(170228) 已知 $c^2-4ab\neq 0$, 计算行列式 $$\bex \sevm{ c&a&&&\\ b&c&a&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&b&c&a\\ &&&b&c }. \eex$$
(170227) 等待延后满足.
(170226) 帝王可以借权势改几本史书, 却改变不了天下人的评价.
(170225) 希望失去贪, 嗔和怒.
(170224) 人生注定要迎来死亡, 但是我们也要认真地生活!
(170223) 不要停止学习, 即便你很老很老, 也要对这个世界保持好奇; 学会感恩, 要相信所有的经历都是生命的馈赠.
(170222) 势利之交, 难以经远. 士之相知, 温不增华, 寒不改叶, 贯四时而不衰, 历夷险而益固. (诸葛亮)
(170221) [杨忠道定理] 拓扑空间中每个子集的导集都是闭集当且仅当每个单点集的导集是闭集.
(170220) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上二阶连续可微, 满足 $$\bex |f(x)|\leq A,\quad |f''(x)|\leq B,\quad \forall\ x\in [a,b], \eex$$ 并且 $$\bex \exists\ x_0\in [a,b],\st |f'(x_0)|\leq D. \eex$$ 试证: $$\bex |f'(x)|\leq 2\sqrt{AB}+D,\quad\forall\ x\in [a,b]. \eex$$
(170219) [导数介值定理] 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导, 实数 $k$ 满足 $f'(a)<k<f'(b)$. 试证: $$\bex \exists\ \xi\in(a,b),\st f'(\xi)=k. \eex$$
(170218) 设 $A_1,\cdots,A_n \in M_n(\bbF)$, $g(x) \in \bbF[x],$ 使得 $g(A_1),\cdots,g(A_n)$ 都是非异阵. 证明: 存在$h(x) \in \bbF[x]$, 使得 $g(A_i)^{-1} = h(A_i)$ 对所有的 $1 \le i \le m$ 都成立.
(170217) 设方阵 $$\bex A=\sexm{1&0&0&0\\0&a&a&0\\ a-2&0&1&0\\ 0&1&0&0} \eex$$ 可对角化, 求 $a$ 的值.
(170216) 设 $A$ 是数域 $\bbF$ 上的 $n$ 阶对合阵, 即 $A^2=E_n$. 试证; $n-\tr A$ 是偶数; 且 $\tr A=n\lra A=E_n$.
(170215) 求极限 $\dps{\vlm{n}\sin (\pi\sqrt{n^2+1})}$.
(170214) 设常数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足 $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$. 求证: $$\bex \vlmp{x}\sum_{k=1}^na_k\sin\sqrt{x+k}=0. \eex$$
(170213) 求极限 $\dps{\vlm{n}n\sin (2\pi n!\e)}$.
(170212) 设 $a_1\leq a_2\leq \cdots \leq a_n$, 且 $b_1\leq b_2\leq \cdots\leq b_n$. 证明 Chebych\"ev (切比雪夫, 1821~1894) 不等式: $$\bex \sum_{i=1}^n a_i \sum_{i=1}^n b_i\leq n\sum_{i=1}^n a_ib_i. \eex$$
(170211) 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n\ (n\geq 2)$ 都是正数, 且 $a_1+a_2+\cdots+a_n<1$. 证明: (1) $\dps{\f{1}{1-\sum_{k=1}^n a_k} >\prod_{k=1}^n (1+a_k)>1+\sum_{k=1}^n a_k}$; (2) $\dps{\f{1}{1+\sum_{k=1}^n a_k} >\prod_{k=1}^n (1-a_k)>1-\sum_{k=1}^n a_k}$.
(170210) 对任意的 $a>0$, 试证: $$\bex \vsm{k}\f{1}{k+a} \sqrt{\f{a}{k}}<\pi. \eex$$
(170209) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上有二阶连续导数, 且 $f(0)=f(1)=f'(0)=0$, $f'(1)=1$. 试证: $$\bex \int_0^1 |f''(x)|^2\rd x\geq 4, \eex$$ 并指出不等式中等号成立的条件.
(170208) 设 $f$ 在 $[0,2]$ 上连续可导, 且 $f(0)=f(2)=1$. 若 $|f'|\leq 1$, 试证: $$\bex 1\leq \int_0^2f(x)\rd x\leq 3. \eex$$
(170207) 设 $f$ 在 $[-1,1]$ 上可导, $\dps{M=\sup|f'|}$. 若 $$\bex \exists\ a\in (0,1),\st \int_{-a}^a f(x)\rd x=0, \eex$$ 试证: $$\bex \sev{\int_{-1}^1 f(x)\rd x}\leq M(1-a^2). \eex$$
(170206) 黑云去来意, 乌江败成齐. 我心素已闲, 安坐闹市席. (张祖锦《修》)
(170205) 不管工作生活给了我们多大的压力和烦恼, 都不要理会. 随它去吧. 能做好就做好, 能做的差不多就差不多, 不能做就不能做.
(170204) 设 $(X,\rho)$ 是度量空间, $A$ 是 $X$ 的非空子集, 考虑 $$\bex f(x)=\dist(x,A)\equiv \inf_{y\in A}\rho(x,y),\quad x\in X. \eex$$ 试证: $f$ 是 $X$ 上的一致连续函数.
(170203) 设 $f:[0,\infty)\to \bbR$ 一致连续, 满足 $$\bex \vlm{n}f(x+n)=0,\quad\forall\ x\geq 0. \eex$$ 试证: $\dps{\vlm{x}f(x)=0}$.
(170202) 设 $f,g:\bbR\to \bbR$ 均是连续的周期函数, 满足 $$\bex \vlm{x}[f(x)-g(x)]=0. \eex$$ 试证: $f\equiv g$.
(170201) 在度量空间 $(X,\rho)$ 中, 开球 $B(x,r)=\sed{y\in X;\rho(y,x)<r}$ 的闭包一定是 $\sed{y\in X;\rho(y,x)\leq r}$ 么? 如果是, 请给出证明; 如果不是, 请举出反例.
