参考解答见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html
5.1.1 设 $k,i,j$ 都是自然数, 且 $k=i+j$, 试求级数 $\dps{\vsm{n}\frac{1}{(kn-i)(kn+j)}}$ 的和.
5.1.2 设 $\sed{a_n}$ 为等差数列, $a_{n+1}-a_n=d>0\ (n=1,2,\cdots)$, $m$ 为一正整数. 计算 $$\bex S=\vsm{n}\frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}\cdots a_{n+m}}. \eex$$
5.1.3 证明级数 $$\bex 1 +\frac{1}{\sqrt{3}} -\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{5}} +\frac{1}{\sqrt{7}} -\frac{1}{\sqrt{4}} +\frac{1}{\sqrt{9}} +\frac{1}{\sqrt{11}} -\frac{1}{\sqrt{6}} +\cdots \eex$$ 发散到 $+\infty$. (吉林大学)
5.1.4 证明: 当 $p\geq1$ 时, $$\bex \vsm{n}\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}<p. \eex$$ (国外赛题)
5.1.5 证明: 若删去调和级数中所有分母含有数字 $9$ 的项, 则新级数收敛, 且和小于 $80$.
5.1.6 证明下列级数收敛: (1) $\dps{\vsm{n}\sez{\frac{1}{n}-\ln\sex{1+\frac{1}{n}}}}$; (2) $\dps{\vsm{n}\sez{\e-\sex{1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}}}}$. (东北师范大学)
5.1.7 设 $a_n=n^{n^{\alpha}}-1$, 讨论级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 的敛散性.
5.1.8 设正项级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{a_n}{\sqrt{r_{n-1}}+\sqrt{r_n}} \eex$$ 仍收敛, 其中 $$\bex r_n=\sum_{k=n+1}^\infty a_k. \eex$$ (云南大学)
5.1.9 证明: 若有 $\al>0$, 使当 $n\geq n_0$ 时, $\dps{\frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}\geq 1+\al\ (a_n>0)}$, 则级数 $\dps{\vsm{n}a_n\ (a_n>0)}$ 收敛; 若 $n\geq n_0$ 时, $\dps{\frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}\leq 1}$, 则这级数发散 (对数判别法).
5.1.10 序列 $\sed{x_n}$ 是正项单调递增并且有界, 证明级数 $\dps{\vsm{n}\sex{1-\frac{x_n}{x_{n+1}}}}$ 收敛. (国外赛题)
5.1.11 证明: 若 $a_n>0$, $a_n\searrow 0$, 则 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 与 $\dps{\vsm{m}p_m2^{-m}}$ ($p_m=\max\sed{n;a_n\geq 2^{-m}}$) 同时敛散. (Lobachevsky 判别法)
5.1.12 设 $0<x_<\pi$, $x_n=\sin x_{n-1}\ (n=2,3,\cdots)$, 证明: 级数 $\dps{\vsm{n} x_n^p}$ 当 $p>2$ 时收敛; 当 $p\leq 2$ 时发散. (吉林大学)
5.1.13 证明级数 $$\bex 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots \eex$$ 发散.
5.1.14 设 $a_n\neq 0\ (n=1,2,\cdots)$ 且 $\dps{\vlm{n}a_n=a\ (a\neq 0)}$. 求证: 下列两级数 $$\bex \vsm{n}|a_{n+1}-a_n|,\quad \vsm{n}\sev{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}} \eex$$ 同时收敛或同时发散. (上海交通大学)
5.1.15 设 $\varphi(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续周期函数, 周期为 $1$, 且 $\dps{\int_0^1 \varphi(x)\rd x=0}$, $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且有连续的一阶导数, $$\bex a_n=\int_0^1 f(x)\varphi(nx)\rd x,\quad n=1,2,\cdots. \eex$$ 证明: 级数 $\dps{\vsm{n}a_n^2}$ 收敛. (华东师范大学)
5.1.16 设 $f(x)$ 于 $[1,\infty)$ 上可导, $f'(x)$ 单调递增, 且 $f(x)\to A$ (当 $x\to\infty$), 证明: $\dps{\vsm{n}f'(n)}$ 收敛.
5.1.17 设 $a_n>0$ ($n=1,2,\cdots$) 且 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $\dps{r_n=\sum_{k=n}^\infty a_k}$. 试证: (1) $\dps{\vsm{n}\frac{a_n}{r_n}}$ 发散. (2) $\dps{\vsm{n}\frac{a_n}{\sqrt{r_n}}}$ 收敛.
