跟锦数学2016年

1. (161231) 已知函数 $f(x)$ 的反函数是 $\varphi(y)$, 写出用 $f',f'',f'''$ 表示 $\varphi'$, $\varphi''$, $\varphi'''$ 的表达式.

 

1. (161230) 设 $\sed{a_n}$ 递减趋于零, 试证: $$\bex \vsm{n}\f{a_n}{n}<\infty\lra a_n=O\sex{\f{1}{\ln n}},\ \vsm{n}(a_n-a_{n+1})\ln n<\infty. \eex$$

 

1. (161229) 设 $$\bex a_0=0,\quad a_{n+1}=a_n+e^{-a_n}\ (n\geq 0). \eex$$ 再设 $b_n=a_n-\ln n\ (n\geq 1)$. 试证: $$\bex 0<b_{n+1}<b_n,\quad \vlm{n}b_n=0. \eex$$

 

1. (161228) [华中科技大学2017数分] 设 $D=\sed{(x,y)\in\bbR^2;x^2+y^2\leq 1}$, $f\in C^1(D)$, 试证: $$\bex \iint_D |f(x,y)-f(0,0)|\rd x\rd y \leq \iint_D \f{\sqrt{f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}}{2\sqrt{x^2+y^2}}\rd x\rd y. \eex$$

 

1. (161227) 设 $f\in L^1(\bbR)$, $f(x)>0$, 定义 $$\bex \hat f(t)=\int_{\bbR} e^{-\i xt}f(x)\rd x. \eex$$ 证明: 对每个 $t\neq 0$, 有 $|\hat f(t)|< \hat f(0)$.

 

1. (161226) 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶实方阵, $A$ 半正定, $B$ 半负定, 则 $\tr(AB)\leq 0$.

 

1. (161225) 判断: 若对数列 $\{a_n\}$ 的任意两个子列 $\{a_{{n}_k}\}$ 与 $\{a_{{m}_k}\}$, 均有 $\dps{\vlm{k}(a_{{n}_k}-a_{{m}_k})=0}$, 则$\{a_n\}$ 收敛.

 

1. (161224) [Evans PDE P 309] Use the Fourier transform to prove that if $u\in H^s(\bbR^n)$ for $s>n/2$, then $u\in L^\infty(\bbR^n)$, with the bound $$\bex \sen{u}_{L^\infty(\bbR^n)}\leq C\sen{u}_{H^s(\bbR^n)}. \eex$$

 

1. (161223) [Evans PDE P 307] Integrate by parts to prove $$\bex \sen{Du}_{L^p}\leq C\sen{u}_{L^p}^\f{1}{2}\sen{D^2u}_{L^2}^\f{1}{2} \eex$$ for $2\leq p<\infty$ and all $u\in C^\infty_c(U)$.

 

1. (161222) Let $\lm_1,\nu,\al$ be positive and $\be>3$. If $$\bex \lm_1\nu^2[\nu \al(\be-1)]^\f{2}{\be-3}>\f{\be-3}{\be-1}, \eex$$ then there exists a positive $\del$ such that $$\bex \nu \lm_1+\al(|x|^{\be-1}+|y|^{\be-1}) -\f{1}{2\nu}(|x|^2+|y|^2)\geq \del,\quad\forall\ x,y\in\bbR^n. \eex$$

 

1. (161221) [南京师范大学2015高代] 设 $A,B$ 为半正定矩阵, 且 $\tr(AB)=0$, 求证: 对任意正整数 $m$, 都有 $(A+B)^m=A^m+B^m$.

 

1. (161220) [矩阵迹的一些性质] 设 $A$ 是数域 $\bbF$ 上的 $n$ 阶方阵, 则 $A$ 的迹 (trace) 为 $$\bex \tr(A)=\sum_{i=1}^na_{ii}. \eex$$ 它有如下性质: (1) [线性泛函] $\tr(A)=\tr(A^t)$, $\tr(A+B)=\tr(A)+\tr(B)$, $\tr(cA)=c\cdot\tr(A)$, $\forall\ c\in\bbF$; (2) [相似不变量] 若 $A,B$ 相似, 则 $\tr(A)=\tr(B)$; (3) $\tr(AB)=\tr(BA)$; (4) $\sef{A,B}=\tr(A^tB)$ 是 $n$ 阶实方阵全体构成的实线性空间 $M_n(\bbR)$ 上的内积.

 

1. (161219) 设 $n\geq 2$, 实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 都大于 $-1$, 并且它们有着相同的符号. 证明: $$\bex (1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)>1+a_1+a_2+\cdots+a_n. \eex$$

 

1. (161218) (1) 证明方程 $\tan x=x$ 在 $\dps{\sex{n\pi,n\pi+\f{\pi}{2}}}$ 内存在实根 $\xi_n$, $n=1,2,\cdots$; (2) 求极限 $\dps{\vlm{n}(\xi_{n+1}-\xi_n)}$.

 

1. (161217) [华中师范大学2015数分] 设 $\Om$ 是 $\bbR^3$ 中简单光滑闭曲面 $\vSa$ 所围的有界连通区域. 考查问题 $$\bee\label{161217:eq} \seddm{ \lap u=0,&(x,y,z)\in \Om\\ u|_{\vSa}=f(x,y,z),&(x,y,z)\in \vSa }, \eee$$ 其中 $f(x,y,z)$ 为已知连续函数, $u(x,y,z)$ 为具有二阶连续偏导的未知函数. 证明若问题 \eqref{161217:eq} 有界, 则其解是唯一的, 即若 $u(x,y,z),v(x,y,z)$ 皆满足 \eqref{161217:eq}, 则有 $u(x,y,z)=v(x,y,z)$.

