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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.3

2015-05-25 677

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简介： 求证: $\dps{f(x)=\int_0^x (t-t^2)\sin^{2n}t\rd t}$ ($n$ 为正整数) 在 $x\geq 0$ 上的最大值不超过 $\dps{\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}}$.

求证: $\dps{f(x)=\int_0^x (t-t^2)\sin^{2n}t\rd t}$ ($n$ 为正整数) 在 $x\geq 0$ 上的最大值不超过 $\dps{\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}}$. (西北大学)

证明: 由 $$\bex f'(x)=(x-x^2)\sin^{2n}x\sedd{\ba{ll} >0,&0<x<1\\ =0,&x=1\\ <0,&x>1 \ea} \eex$$ 知 $$\beex \bea f(x)&\leq f(1)=\int_0^1 (t-t^2)\sin^{2n}t\rd t \leq \int_0^1 (t-t^2)t^{2n}\rd t\\ &=\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}. \eea \eeex$$

张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.20

设 $a>0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续可微, 证明: $$\bex |f(0)|\leq \frac{1}{a}\int_0^a |f(x)|\rd x+\int_0^a |f'(x)|\rd x.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.15

$[a,b]$ 上的连续函数列 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,\cdots$ 满足 $\dps{\int_a^b \varphi_n^2(x)\rd x=1}$.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.25

设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续, $$\bex \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^3}\int_0^h [f(x+u)+f(x-u)-2f(x)]\rd u=0,\quad(x\in [a,b]), \eex$$ 试证 $f(x)$ 为线性函数.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.23

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 又 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t}$. 试证: (1).

张祖锦

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张祖锦

Windows

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.9

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 证明 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} t\sex{\frac{\sin nt}{\sin t}}^4\rd t\frac{2}{\pi}x,\ 0

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.4

把满足下述条件 (1) 和 (2) 的实函数 $f$ 的全体记作 $F$: (1). $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 并且非负; (2). $f(0)=0$, $f(1)=1$.

张祖锦

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张祖锦

Perl

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.24

设 $\sed{n_k}$ 是自然数列 $\sed{n}$ 的子序列, 试证: (1). 当 $n_k-n_{k-1}\geq 1$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛; (2).

张祖锦

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张祖锦

Perl

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.29

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 证明: $\dps{\vlm{n}\sed{\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln k}-\ln\ln n}}$ 存在 (有限).

张祖锦

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张祖锦

机器学习/深度学习

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.25

对函数 $$\bex \zeta(s)=\vsm{n}\frac{1}{n^s}\quad\sex{s>1}, \eex$$ 证明: $\dps{\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\sez{x}}{x^{s+1}}\rd x}$, 其中 $\sez{x}$ 为 $x$ 的整数部分.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.8

设正项级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{a_n}{\sqrt{r_{n-1}}+\sqrt{r_n}} \eex$$ 仍收敛, 其中 $$\bex r_n=\sum_{k=n+1}^\infty a_k.

张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.3

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