5.1.18 设 $f(x)$ 是在 $(-\infty,+\infty)$ 内的可微函数, 且满足: (1) $f(x)>0$; (2) $|f'(x)|\leq m|f(x)|$, 其中 $0<m<1$. 任取 $a_0$, 定义 $a_n=\ln f(a_{n-1})$, $n=1,2,\cdots$. 证明: 级数 $\dps{\vsm{n}(a_n-a_{n-1})}$ 绝对收敛. (西安电子科技大学)
5.1.19 设 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $0<p_n\nearrow+\infty$, 试证: $$\bex \vlm{n} \frac{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n}{p_n}=0. \eex$$
5.1.20 设 $a_n>0$, $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $na_n$ 单调, 证明: $$\bex \vlm{n}na_n\ln n=0. \eex$$
5.1.21 设数 $a>0$, $\sed{p_n}$ 是一个数列, 并且 $p_n>0$, $p_{n+1}\geq p_n$. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a} \eex$$ 收敛. (国外赛题)
5.1.22 举出一个收敛级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 的例子, 使级数 $\dps{\vsm{n}a_n\ln n}$ 发散.
5.1.23 序列 $\sed{b_n}\ (n=1,2,\cdots)$ 具有下列性质: $$\bex b_n>0,\quad \vlm{n}b_n=+\infty. \eex$$ 做出序列 $\sed{a_n}$, 使 $$\bex a_n\geq 0,\quad \vsm{n}a_n<\infty,\quad \vsm{n}a_nb_n=+\infty. \eex$$ (国外赛题)
5.1.24 设 $\sed{n_k}$ 是自然数列 $\sed{n}$ 的子序列, 试证: (1) 当 $n_k-n_{k-1}\geq 1$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛; (2) 当 $n_k-n_{k-1}\leq g$ (常数) 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 发散; (3) 当 $n_k-n_{k-1}\geq k^r\ (r>0)$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛.
5.1.25 对函数 $$\bex \zeta(s)=\vsm{n}\frac{1}{n^s}\quad\sex{s>1}, \eex$$ 证明: $\dps{\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\sez{x}}{x^{s+1}}\rd x}$, 其中 $\sez{x}$ 为 $x$ 的整数部分. (西北师范大学)
5.1.26 (1) 求证: 当 $s>0$ 时, $\dps{\int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x}$ 收敛; (2) 求证: 当 $s>1$ 时, $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}\vsm{n}\frac{1}{n^s}. \eex$$
5.1.27 求 $\dps{\lim_{t\to +\infty}\sex{\frac{1}{t} +\frac{2t}{t^2+1^2}+\frac{2t^2}{t^2+2^2}+\cdots+\frac{2t}{t^2+n^2}+\cdots}}$.
5.1.28 设 $k>0$, $a>0$. 证明: (1) $\dps{\int_a^\infty \frac{\sin 2n\pi x\rd x}{x^k}}$ 收敛; (2) $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n}\int_a^\infty \frac{\sin 2n\pi x\rd x}{x^k}}$ 收敛.
5.1.29 证明: $\dps{\vlm{n}\sed{\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln k}-\ln\ln n}}$ 存在 (有限).
5.2.1 设 (1) (i) $f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $n=1,2,\cdots$; (ii) $\sed{f_n(x)}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$; (iii) 在 $[a,b]$ 上 $f_n(x)\leq f_{n+1}(x)$, $n=1,2,\cdots$. 试证: $\e^{f_n(x)}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $\e^{f(x)}$. (2) 若将 (1) 中条件 (iii) 去掉, 则 $\e^{f_n(x)}$ 是否还一致收敛, 试证明你的结论. (河北师范大学)
5.2.2 设 $\dps{f_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\cos \sex{x+\frac{k}{n}},\ n=1,2,\cdots}$, 证明: 在 $(-\infty,+\infty)$ 上 $\sed{f_n(x)}$ 一致收敛. (兰州大学)
5.2.3 设 $\dps{f_n(x)=\frac{\int_0^x (1-t^2)^n\rd t}{\int_0^1 (1-t^2)^n\rd t}}$, $\dps{g_n(x)=\int_0^x f_n(t)\rd t}$. 试证: (1) $n\to\infty$ 时, $$\bex f_n(x)\rightrightarrows \sedd{\ba{ll} -1,&-1\leq x\leq -\ve,\\ 1,&\ve\leq x\leq 1 \ea}\quad\sex{0<\ve<1}. \eex$$ (2) $g_n(x)\rightrightarrows |x|$ 关于 $x\in[-1,1]$, 当 $n\to\infty$ 时.