 

1. (161216) [浙江大学2014高代] 定义 $\psi$ 为 $[0,1]$ 到 $n$ 阶方阵全体组成的欧氏空间的连续映射, 使得 $\psi(0)$ 为第一类正交阵, $\psi(1)$ 为第二类正交阵. 证明: 存在 $T_0\in (0,1)$, 使得 $\psi(T_0)$ 退化.

 

1. (161215) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上有定义, 且 $g(0)>0$, $g(1)<0$, $f(x)+g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增. 试证: 存在 $\xi\in (0,1)$ 使得 $g(\xi)=0$.

 

1. (161214) [上海财经大学2015数分] 试证: (1) $\dps{\inf_{n\geq 1}|\sin n|=0}$; (2) $\sed{\sin n}$ 发散; (3) 试求 $\dps{\vsm{n}(\sin n)x^{n-1}}$ 的收敛域及和函数.

 

1. (161213) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 试证: $$\bex \vlm{n}\int_0^1 (n+1)x^nf(x)\rd x=f(1). \eex$$

 

1. (161212) [南开大学2012高代] 判断下列论断是否正确, 并证明你的结论: 设 $\scrA,\scrB$ 是 $n$ 维实线性空间 $V$ 上的两个线性变换, 且 $\scrA\scrB=\scrB\scrA$; 又已知 $\scrA,\scrB$ 都存在特征向量, 则 $\scrA,\scrB$ 必有公共的特征向量.

 

1. (161211) Let $\dps{\frac{3}{2}<q<3}$, and $f, g\in C_c^1(\bbR^3)$, we have $$\bex \int_{\bbR^3} |f|^2|g|^2\rd x_1\rd x_2\rd x_3 \leq C\sen{\n f}_{L^q}^2 \sen{g}_{L^2}^\frac{2(2q-3)}{q} \sen{\n_hg}_{L^2}^\frac{2(3-q)}{q}, \eex$$ where $C$ depends only on $q$.

 

1. (161210) 已知 $a_0>0$, $a_n=\sqrt{a_{n-1}+6}$, 求极限 $\dps{\vlm{n}a_n}$.

 

1. (161209) Suppose that $f\in W^{1,p}(\bbR^3)$ and $g\in W^{1,q}(\bbR^3)$ with $1<p,q<\infty,\ 1/p+1/q=1$. Then $\n(fg)$ is in $\calH^1(\bbR^3)$. Furthermore, we have $$\bee\label{lem:Hardy_bilinear:ineq} \sen{\n(fg)}_{\calH^1}\leq C \sen{\n f}_{L^p}\sen{g}_{L^q} +C\sen{f}_{L^p}\sen{\n g}_{L^q}, \eee$$ where $C$ is independent of $f$ and $g$.

 

1. (161208) [Hardy type inequality] If $1<p<+\infty$, $r\neq 1$, $f\geq 0$, and $$\bex F(x)=\sedd{\ba{ll} \dps{\int_0^x f(t)\rd t,}&r>1,\\ \dps{\int_x^\infty f(t)\rd t,}&r<1, \ea} \eex$$ then $$\bee\label{Hardy:general} \int_0^\infty x^{-r}F^p\rd x \leq \sex{\frac{p}{|r-1|}}^p \int_0^\infty x^{-r} (xf)^p\rd x. \eee$$

 

1. (161207) For $f\in \dot B^r_{\infty,\infty}(\bbR^3)$, $g,h\in H^1(\bbR^3)$ and any $\ve>0$, $0<r<1$, $k\in\sed{1,2,3}$, we have $$\bee\label{lem:me:ineq} \int_{\bbR^3}\p_kf \cdot gh\rd x \leq C\sen{f}_{\dot B^r_{\infty,\infty}}^\frac{2}{1+r} \sen{(g,h)}_{L^2}^2 +\ve \sen{\n(g,h)}_{L^2}^2. \eee$$

 

1. (161206) 对 $\forall\ x,y\in\bbR^n,\ \be\geq 1$, 试证: $$\bex (|x|^{\be-1}x-|y|^{\be-1}y)\cdot (x-y)\geq \f{1}{2}\sex{|x|^{\be-1}+|y|^{\be-1}}|x-y|^2, \eex$$ 且 $\dps{\f{1}{2}}$ 不能再改进. 这里, $$\bex x\cdot y=\sum_{i=1}^n x_iy_i,\quad x=(x_1,\cdots,x_n),\quad y=(y_1,\cdots,y_n). \eex$$

 

1. (161205) 试证: $\dps{\int_0^\infty e^{-\al x^2}\sin x\rd x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内不一致收敛.

 

1. (161204) 设 $f(x)$ 有连续的二阶导数, $f(0)=f'(0)=0$, $f''(0)>0$, 试求 $\dps{\lim_{x\to 0}\f{\int_0^{u(x)}f(t)\rd t}{\int_0^x f(t)\rd t}}$, 其中 $u(x)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x,f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距.

 

1. (161203) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积, $f(x)\geq c>0$, 试证: $\ln f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积.

 

1. (161202) [第七届全国大学生数学竞赛预赛试题] 设 $f(x)$ 是 $\bbR$ 上有下界或者有上界的连续函数且存在正数 $a$ 使得 $$\bex f(x)+a\int_{x-1}^x f(t)\rd t \eex$$ 为常数. 求证: $f(x)$ 为常数.

 

 

1. (161201) [湖南师范大学2009数分] 设常数 $0<c<1$, $f(x)$ 在 $x=0$ 点连续, 且 $\dps{\lim_{x\to 0}\f{f(x)-f(cx)}{x}=A}$ 存在且有限, 求证: $f(x)$ 在 $x=0$ 点可导, 并证明: $\dps{f'(0)=\f{A}{1-c}}$.

 

1. (161130) 讨论函数项级数 $\dps{\vsmk{n}{0}\frac{(x^2+x+1)^n}{n(n+1)}}$ 的收敛性和一致收敛性.

