶数须

$\geq 3$ . 当

$n=1$ 时, 非负方阵的特征值为非负实数.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.4

4. 设

$A$ 是个不可约非负方阵,

$0\leq t\leq 1$ , 则

$\bex \rho[tA+(1-t)A^T]\geq \rho(A). \eex$ 证明: (1).

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.13

13. (Bhatia-Davis) 设

$A,B,X\in M_n$ , 则

$\bex \sen{AXB^*}\leq \frac{1}{2}\sen{A^*AX+XB^*B} \eex$ 对任何酉不变范数成立.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.7

7. 设

$A_0\in M_n$ 正定,

$A_i\in M_n$ 半正定,

$i=1,\cdots,k$ , 则 $$\bex \tr \sum_{j=1}^k \sex{\sum_{i=0}^jA_i}^{-2}A_j

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.12

12. 设

$p,q$ 为正实数, 满足

$\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$ , 则对

$A,B\in M_n$ 和酉不变范数有 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{|A|^p}^\frac{1}{p} \sen{|B|^q}^\frac{1}{q}.

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