5.2.4 试证级数 $\dps{\vsm{n}(-1)^n (1-x)x^n}$ 在区间 $[0,1]$ 上绝对收敛, 一致收敛, 但不是绝对一致收敛.
5.2.5 判断级数 $\dps{\vsm{n}\frac{(-1)^n}{x+n}}$ 在 $0<x<+\infty$ 内是否一致收敛.
5.2.6 讨论级数 $\dps{\vsm{n}x \e^{-(n-1)x}}$ 关于 $0\leq x\leq 1$ 是否一致收敛? (复旦大学)
5.2.7 讨论级数 $\dps{\vsm{n}\frac{n^2}{\sex{x+\frac{1}{n}}^n}}$ 的收敛性和一致收敛性 ($x\geq 0$). (华东师范大学)
5.2.8 讨论级数 $\dps{\vsm{n}\frac{x^{2n}}{1+x^{2n+1}}\ (x\geq 0)}$ 的一致收敛性. (南京大学)
5.2.9 设函数项级数 $\dps{\vsm{n}u_n(x)}$ 在 $[a,b]$ 上收敛, 试证: 若对任何 $x\in [a,b]$, $\exists\ \delta_x>0$, $G_x>0$, 使对任意的 $y\in (x-\delta,x+\delta)\cap [a,b]$ 与任意的自然数 $n$ 都有 $\dps{\sev{\sum_{k=1}^n u_k'(y)}\leq G_x}$, 则 $\dps{\vsm{n}u_k(x)}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛. (北京师范大学)
5.2.10 设 $b_1\geq b_2\geq \cdots \geq b_n\geq 0$. 试证: 级数 $\dps{\vsm{n}b_n\sin nx}$ 在任意区间上一致收敛 $\lra\ n\to\infty$ 时 $nb_n\to 0$.
5.2.11 试证级数 $\dps{\vsm{n} \frac{x+n(-1)^n}{x^2+n^2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内闭一致收敛 (即在任何内闭区间 $[a,b]\subset (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛).
5.2.12 指出级数 $\dps{\vsm{n}\frac{\e^{-nx}}{n}}$ 的收敛区间和一致收敛区间, 并证明之. (兰州大学)
5.2.13 指出 $\dps{\vsm{n}\frac{x^2}{n}\ln \sex{\frac{x^2}{n}+1}}$ 的收敛于一致收敛的范围. (兰州大学)
5.2.14 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $$\bex f_1(x)=f(x),\quad f_{n+1}(x)=\int_x^1 f_n(t)\rd t,\ \forall\ x\in [0,1],\ n=1,2,\cdots. \eex$$ 求证: $\dps{\vsm{n} f_n(x)}$ 在 $[0,1]$ 上一致连续. (北京航空航天大学)
5.2.15 (1) 证明函数列 $\dps{\sed{\sex{1+\frac{x}{n}}^n;\ n=1,2,\cdots}}$ 在 $x\in [0,1]$ 上对 $n$ 单调增大; (2) 证明 $\dps{\vsm{n}\frac{(-1)^n (n+x)^n}{n^{n+1}}}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛.
5.2.16 试证: 若级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, 则 Dirichlet 级数 $\dps{\sum{n}\frac{a_n}{n^x}}$ 在 $[0,\infty)$ 上一致收敛. (陕西师范大学)
5.2.17 证明级数 $\dps{\vsm{n}\frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{\sqrt{n(n+x)}}}$ 在 $0\leq x<+\infty$ 上一致收敛.