 

1. (161129) [湖南师范大学2008数分] 设 $f''(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 且对任意 $x\in (-\infty,+\infty)$ 有 $|f(x)|\leq M_0$, $|f''(x)|\leq M_1$, 证明: $|f'(x)|\leq \sqrt{2M_0M_1}$.

 

1. (161128) [湖南师范大学2007数分] 设 $f(x)$ 在 $a$ 点处具有直到 $n$ 阶的导数, $f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0$, $f^{(n)}(a)\neq 0$, 证明: (1) 当 $n$ 为奇数时, $f(a)$ 不是极值; (2) 当 $n$ 为偶数时, $f(a)$ 是极值, 并指出什么时候是极大值, 什么时候是极小值.

 

1. (161127) [湖南师范大学2012数分] 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, $f(0)=0$, 当 $x\geq 0$ 时 $|f'(x)|\leq |f(x)|$, 求证: 在 $[0,+\infty)$ 上 $f(x)\equiv 0$.

 

1. (161126) [湖南师范大学2009数分] 求证: (1) 对任一收敛正项级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$, 必存在正项级数 $\dps{\vsm{n}b_n}$, 满足:$\dps{\vlm{n}\f{a_n}{b_n}=0}$; (2) 对任一通项为正的发散级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$, 必存在发散正项级数 $\dps{\vsm{n}b_n}$, 满足: $\dps{\vlm{n}\f{b_n}{a_n}=0}$.

 

1. (161125) 设 $\bbF$ 是一个数域, $M_n(\bbF)$ 是由所有 $n$ 阶 $\bbF$ 矩阵在矩阵加法和数乘矩阵之下构成的 $\bbF$ 向量空间. 设 $V$ 是 $M_n(\bbF)$ 的一个非零子空间, 且满足 $V$ 中的任何非零矩阵都是可逆矩阵. (1) 举出一个这样的子空间 $V$ 的例子从而说明这样的子空间确实存在. (2) 证明 $V$ 的维数满足: $\dim V\leq n$. (答案)

 

1. (161124) 设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶方阵, 适合 $\r(AB)=\r(B)$. 试证: $\r(ABC)=\r(BC)$.

 

1. (161123) 设 $f(x)$ 在 $[\al,+\infty)$ 上连续, 当 $x\to+\infty$ 时, $f(x)$ 以直线 $y=ax+b$ 为渐近线, 求证: $f(x)$ 在 $[\al,+\infty)$ 上一致连续.

 

1. (161122) 设 $D$ 为平面上的有界域, $f(x,y)$ 在 $D$ 上可微, 在 $\bar D$ 上连续, 在 $\bar D$ 的边界上 $f(x,y)=0$, 且在 $D$ 上满足: $f_x+f_y=f$. 证明: 在 $\bar D$ 上 $f(x,y)=0$.

 

1. (161121) 求由 $z=x+y$ 和 $z=x^2+y^2$ 围成的几何体体积.

 

1. (161120) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导, $f(0)=f(1)$, $\dps{\int_0^1f(x)\rd x=0}$, 且对一切 $x\in [0,1]$ 都有 $f'(x)\neq 1$, 记 $g(x)=f(x)-x$, $n\geq 2$ 为正整数, 求证: (1) $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上严格单调递减; (2) $\dps{-\f{n}{2}<\sum_{k=0}^{n-1} g\sex{\f{k}{n}}<-\f{n}{2}+1}$; (3) $\dps{\sev{\sum_{k=0}^{n-1} f\sex{\f{k}{n}}}<\f{1}{2}}$.

 

1. (161119) [导数介值定理] 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导, 且 $f'_+(a)\cdot f'_-(b)<0$, 则 $\exists\ \xi\in (a,b),\st f'(\xi)<0$.

 

1. (161118) [华中师范大学2012高代] 设 $n,k$ 是整数, $n>2$, $1\leq k\leq n$. 设复数 $\om$ 满足 $\om^n=1$ 但是 $\om^t\neq 1$ 对任意 $t=1,\cdots,n-1$ (称这样的 $\om$ 为 $n$ 次本原单位根). 令 $A=(\om^{ij})_{0\leq i,j\leq n-1}$ 是一个 $n$ 阶方阵. 令 $\dps{A\sex{i_1\cdots i_k\atop j_1\cdots j_k}}$ 是由 $A$ 的 第 $i_1$ 行, $\cdots$, 第 $i_k$ 行和第 $j_1$ 列, $\cdots$, 第 $j_k$ 列的交叉位置的元素构成的 $k$ 阶子矩阵, 这里 $1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n$, $1\leq j_1<\cdots<j_k\leq n$. (1) 证明: 对任意 $1\leq k\leq n$, $\dps{A\sex{1\cdots k\atop j_1\cdots j_k}}$ 是可逆矩阵. (2) 对任意 $1\leq k\leq n$, 以及对任意的 $1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n$, $1\leq j_1<\cdots<j_k\leq n$, $\dps{A\sex{i_1\cdots i_k\atop j_1\cdots j_k}}$ 一定可逆吗? 如果是, 给出证明; 如果不是, 给出反例.

 

1. (161117) [武汉大学2015数分] 设 $0<\al<1$, 求积分 $\dps{\int_0^1 f(t^\al)\rd t}$ 的上确界, 其中连续函数 $f$ 满足 $$\bex \int_0^1 |f(t)|\rd t\leq 1. \eex$$

 

1. (161116) [南开大学2014数分] 求 $\dps{\vlm{n}\sum_{k=1}^n\f{1}{\sqrt{k(n-k+1)}}}$.

 

1. (161115) [南开大学2014数分] 求级数 $\dps{\vsmk{n}{0}\f{(-1)^n}{3n+2}}$ 的值.

