[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.26

简介: (1). 求证: 当 s>0 时, \dps1x[x]xs+1\rdx 收敛;   (2). 求证: 当 s>1 时, $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}\vsm{n}\frac{1}{n^s}.

(1). 求证: 当 s>0 时, \dps1x[x]xs+1\rdx 收敛;

 

(2). 求证: 当 s>1 时, \bex1x[x]xs+1\rdx=1s11s\vsmn1ns.\eex

 

证明:

 

(1). \bex1x[x]xs+1\rdx<11xs+1\rdx<.\eex

 

(2). 当 s>1 时, 由 5.1.25 知 \bex1x[x]xs+1\rdx=11xs\rdx1[x]xs+1\rdx=1s11s\vsmn1ns.\eex

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