5.2.18 试证: $\dps{\forall\ \al:\ 0<\al<\frac{\pi}{2}}$, 函数项级数 $\dps{\vsm{n} x^n\sex{1-\frac{2x}{\pi}}^n \tan^{2n}x}$ 在 $[0,\al]$ 上一致收敛. 若记其和函数 $S(x)$, 试证 $\dps{\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} S(x)=+\infty}$. (北京师范大学)
5.2.19 证明: $\dps{\vsm{n}(-1)^n \frac{x^2+n}{n^2}}$ 在任何有穷区间上一致收敛, 而在任何一点都不绝对收敛. (华中科技大学)
5.2.20 讨论级数 $\dps{\vsm{n}x^n(\ln x)^2}$ 在 $[0,1]$ 区间上的一致收敛性. (北京大学)
5.2.21 设 $g(x)$ 和函数列 $\sed{f_n(x)}\ (n=1,2,\cdots)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 且对任一 $x\in [a,b]$, $\dps{\vlm{n}f_n(x)=g(x)}$, 问能否断定 $f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $g(x)$? 论证你的结论. (兰州大学)
5.2.22 证明: $\dps{\vsm{n}[nxe^{-nx}-(n+1)xe^{-(n+1)x}]}$ 在 $[0,+\infty)$ 内收敛, 但对任何 $A>0$, 级数在 $[0,A]$ 上不一致收敛, 再证: 上述级数在 $[0,+\infty)$ 内定义了一个连续函数, 问级数在 $[0,A]\ (A>0)$ 上可否逐项积分? (南京大学)
5.2.23 在 $(0,1)$ 内任取一数列 $\sed{a_n}$ (各项互不相同), 作级数 $\dps{\vsm{n}\frac{|x-a_k|}{2^k}}$. 证明: (1) 该级数在 $(0,1)$ 内定义一个连续函数 $f(x)$; (2) $f(x)$ 在 $x=a_k\ (k=1,2,\cdots)$ 处不可微, 而在 $(0,1)$ 内其他电处均可微. (南京大学)
5.2.24 试作 $[0,1]$ 上的连续函数序列 $\sed{f_n(x)}$, 使之逐点收敛于连续函数 $f(x)$, 但 $$\bex \vlm{n} \int_0^1 f_n(x)\rd x \neq \int_0^1 f(x)\rd x. \eex$$ (安徽大学)
5.2.25 $n$ 取何值时, (1) $f_n(x)=n^\al xe^{-nx}\ (n=1,2,\cdots)$ 在 $[0,1]$ 上收敛; (2) $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛; (3) $\dps{\vlm{n} \int_0^1 f_n(x)\rd x}$ 可在积分号下求导?
5.2.26 证明级数 $\dps{\vsm{n} \frac{\ln (1+nx)}{nx^n}}$ 在 $(1,+\infty)$ 上连续. (西北大学)
5.2.27 设 $$\bee\label{5.2.27:1} y_{n+1}(x)=\psi(x)+\varphi(y_n(x)),\quad (x\in\bbR), \eee$$ 其中 $\psi(x)$ 是连续有界函数, $y_0(x)=y_0$, $\psi(x_0)=y_0-\varphi(y_0)$, $\varphi$ 满足 Lipschitz 条件: $$\bee\label{5.2.27:2} |\varphi(y')-\varphi(y'')|\leq \al|y'-y''|,\quad (0<\al<1). \eee$$ 试证: (1) $\sed{y_n(x)}$ 在 $\bbR$ 上一致收敛; (2) 记 $\dps{y(x)=\vlm{n}y_n(x)}$, 则 $y(x)$ 连续, 且 $y(x_0)=y_0$; (3) 若 $\psi(x)$ 一致连续, 则 $y(x)$ 也一致收敛. (武汉大学)
5.2.28 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有任意阶导数 $f^{(n)}(x)$, 且任意区间 $[a,b]$ 上 $f^{(n)}(x) \rightrightarrows \phi(x)$ (当 $n\to+\infty$ 时), 求证: $\phi(x)=ce^x$ (其中 $c$ 为常数). (北京大学)
5.2.29 设 $\dps{f(x)=\vsm{n}(-1)^{n+1} \frac{\e^{-nx}}{n}}$. 求 (1) $f$ 的连续范围; (2) $f$ 的可导范围. (北京大学)
5.2.30 设 $\dps{f(x)=\sum_{n=0}^\infty 2^{-n}\cos 2^nx}$, 求 $\dps{\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x}}$. (北京师范大学)
5.3.1 对于幂级数 $\dps{\vsm{n}\f{2^n\ln n}{n}x^n}$, (1) 求出收敛半径; (2) 讨论在收敛域端点上的收敛性; (3) 指出在什么样区间上级数一致收敛. (内蒙古大学)
5.3.2 若级数 $\dps{\vsmk{n}{0}a_nx^n}$ 有收敛半径 $R_1$, 而级数 $\dps{\vsmk{n}{0}b_nx^n}$ 有收敛半径 $R_2$, 则级数 (1) $\dps{\vsmk{n}{0}(a_n+b_n)x^n}$; (2) $\dps{\vsmk{n}{0}a_nb_nx^n}$ 的收敛半径是怎样的.
5.3.3 设 $a_n\geq 0$, $\dps{\vsmk{n}{0}a_nx^n}$ 收敛半径为 $1$, 和函数为 $f(x)$, 若 $\dps{\vsmk{n}{0}a_n}$ 发散, 求证: $\dps{\vlmc{x}{1^-}f(x)=+\infty}$.