 

1. (161114) [Abel 定理] 设幂级数 $\dps{g(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}$ 在 $|x|<1$ 内收敛, 且 $\dps{\sum_{n=0}^\infty a_n=s}$ 收敛. 则 $$\bex \lim_{x\to 1^-} g(x)=s. \eex$$

 

1. (161113) 设 $\bbF$ 是一个数域, $A$ 是一个 $n$ 阶 $\bbF$ 方阵, 这里 $n$ 是大于 $1$ 的正整数. 用 $E_{ij}$ 表示 $(i,j)$ 位置为 $1$ 其余位置为 $0$ 的 $n$ 阶 $\bbF$ 方阵. 证明以下 3 条等价: (1) $A$ 和所有 $\bbF$ 方阵相乘可交换; (2) $A$ 和所有可逆 $\bbF$ 方阵相乘可交换; (3) $A$ 和所有的 $E_{ij}$ (其中 $1\leq i,j\leq n$ 但是 $i\neq j$) 相乘可交换.

 

1. (161112) 试证: $\dps{\int_0^\infty xe^{-xy}\rd x}$ 在 $(0,\infty)$ 内不一致收敛.

 

1. (161111) [江西师范大学2013高数] 使用连续函数的介值定理证明: 对于平面上给定的一个三角形, 在任意方向上都存在一条直线, 能将三角形分成面积相等的两部分.

 

1. (161110) (1) 函数 $u(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 且 $u'(x)$ 绝对可积. 求证: $$\bex \sup_{x\in [0,1]}|u(x)|\leq \int_0^1|u(x)|\rd x +\int_0^1 |u'(x)|\rd x. \eex$$ (2) 二元函数 $u(x,y)$ 在 $\Omega=\sed{(x,y);0\leq x\leq 1,\ 0\leq y\leq 1}$ 上连续, 且偏导数 $u_x,u_y,u_{xy}$ 绝对可积. 求证: $$\bex \sup_{(x,y)\in \Omega} |u(x)|\leq \iint_\Omega |u|\rd x\rd y +\iint_\Omega |u_x|+|u_y|\rd x\rd y +\iint_\Omega |u_{xy}|\rd x\rd y. \eex$$

 

1. (161109) [江西师范大学2013高数] 设 $f(x)$ 二次可导, $f(0)=f'(0)=f(1)=0$, 试证: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f''(\xi)+4\xi f'(\xi)+(4\xi^2+2)f(\xi)=0$.

 

1. (161108) [湖南师范大学2010数分] 求极限 $$\bex \lim_{x\to 0^+}(\sin x)^\al \int_x^1 \f{f(t)}{t^{\al+1}}\rd t, \eex$$ 其中 $\al>0$, $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数.

 

1. (161107) [湖南师范大学2016数分] 若广义积分 $\dps{\int_0^2\f{\rd x}{|\ln x|^p}}$ 收敛, 试求实数 $p$ 的取值范围.

 

1. (161106) [中国科学院2011数分] 设 $\sed{a_n}_{n\geq 0}$, $\sed{b_n}_{n\geq 0}$, $\sed{\xi_n}_{n\geq 0}$ 为非负数列, 而且对任意 $k\geq 0$, 有 $$\bex a_{k+1}^2\leq (a_k+b_k)^2-\xi_k^2. \eex$$ (1) 证明: $\dps{\sum_{i=1}^k \xi_i^2\leq \sex{a_1+\sum_{i=0}^k b_i}^2}$. (2) 若数列 $\sed{b_k}$ 还满足 $\dps{\sum_{k=0}^\infty b_k^2<\infty}$, 则 $\dps{\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k \xi_i^2=0}$.

 

1. (161105) 证明: $$\bex 1\leq \iint_\Omega \sin (x^2)+\cos(y^2)\rd x\rd y\leq \sqrt{2}, \eex$$ 其中 $\Omega=\sed{(x,y);\ 0\leq x\leq 1,\ 0\leq y\leq 1}$.

 

1. (161104) [湖南师范大学2010高代] 设 $\scrA$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换. 请简略说明一定存在正整数 $m$, 使得 $\scrA^{2m}V =\scrA^mV$.

 

1. (161103) [湖南师范大学2010高代] 设正整数 $m$ 与 $n$ 为一奇一偶, 请简略地说明此时有: $(x^m+1,x^n+1)=1$.

 

1. (161102) [湖南师范大学2012高代] 设 $m,n$ 是正整数. 证明: $(x^m-1,x^n-1)=x-1$ 当且仅当 $(m,n)=1$.

 

1. (161101) 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵, $b\neq 0$ 是 $n$ 维列向量, 适合 $\r(A)=\r(A,b)=r$. 记 $Ax=b$ 的所有解集合为 $S$, 试证: (1) $S$ 中含有 $n-r+1$ 个线性无关的向量 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r+1}$; (2) $\xi$ 是 $S$ 中元素的充要条件是存在 $k_i\ (1\leq i\leq n-r+1)$ 使得 $$\bex \sum_{i=1}^{n-r+1}k_i=1,\quad \xi=\sum_{i=1}^{n-r+1}k_i\eta_i. \eex$$

 

1. (161031) 设 $$\bex a_0=\pi,\quad a_1=\pi^2,\quad a_{n+1}=a_n+\f{2a_{n-1}}{n+1}\ (n=1,2,\cdots). \eex$$ 试证: $\sed{\f{a_n}{n^2}}$ 收敛.

