(170501) 证明: 当 $m<2$ 时, $\dps{\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^m}\int_0^x \sin \frac{1}{t}\rd t=0}$.
(170502) 证明: 当 $\lm<1$ 时, $\dps{\lim_{R\to+\infty} R^\lm\int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\tt}\rd \tt=0}$.
(170503) 计算以下渐近等式 $$\bex \int_0^1 \frac{x^{n-1}}{1+x}\rd x=\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+o\sex{\frac{1}{n^2}}\quad(n\to\infty) \eex$$ 中的待定常数 $a,b$.
(170504) 设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f^p(t)\rd t. \eex$$ 试求 $\dps{\vlm{p}x_p}$.
(170505) 设 $f\in C[0,+\infty)$, $a$ 为实数, 且存在有限极限 $$\bex \vlm{x}\sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t}. \eex$$ 证明; $f(+\infty)=0$.
(170506) $$\bex \sum_{|\al|\leq m}\sen{D^\al (fg)-(D^\al f)g}_{L^2} \leq C\sex{\sen{f}_{L^\infty}\sen{g}_{H^m}+\sen{f}_{H^{m-1}}\sen{\n g}_{L^\infty}}. \eex$$
(170507) Assume that $a$ is a positive constant, $x(t),y(t)$ are two nonnegative $C^1(\bbR^+)$ functions, and $D(t)$ is a nonnegative function, satisfying $$\bex \frac{\rd}{\rd t} (x^2+y^2)+D \leq a(x^2+y^2+x+y)D. \eex$$ If additionally, the initial data satisfy $$\bex x^2(0)+y^2(0)+\sqrt{2(x^2(0)+y^2(0))}<\frac{1}{a}, \eex$$ then, for any $t>0$, one has $$\bex x^2(t)+y^2(t)+x(t)+y(t)<x^2(0)+y^2(0)+\sqrt{2(x^2(0)+y^2(0))}<\frac{1}{a}. \eex$$
(170508) For $f\in H^s(\bbR^3)$ with $s>\frac{3}{2}$, we have $$\bex \sen{f}_{L^\infty}\leq C\sex{1+\sen{f}_{\dot B^0_{\infty,\infty}}}\ln \sex{1+\sen{f}_{H^s}},\quad s>\frac{3}{2}. \eex$$
(170509) $$\bex (\n\times\bbb)\times\bbb=-\n\frac{|\bbb|^2}{2}+(\bbb\cdot\n)\bbb. \eex$$
(170510) 设 $x\neq 0$, 矩阵 $$\bex A=\sexm{ 1&\frac{x}{n}\\ -\frac{x}{n}&1}. \eex$$ 计算 $\dps{\lim_{x\to 0}\vlm{n}(A^n-E)}$.
(170511) 设 $f(x)=x^2\ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$.
(170512) 证明不等式: $$\bex 1+x\ln\sex{x+\sqrt{1+x^2}}>\sqrt{1+x^2},\quad x>0. \eex$$
(170513) 设数列 $\sed{x_n}$ 满足 $0<x_1<\pi$, $x_{n+1}=\sin x_n\ (n=1,2,\cdots)$. (1) 证明 $\dps{\vlm{n}x_n}$ 存在, 并求其极限; (2) 计算 $\dps{\vlm{n}\sex{\frac{x_{n+1}}{x_n}}^{\frac{1}{x_n^2}}}$; (3) 证明 $\dps{\vlm{n}\sqrt{\frac{n}{3}}x_n=1}$.
(170514) 设 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上连续, 又 $$\bex \phi(x)=f(x)\int_0^x f(t)\rd t \eex$$ 单调递减. 证明: $f\equiv 0$.
(170515) 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, 其正负惯性指数分别是 $p,q$. 再设 $$\bex f(x)=x^tAx,\quad N_f=\sed{x\in\bbR^n;f(x)=0}. \eex$$ 证明: (1) 包含于 $N_f$ 的线性空间的维数至多是 $n-\max\sed{p,q}$; (2) 若 $W$ 是 $\bbR^n$ 的一个线性子空间, 将二次型限定在 $W$ 中得到正负惯性指数分别是 $p_1,q_1$, 则有 $p_1\leq p$, $q_1\leq q$.
(170516) 在 [Yosida, Kōsaku. Functional analysis. Reprint of the sixth (1980) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995] 第 126-127 页给出了一致凸 Banach 空间的定义: 若 Banach 空间 $X$ 满足 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ \del=\del(\ve)>0,\st \\ \sen{x}\leq 1,\ \sen{y}\leq 1,\ \sen{x-y}\geq \ve\ra \sen{x+y}\leq 2(1-\del). \eex$$ 则称 $X$ 是一致凸的 Banach 空间. 试证: 若 $\sed{x_n},\sed{y_n}\subset X$ 满足 $$\bex \vlm{n}\sen{x_n}=\vlm{n}\sen{y_n}=1,\quad \sen{x_n-y_n}\geq \ve'>0, \eex$$ 则 $$\bex \vls{n}\sen{x_n+y_n}<2. \eex$$
(170517) 设 $V$ 是有理数域 $\bbQ$ 上的三维线性空间, $\scrA:\ V\to V$ 是一个线性变换. 已知 $\al_1,\al_2,\al_3\in V\ (\al_1\neq 0)$ 满足 $$\bex \scrA\al_1=\al_2,\quad \scrA\al_2=\al_3,\quad \scrA\al_3=\al_1+\al_2. \eex$$ 证明: 向量组 $\al_1,\al_2,\al_3$ 是 $V$ 的一组基.
