$[a,b]$ 上的连续函数列 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,\cdots$ 满足 $\dps{\int_a^b \varphi_n^2(x)\rd x=1}$. 证明: 存在自然数 $N$ 及定数 $c_1,c_2,\cdots,c_N$ 使 $\dps{\sum_{k=1}^N c_k^2=1}$, $\dps{\max_{x\in [a,b]} \sev{\sum_{k=1}^n c_k\varphi_k(x)}>100}$. (扬州师范学院)
证明: 由积分中值定理, 对待定的 $N$, $$\bex N=\int_a^b \sum_{k=1}^N \varphi_k^2(x)\rd x =(b-a)\sum_{k=1}^N \varphi_k^2(\xi). \eex$$ 取 $$\bex c_k=\frac{\varphi_k(\xi)}{\sqrt{\frac{N}{b-a}}}, \eex$$ 则 $\dps{\sum_{k=1}^N c_k^2=1}$, $$\bex \max_{x\in [a,b]}\sev{\sum_{k=1}^N c_k\varphi_k(x)} \geq \sev{\sum_{k=1}^N c_k\varphi_k(\xi)} =\frac{N}{\sqrt{\frac{N}{b-a}}}=\sqrt{N(b-a)}>100, \eex$$ 只要选 $\dps{N>\frac{100^2}{b-a}}$.