 

1. (161030) [湖南师范大学2013高代] 设 $A$ 是实数域 $\bbR$ 上的 $n$ 阶方阵, 向量 $\al\in\bbR^n$ (实数域 $\bbR$ 上 $n$ 维列空间), 使得 $$\bex \al,A\al,A^2\al,\cdots,A^{n-1}\al \eex$$ 是 $\bbR^n$ 的一个基. 如果 $\bbR$ 上的 $n$ 阶方阵 $B$ 满足条件 $AB=BA$. 证明: (1) 存在实数域 $\bbR$ 上的一个次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$ 使得 $B\al=f(A)\al$; (2) 对于 (1) 中 找到的多项式 $f(x)$, 必有 $B=f(A)$.

 

1. (161029) [华中师范大学2009高代] 设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵, $\lm_t=r+s\i$ 是 $A$ 的特征根, 其中 $r,s$ 是实数, $\i$ 是虚数单位. (1) 证明: $\f{1}{2}(A+A^t)$ 的特征根都是实数; 令 $\mu_1\leq \cdots\leq \mu_n$ 是 $\f{1}{2}(A+A^t)$ 的全部特征根; (2) 证明: $\mu_1\leq r\leq \mu_n$. (3) 你有类似的估计 $s$ 的办法吗?

 

1. (161028) [华中师范大学2009高代] 设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $m\times n$ 矩阵, $B$ 是非零的 $m\times 1$ 阶矩阵. 考虑线性方程组 $AX=B$, 其中 $X$ 是变元 $x_1,\cdots,x_n$ 的列向量. 证明: (1) 线性方程组 $AX=B$ 的任意有限个解向量 $X_1,\cdots,X_k$ 的向量组的秩 $\leq n-r+1$. (2) 若线性方程组 $AX=B$ 有解, 则它有 $n-r+1$ 个解向量是线性无关的.

 

1. (161027) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 $\nearrow$, $f(0)>0$, $f(1)<1$. 试证: $\exists\ x_0\in (0,1)$, 使得 $f(x_0)=x_0^2$. (福建师范大学)

 

1. (161026) 设 $$\bex a_1>0,\quad a_{n+1}=\ln(1+a_n)\ (n\geq 1). \eex$$ 试证: $$\bex \vlm{n}\f{n(na_n-2)}{\ln n}=\f{2}{3}. \eex$$

 

1. (161025) 设 $$\bex a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_1+\cdots+a_n}\ (n\geq 1). \eex$$ 试证: $$\bex \vlm{n}\frac{a_n}{\sqrt{2\ln n}}=1. \eex$$

 

1. (161024) 设 $A$ 是 $n$ 阶半正定矩阵, 试证: $$\bex a_{ii}=0\ra a_{kl}=0,\ k=i\mbox{ 或 }\ l=i. \eex$$ 这即说明: 若半正定矩阵某对角元为 $0$, 则其所在的行与列中的元素均为 $0$. (link)

 

1. (161023) 设 $$\bex l_i=c_{i1}x_1+c_{i2}x_2+\cdots+c_{in}x_n,\quad i=1,2,\cdots,p+q, \eex$$ 这里 $c_{ij}\in\bbR$. 试证明实二次型 $$\bex f(x_1,x_2,\cdots,x_n) =l_1^2+l_2^2+\cdots+l_p^2 -l_{p+1}^2-\cdots-l_{p+q}^2 \eex$$ 的正惯性指数 $\leq p$, 负惯性指数 $\leq q$. (link)

 

1. (161022) $$\bee\label{161022:goal} \sen{\n f}_{L^4(\bbR^2)} \lesssim \sen{\vLm^\al f}_{L^2} ^\frac{2\al+1}{4} \sen{\vLm^\al \n^2f}_{L^2} ^\frac{3-2\al}{4}, \eee$$ where $$\bex 1<\al\leq \frac{3}{2},\quad \vLm=(-\lap)^{\frac{1}{2}}. \eex$$ Indeed, $$\beex \bea \sen{\n f}_{L^4} &\lesssim \sen{\n f}_{L^\frac{2}{2-\al}}^{1-\tt} \sen{\n^\al \n^2f}_{L^2}^\tt\\ &\quad\sex{\tt=\frac{3-2\al}{4} \mbox{ by Gagliardo-Nirenberg inequality}}\\ &\lesssim \sen{\vLm^\al f}_{L^2}^{1-\tt} \sen{\vLm^\al \n^2f}_{L^2}^\tt\quad\sex{\mbox{by Sobolev inequality}}. \eea \eeex$$

 

1. (161021) 对于实数域 $\bbR$ 上的 $n^2$ 维线性空间 $V=\bbR^{n\times n}$, 定义 $V$ 上的二元函数 $$\bex \sef{\cdot,\cdot}:\ (P,Q)\mapsto \tr(P^tQ),\quad \forall\ P,Q\in V. \eex$$ 并记 $|P|^2=\sef{P,P}$. 试证: (1) $V$ 关于 $\sef{\cdot,\cdot}$ 成为一个欧氏空间; (2) $$\bex \sef{P,Q}\leq \sev{\frac{P+Q}{2}}^2,\quad\ \forall\ P,Q\in V. \eex$$

 

1. (161020) (1) 设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 任取 $A$ 的 $r$ 个线性无关的行向量, 再取 $A$ 的 $r$ 个线性无关的列向量, 试证它们对应的行列构成的 $r$ 阶子式不为零. (link) (2) 设对称矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 试证: $A$ 有一个非零的 $r$ 阶主子式.

 

1. (161019) 多项式 $$\bex f(x)=f_0(x^n)+xf_1(x^n)+\cdots+x^{n-1}f_{n-1}(x^n), \eex$$ 且 $x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\mid f(x)$. 求证: $f(1)=0$. [(感谢 93zixufeng@sina.com 告知我此题有问题, 当 $f_0,f_1,\cdots,f_{n-1}$ 都是相等的非零常数时, 结论不成立!)]

