(1). 求证: 当 s>0 时, \dps∫∞1x−[x]xs+1\rdx 收敛;
(2). 求证: 当 s>1 时, \bex∫∞1x−[x]xs+1\rdx=1s−1−1s\vsmn1ns.\eex
证明:
(1). \bex∫∞1x−[x]xs+1\rdx<∫∞11xs+1\rdx<∞.\eex
(2). 当 s>1 时, 由 5.1.25 知 \bex∫∞1x−[x]xs+1\rdx=∫∞11xs\rdx−∫∞1[x]xs+1\rdx=1s−1−1s\vsmn1ns.\eex