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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

2014-11-12 514

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简介： 14. (Shao) 设非负方阵 $A$ 具有 (6.22) 的形式并且 $A$ 没有零行也没有零列. 证明: $A$ 不可月且非本原指标为 $k$ 当且仅当乘积 $$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$$ 是本原矩阵.

14. (Shao) 设非负方阵 $A$ 具有 (6.22) 的形式并且 $A$ 没有零行也没有零列. 证明: $A$ 不可月且非本原指标为 $k$ 当且仅当乘积 $$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$$ 是本原矩阵.

证明: 见 [J.Y. Shao, Matrices permutation equivalent to primitive matrices, Linear Algebra Appl., 65 (1985), 225--247].

张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.1

1. (Maybee) 设 $A$ 是一个树符号模式. 证明: (1). 若 $A$ 的每个简单 $2$-圈都是正的, 则对于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 为对称矩阵.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.2

2. 证明引理 7.13. 证明: 用反证法. 若对任一置换阵 $P$, $PA$ 的对角元都至少有一个为零, 则 $A$ 的每条对角线至少含有一个零元素. 由 Frobenius-K\"onig 定理, $A$ 有一个 $r\times s$ 阶的零子矩阵, $r+s=n+1$.

张祖锦

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张祖锦

资源调度

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1

1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负? 解答: 设 $A\geq0$ 可逆, 且其逆 $A^{-1}=B\geq 0$. 则 $$\bex I_n=AB=BA. \eex$$ 对 $A$ 的第 $i$ ($1\leq i\leq n$) 列, 由 $A$ 可逆知 $$\bex \exists\ j,\st a_{ij}>0.

张祖锦

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张祖锦

资源调度

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.7

7. 设 $A$ 是个非负幂零矩阵, 即存在正整数 $p$ 使得 $A^p=0$. 则 $A$ 置换相似于一个上三角矩阵. 证明: 由 $A^p=0$ 知 $\sigma(A)=0$, 而 $\rho(A)=0$.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.4

4. 设 $A$ 是个不可约非负方阵, $0\leq t\leq 1$, 则 $$\bex \rho[tA+(1-t)A^T]\geq \rho(A). \eex$$ 证明: (1).

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.5

5. (Levinger, 1970) 设 $A$ 是个不可约非负方阵, 则函数 $$\bex f(t)=\rho[tA+(1-t)A^T] \eex$$ 在 $[0,1/2]$ 上递增, 在 $[1/2,1]$ 上递减.

张祖锦

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张祖锦

资源调度 Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.5

5. (Friedland) 给定 $A\in M_n$, $\lm_i\in \bbC$, $i=1,\cdots,n$. 证明: 存在对角矩阵 $D\in M_n$ 使得 $\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$, 并且满足上述条件的对角矩阵 $D$ 只有有限多个.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.7

7. 设 $A_0\in M_n$ 正定, $A_i\in M_n$ 半正定, $i=1,\cdots,k$, 则 $$\bex \tr \sum_{j=1}^k \sex{\sum_{i=0}^jA_i}^{-2}A_j

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.5

5. 设 $A,B\in M_n$, 则 $$\bex s_j(AB)\leq \sen{A}_\infty s_j(B),\quad s_j(AB)\leq \sen{B}_\infty s_j(A),\quad j=1,\cdots,n.

张祖锦

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张祖锦

机器学习/深度学习

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.4

4. 设 $A=(a_{ij})\in M_n$, 则 $$\bex \sex{|a_{11}|,\cdots,|a_{nn}|}\prec_ws(A). \eex$$ 证明: 一般我们都用 Fan 支配原理的顺推情形: $$\bex s(A)\prec s(B)\lra \mbox{ 对任意酉不变范数 }\sen{\cdot},\ \sen{A}\leq \sen{B}.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

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