 

1. (161018) 设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶方阵. (1) 证明 $\dps{\sexm{ A&A\\ C-B&C }}$ 可逆的充要条件是 $AB$ 可逆; (2) 若 $\dps{\sexm{ A&A\\ C-B&C }}$ 可逆, 求出 $\dps{\sexm{ A&A\\ C-B&C }}$ 的逆.

 

1. (161017) 设 $h(t)$ 是 $[0,T)$ 上的连续函数, 适合 $$\bex \lim_{t\to T^-}h(t)=+\infty. \eex$$ 再设 $$\bex H(t)=\max_{0\leq s\leq t}h(s),\quad 0\leq s<T. \eex$$ 试证: $$\bex \exists\ t_k\nearrow T,\st h(t_k)=H(t_k)\nearrow +\infty. \eex$$

 

1. (161016) 试求 $$\bex \prod_{n=2}^\infty\frac{n^3-1}{n^3+1}. \eex$$

 

1. (161015) 设 $$\bex a_n\geq 0,\ (n\in\bbZ_+);\quad A_n=\sum_{k=0}^n a_k. \eex$$ 再设 $$\bex \vlm{n}A_n=+\infty,\quad \vlm{n}\frac{a_n}{A_n}=0. \eex$$ 试证: 级数 $\dps{\vsmk{n}{0}a_nx^n}$ 的收敛半径 $r=1$.

 

1. (161014) 试证: 当 $0<x<1$ 时, $$\bex \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}<\frac{\ln (1+x)}{\arcsin x}. \eex$$

 

1. (161013) 试求 $$\bex \lim_{x\to0}\frac{\sin \tan x-\tan \sin x}{ \arcsin \arctan x-\arctan \arcsin x }. \eex$$

 

1. (161012) 已知函数 $\dps{f(x)=(1+x)^\frac{1}{x}}$, 计算 $f^{(i)}(x)$, $i=1,2,3$.

 

1. (161011) 这段时间一直在看 [Gallay Thierry, Vladimir Sverak, Remarks on the Cauchy problem for the axisymmetric Navier-Stokes equations, arXiv preprint arXiv:1510.01036 (2015)]. 一两个礼拜了. 那个 Proposition 2.4 终于验算完毕 (也确实得到了作者给出的条件, 不过确实过程复杂, 写出来也乱). 总结下教训: 开始没注意到 (28) 最前面有个系数 $r^\al/\bar r^\be$; 后来又没注意到不同 cases 时在 ``$\xi^\be F'(\xi)$ 有界'' 所选取的 $\be$ 不同; 最后在不同 cases 时, 如何估计又失算了, 少算了一两个可能情形. 如此耗费时间...问作者又没丝毫回应. 不过现在也好了.

 

1. (161010) 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0$, $f(1)=1$. 试证: 在 $(0,1)$ 内存在不同的 $\lm$, $\mu$ 使得 $f'(\lm)[f'(\mu)+1]=2$.

 

1. (161009) A strong solution (by which we mean $\bbu\in L^\infty(0,T;H^1(\bbR^3))\cap L^2(0,T;H^2(\bbR^3))$) is in fact smooth. This is a classical result, and can be located in many references. Here, we refer to Page 870--871 of the following paper: Chen, Qionglei; Miao, Changxing; Zhang, Zhifei. The Beale-Kato-Majda criterion for the 3D magneto-hydrodynamics equations. Comm. Math. Phys. 275 (2007), no. 3, 861--872.

 

1. (161008) 试求 $$\bex \int_0^{\infty} \frac{\rd x}{(1+x^6)^2}. \eex$$

 

1. (161007) 设 $$\bex A=\sexm{ 1&0&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0 }, \eex$$ 试证: 当 $n\geq 3$ 时, $A^n=A^{n-2}+A^2-E$, 并计算 $A^{100}$.

 

1. (161006) 证明: 当 $\lm<1$ 时, $$\bex \lim_{R\to+\infty} R^\lm\int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\tt}\rd \tt=0. \eex$$

 

1. (161005) 设 $M$ 为自然数集, 试给出 $M$ 的两个双射变换 $\sigma,\tau$ 使得 $\sigma \tau\neq \tau\sigma$.

 

1. (161004) 设 $f\in C^2[0,1]$ 适合 $f(0)=f(1)=0$, $f\not\equiv 0$. 试证: $$\bex |f(x)|\leq \frac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$

 

1. (161003) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $$\bex \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}\mbox{ 存在,}\quad \int_0^1 f(x)\rd x=f(1). \eex$$ 试证: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f''(\xi)+2\xi f'(\xi)=0$.

 

1. (161002) 试求 $$\bex \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^2}{\sin^2x}\rd x. \eex$$

 

1. (161001) 设 $A=(a_{ij})$, 且定义 $$\bex \n_A f(A)=\sex{\cfrac{\p f}{\p a_{ij}}}. \eex$$ 试证: (1) $\n_A\tr (AB)=B^t$; (2) $\n_A \tr(ABA^tC)=CAB+C^tAB^t$.

 

1. (160930) 已知函数 $f(x)=\ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$.