(170518) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=f(1)=0$, $f\sex{\frac{1}{2}}=1$. 证明: 对于任意的实数 $\lm$, 一定存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $$\bex f'(\xi)-\lm f(\xi)+\lm f(\xi)=1. \eex$$
(170519) 函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调减, 证明: 对于任何 $\al\in (0,1)$, $$\bex \int_0^\al f(x)\rd x\geq \al \int_0^1 f(x)\rd x. \eex$$
(170520) 设 $a_n>0$, $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$, 级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 发散, 证明: $\dps{\vsm{n}\frac{a_n}{S_n}}$ 发散.
(170521) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一阶连续可导, $f(a)=0$. 证明: $$\bex \int_a^b f^2(x)\rd x\leq \frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b [f'(x)]^2\rd x -\frac{1}{2}\int_a^b [f'(x)]^2 (x-a)^2\rd x. \eex$$
(170522) 设 $f(x)$ 二阶连续可导, $f(0)=f(1)=0$, $\dps{\max_{0\leq x\leq 1}f(x)=2}$. 证明: $$\bex \min_{0\leq x\leq 1}f''(x)\leq -16. \eex$$
(170523) 试证: $$\int^\infty_0 \frac{\rd u}{1+u^4}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}.$$
(170524) 设 $A$ 是 $n$ 阶 Hermite 矩阵, 即 $A^*\equiv \bar A^T=A$. 试证: (1) $\al^*A\al\in\bbR$, $\forall\ \al\in\bbC^n$; (2) $A$ 的特征值均为实数; (3) $\sen{(A\pm \i E)\al}^2 =\sen{A\al}^2+\sen{\al}^2,\ \forall\ \al\in\bbC^n$; (4) $A\pm \i E$ 可逆; (5) $B=(A-\i E)(A+\i E)^{-1}$ 是酉矩阵, 即 $B^*B=BB^*$; (6) $E-B$ 可逆; (7) $A=\i (E+B)(E-B)^{-1}$.
(170525) 设 $B$ 是 $n$ 阶酉矩阵, 满足 $\r(E-B)=n$. 试证: 存在唯一的 $n$ 阶 Hermite 矩阵 $A$ 使得 $(A-\i E)(A+\i E)^{-1}=B$.
(170526) 试证: $$\bex \f{x^\f{1}{\ln 2}\ln \sex{1+\f{1}{x}}}{\ln (1+x)}>1,\quad x>1. \eex$$
(170527) 设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数, 满足 $$\bex \bar D^+f(x)=\varlimsup_{y\to x^+}\f{f(y)-f(x)}{y-x}\geq 0,\ a\leq x\leq b. \eex$$ 试证: $f(a)\leq f(b)$.
(170528) 在实数空间 $\bbR$ 中给定如下等价关系: $$\bex x\sim y\lra x,y\in (-\infty,1)\mbox{ 或者 } x,y\in [1,2)\mbox{ 或者 }x,y\in [2,+\infty). \eex$$ 设在这个等价关系下得到的商集 $Y=\sed{[-2],[1],[2]}$, 试写出 $Y$ 的商拓扑.
(170529) 域 $\bbF$ 上的矩阵 $A$ 称为幂等矩阵, 如果 $A^2=A$. 试证: 若 $A$ 幂等, 则 $A$ 可对角化, 且 $\r (A)=\tr (A)$.
(170530) [兰州大学2013高代] 设 $\bbF$ 是一个数域, $V=\bbF^{n\times n}$ 是 $\bbF$ 上所有 $n$ 级矩阵构成的 $\bbF$ 上的线性空间, $f$ 是 $V$ 上的线性变换, 证明: 若 $f$ 保持矩阵的乘法运算, 即对任意 $A,B\in V$, $$\bex f(AB)=f(A)\cdot f(B). \eex$$ 则存在 $n$ 级可逆矩阵 $Q$ 使得对任意 $X\in V$, 有 $f(X)=Q^{-1}XQ$.
(170531) $$\bex \n\times(\bba\times\bbb)=(\bbb\cdot\n)\bba -(\bba\cdot\n)\bbb+\bba(\n\cdot\bbb)-\bbb(\n\cdot\bba). \eex$$ see [李大潜, 秦铁虎, 物理学与偏微分方程 (第二版) 上册, 北京: 高等教育出版社, 2005 年] 第 163 页.
