[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.26

(1). 求证: 当 $s>0$ 时, $\dps{\int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x}$ 收敛;

(2). 求证: 当 $s>1$ 时, $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}\vsm{n}\frac{1}{n^s}. \eex$$

证明:

(1). $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x <\int_1^\infty \frac{1}{x^{s+1}}\rd x<\infty. \eex$$

(2). 当 $s>1$ 时, 由 5.1.25 知 $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x =\int_1^\infty \frac{1}{x^s}\rd x -\int_1^\infty \frac{[x]}{x^{s+1}}\rd x=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}\vsm{n}\frac{1}{n^s}. \eex$$