 

1. (160929) 设 $f$ 在 $D=\sed{z\in\bbC;\ |z|\leq 1}$ 上除点 $z_0\in D$ 外处处解析, 且满足 (1) 在 $D$ 内 $f$ 没有零点; (2) $z\in \p D\ra f(z)\in \p D$; (3) $z_0$ 是 $f$ 的一阶极点. 试证: $$\bex \exists\ \tt\in \bbR,\st f(z)=e^{i\tt}\frac{1-\bar z_0z}{z-z_0}. \eex$$

 

1. (160928) 设 $f(r,z):\Omega=(0,\infty)\times \bbR\to \bbR$ 适合 $$\bex r^3f\in L^1(\Omega),\quad rf\in L^1(\Omega),\quad f\in L^\infty(\Omega). \eex$$ 试证: $$\bex \int_\bbR\rd z \int_1^\infty |f|\frac{r^3}{(r^2+z^2)^\frac{3}{2}}\rd r \lesssim \sen{r^3f}_{L^1(\Omega)}^\frac{1}{4} \sen{rf}_{L^1(\Omega)}^\frac{1}{4} \sen{f}_{L^\infty(\Omega)}^\frac{1}{2}. \eex$$

 

1. (160927) 试证: $$\bex \int_0^{2\pi} \frac{\cos \phi\rd \phi}{\sqrt{2(1-\cos\phi)+s}} =2\int_0^\pi \frac{\cos\phi\rd \phi}{\sqrt{2(1-\cos\phi)+s}},\quad s>0. \eex$$

 

1. (160926) 设 $f:\bbR^2\to\bbR$ 适合 $f\in L^1(\bbR^2)\cap L^\infty(\bbR^2)$, 再设 $K:\bbR^2\to\bbR$ 适合 $$\bex \exists\ C>0,\ \exists\ x_0\in\bbR^2,\st |K(x)|\leq \frac{C}{|x-x_0|},\quad\forall\ x\in\bbR^2. \eex$$ 试证: $$\bex \sev{\int_{\bbR^2}K(x)f(x)\rd x} \leq 2\sqrt{2\pi}\sen{f}_{L^1(\bbR^2)}^\frac{1}{2} \sen{f}_{L^\infty(\bbR^2)}^\frac{1}{2}. \eex$$

 

1. (160925) 试求 $\dps{ \int \sqrt{1+\cos x}\rd x. }$

 

1. (160924) 设 $f(x,y,z)=f(r,z):\bbR^3\to \bbR$ ($r=\sqrt{x^2+y^2}$) 适合 $\dps{\lim_{r^2+z^2\to \infty}f(r,z)=0}$, $$\bex r\n f\in L^1(\bbR^3),\quad \frac{\n f}{r}\in L^1(\bbR^3),\quad \frac{\n f}{r}\in L^\infty(\bbR^3). \eex$$ 试证: $$\bex \sen{f}_{L^\infty(\bbR^3)} \leq \sqrt{2} \sen{r\n f}_{L^1(\bbR^3)}^\frac{1}{4} \sen{\frac{\n f}{r}}_{L^1(\bbR^3)}^\frac{1}{4} \sen{\frac{\n f}{r}}_{L^\infty(\bbR^3)}^\frac{1}{2}. \eex$$

 

1. (160923) 设 $f(x,y,z):\bbR^3\to \bbR$ 适合 $$\bex rf\in L^1(\bbR^3),\quad\frac{f}{r}\in L^1(\bbR^3),\quad \frac{f}{r}\in L^1(\bbR^3), \eex$$ 其中 $r=\sqrt{x^2+y^2}$. 试证: 对 $1\leq p\leq 2$, 有 $$\bex \sen{f}_{L^p(\bbR^3)} \leq \sen{rf}_{L^1(\bbR^3)}^\frac{1}{2} \sen{\frac{f}{r}}_{L^1(\bbR^3)}^{\frac{1}{p}-\frac{1}{2}} \sen{\frac{f}{r}}_{L^\infty(\bbR^3)}^{1-\frac{1}{p}}. \eex$$

 

1. (160922) 设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$\bex n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi} <x_n<n\pi+\frac{\pi}{2}. \eex$$

 

1. (160921) 求 $\int_\vGa y^2\rd s$, 其中 $\vGa$ 由 $\dps{\sedd{\ba{rl} x^2+y^2+z^2&=a^2\\ x+z&=a \ea}}$ 决定.

 

1. (160920) 设 $f$ 是 $[1,\infty)$ 上的非负单调减少函数, 令 $$\bex a_n=\sum_{k=1}^n f(k)-\int_1^n f(x)\rd x,\quad n=1,2,\cdots. \eex$$ 试证: 数列 $\sed{a_n}$ 收敛.

 

1. (160919) 对 $a\in\bbR$, 试证: $$\bex \vlm{n}\prod_{k=1}^{n+1} \cos \sex{\frac{\sqrt{2k-1}}{n}a^2} =e^{-\frac{a^4}{2}}.\eex$$

 

1. (160918) 试求 $$\bex \vlm{n}\sum_{k=1}^n\frac{\sin \frac{k\pi}{n}}{n+\frac{1}{k}}. \eex$$

 

1. (160917) 设函数 $f,g\in C[a,b]$ 适合 $f(x)\not\equiv 0$, $g>0$. 记 $$\bex d_n=\int_a^b |f(x)|^ng(x)\rd x,\quad n=1,2,\cdots. \eex$$ 试证: 数列 $\dps{\sed{\frac{d_{n+1}}{d_n}}}$ 收敛, 并求出其极限.

 

1. (160916) 设 $f\in C^{2n}[a,b]$ 适合 $f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0$, $k=0,1,2,\cdots,n-1$. 试证: $$\bex \sev{\int_a^b f(x)\rd x} \leq \frac{(n!)^2(b-a)^{2n+1}}{(2n)!(2n+1)!} \max_{x\in [a,b]}|f^{(2n)}(x)|. \eex$$

 

1. (160915) 设 $f\in C[0,1]$ 适合 $0\leq f<1$, 试证: $$\bex \int_0^1 \frac{f(x)}{1-f(x)}\rd x \geq \frac{\int_0^1 f(x)\rd x}{1-\int_0^1 f(x)\rd x}. \eex$$

 

1. (160914) 设 $[a,b]$ 上的函数 $f,g$ 适合 $$\bex [f(x)-f(y)]\cdot [g(x)-g(y)]\geq 0,\quad\forall\ x,y\in [a,b]. \eex$$ 又设 $0<p\in\calR[a,b]$, 试证: $$\beex \bea &\quad\int_a^b p(x)f(x)\rd x\cdot \int_a^b p(x)g(x)\rd x \\ &\leq \int_a^b p(x)\rd x \cdot \int_a^b p(x)f(x)g(x)\rd x. \eea \eeex$$

 

1. (160913) 设 $0<F\in C[a,b]$ 单调减少, 试证: $$\bex \int_a^b F(x)\rd x\cdot \int_a^b xF^2(x)\rd x \leq \int_a^b F^2(x)\rd x\cdot \int_a^b xF(x)\rd x. \eex$$

 

1. (160912) 平面上的两个互不相交的闭集的距离一定大于零么?

 

1. (160911) 试举一个拓扑空间 $X$, 其有一子集 $Y$, 是有界闭的, 但不是紧致的.

 

1. (160910) 试举一个不满足 $A_1$ 公理 ($A_2$ 公理) 的拓扑空间.

 

1. (160909) 设 $M\geq 1$ 是一正数, $\mu$ 是一个概率测度, 试证: 对 $0\leq f\leq M$, 有 $$\bex \sev{\ln \int f\rd \mu-\int \ln f\rd \mu} \leq \frac{M\sen{g}_{L^2}}{\sen{f}_{L^1}}, \eex$$ 其中 $g=\ln f-\int \ln f\rd \mu$.

 

1. (160908) 设 $f$ 是 $\bbR$ 上的非负函数, 适合 $$\bex \int_{\bbR} f(x)\rd x=1,\quad \int_{\bbR}xf(x)\rd x=0,\quad \int_{\bbR}x^2f(x)\rd x=1. \eex$$ 试证: $$\bex x>0\ra \int_{-\infty}^x f(t)\rd t\geq \frac{x^2}{1+x^2}, \eex$$ $$\bex x<0\ra \int_{-\infty}^x f(t)\rd t\leq \frac{1}{1+x^2}. \eex$$

 

1. (160907) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积, 且有 $0<m\leq f(x)\leq M$, 试证: $\dps{ \int_0^1 f(x)\rd x\cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)}\rd x\leq \frac{(m+M)^2}{4mM}. }$

 

1. (160906) 试证: 函数 $$\bex f(x)=e^\frac{x^2}{2}\int_x^\infty e^{-\frac{t^2}{2}}\rd t \eex$$ 在 $x>0$ 时严格单调减少, 且成立 $$\bex \frac{x}{x^2+1}<f(x)<\frac{1}{x}. \eex$$

 

1. (160905) 设 $\dps{f(x)=\frac{1+xe^x}{1+x}}$, 试求 $f^{(5)}(0)$.

 

1. (160904) 试求 $$\bex \int \frac{1-x^2\cos x}{(1+x\sin x)^2}\rd x. \eex$$

 

1. (160903) 设 $\sed{a_n},\sed{b_n}$ 为数列且 $\sed{a_n}$ 收敛, 则 $$\bex \vls{n}(a_n+b_n)=\vlm{n}a_n+\vls{n}b_n, \eex$$ $$\bex \vli{n}(a_n+b_n)=\vlm{n}a_n+\vli{n}b_n. \eex$$

 

1. (160902) 设正数列 $\sed{a_n}$ 适合 $$\bex \vls{n}a_n \cdot \vls{n}\frac{1}{a_n}=1, \eex$$ 试证: $\sed{a_n}$ 收敛.

 

1. (160901) 试证: 对正数列 $\sed{a_n}$ 有 $$\bex \vli{n}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\vls{n}a_n},\quad \vls{n}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\vli{n}a_n}. \eex$$

 

1. (160831) 定义数列 $\sed{a_n}$ 的上下极限分别为 $$\bex \vls{n}a_n=\inf_{n\geq 1}\sup_{k\geq n} a_k,\quad \vli{n}a_n=\sup_{n\geq 1}\inf_{k\geq n} a_k. \eex$$ 试证: $\sed{a_n}$ 收敛的充要条件为 $\dps{\vls{n}a_n=\vli{n}a_n}$, 且当极限存在时, $$\bex \vlm{n}a_n=\vls{n}a_n=\vli{n}a_n. \eex$$

 

1. (160830) 试求 $$\bex \vlm{n}(n+1+n\cos n)^\frac{1}{2n+n\sin n}. \eex$$

 

1. (160829) 设 $$\bex \vlm{n}\frac{n^{2016}}{n^x-(n-1)^x}=2017, \eex$$ 试求 $x$.

 

1. (160828) 设 $\al\in (0,1)$, 试求 $$\bex \vlm{n}[(n+1)^\al-n^\al]. \eex$$

 

1. (160827) 试证: $\sed{\cos n;n\in\bbN}$ 在 $[-1,1]$ 上稠密.

 

1. (160826) 设 $\al$ 是无理数, 试证: $$\bex A=\sed{m+n\al;m,n\in\bbZ} \eex$$ 在 $\bbR$ 中稠密, 也即: 任何一个开区间至少含有 $A$ 中一元.

 

1. (160825) 试证: 对任意无理数 $\al$ 和任意正整数 $n$, 都存在正整数 $q_n$ 和整数 $p_n$ 使得 $$\bex \sev{\al-\frac{p_n}{q_n}}<\frac{1}{nq_n},\quad \sev{\al-\frac{p_n}{q_n}}<\frac{1}{q_n^2}. \eex$$

 

1. (160824) 计算曲线 $$\bex (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2),\quad x^2+y^2\geq a^2 \eex$$ 所围成的面积.

 

1. (160823) 证明恒等式 $$\bex \sez{x^{n-1}f\sex{\frac{1}{x}}}^{(n)} =\frac{(-1)^n}{x^{n+1}}f^{(n)}\sex{\frac{1}{x}}. \eex$$ (link)