5.3.4 证明: $\dps{y(x)=\vsmk{n}{0}\f{x^{4n}}{(4n)!}}$ 满足 $y^{(4)}=y$. (中国科学院)
5.3.5 求极限 $\dps{\vlm{n}\sum_{k=1}^n \f{k+2}{k!+(k+1)!+(k+2)!}}$. (四川师范大学)
5.3.6 设序列 $\sed{a_n}_{n=1}^\infty, \sed{b_n}_{n=1}^\infty$ 满足: $a_n>0$, 级数 $\dps{\vsmk{n}{0}a_nx^n}$ 当 $|x|<1$ 时收敛, 当 $x=1$ 时发散, 又 $\dps{\vlm{n}\f{b_n}{a_n}=A,\ (0\leq A<+\infty)}$, 证明: $$\bex \vlmc{x}{1^-}\f{ \dps{\vsmk{n}{0}b_nx^n}}{\dps{\vsmk{n}{0}a_nx^n}}=A.\qwz{南京大学} \eex$$
5.3.7 设 $\dps{\f{v_n}{v_{n-1}}=a\sqrt{\f{n-1}{n+1}}\ n=2,3,\cdots,\ |a|<1}$, $$\bex x_{n+1}=x_n+cv_n^2,\ n=1,2,\cdots, c>0. \eex$$ 求 $\dps{\vlm{n}x_n}$.
5.3.8 设 $a_n\geq 0\ (n=1,2,\cdots)$, $\dps{\vsm{n}a_nx^n}$ 当 $-1<x<1$ 时收敛并且有上界, 证明: (1) $\dps{\vlmc{x}{1^-} \vsm{n}a_nx^n}$ 存在; (2) $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛; (3) $\dps{\vlmc{x}{1^-} \vsm{n}a_nx^n=\vsm{n}a_n}$.
5.3.9 设 $\dps{f(x)=\vsmk{n}{0}a_nx^n}$ 的收敛半径为 $R=+\infty$. 令 $\dps{f_n(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k}$. 求证: 当 $n\to+\infty$ 时, $f(f_n(x))\rightrightarrows f(f(x))\ (a\leq x\leq b)$.
5.3.10 求级数 $\dps{\vsm{n}n2^\f{\pi}{2}x^{3n-1}}$ 的收敛区间与和函数. (华中师范大学)
5.3.11 证明: $$\bex \vsm{n}\f{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)3^n} =\sqrt{3}\int_0^\f{1}{\sqrt{3}}x\arctan x\rd x=\f{2\pi\sqrt{3}-9}{18}.\qwz{西南师范大学} \eex$$
5.3.12 验证积分 $\dps{\int_0^1 \ln \f{1+x}{1-x}\cdot\f{\rd x}{x}}$ 存在且等于 $\dps{2\vsm{n}\f{1}{(2n-1)^2}}$. (湘潭大学)
5.3.13 试证: $$\bex \int_0^x\f{\arctan t}{t}\ln \f{x}{t}\rd t =\vsmk{n}{0}\f{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)^2}\qx{|x|\leq 1}\quad\qwz{四川大学} \eex$$
5.3.14 证明: $\dps{A=\int_0^1 \f{\ln x}{1-x^2}\rd x}$, $\dps{B=\int_0^1 \f{\ln x}{1-x}\rd x}$, $\dps{C=\int_0^1 \f{\ln x}{1+x}\rd x}$ 收敛, 并求其值.
5.3.15 设幂级数 $\dps{\vsm{n}a_nx^n}$ 的收敛半径大于 $0$, 证明: (1) $\dps{\vlmc{x}{0}\vsm{n}a_nx^n=0}$; (2) 如果 $a_1\neq 0$, 并且在原点的一个邻域里, $\dps{\sev{\vsm{n}a_nx^n}\geq |a_1||x|-2x^2}$ 逐点成立, 那么 $|a_2|\leq 2$. (厦门大学)
5.4.1 设 $\dps{\f{a_0}{2}+\vsm{k}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)}$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上一致收敛, 试证它必是 $[-\pi,\pi]$ 上其和函数的 Fourier 级数. (西北师范大学)
5.4.2 设 $\dps{f(x)=\seddm{ 0,&-\pi\leq x<0,\\ 1,&0\leq x\leq \pi, }}$ (1) 求 $f(x)$ 的 Fourier 级数; (2) 这级数收敛吗? 收敛于 $f(x)$ 吗? 为什么? (3) 这级数在区间 $(-\pi,\pi)$ 里一致收敛吗? 为什么? (厦门大学)
5.4.3 已知 $f$ 是以 $2\pi$ 为周期的可积函数, 它的 Fourier 系数为 $a_n,b_n\ (n\geq 0)$, 求函数 $\dps{f_h(x)=\f{1}{h}\int_{x-h}^{x+h}f(\xi)\rd \xi\ (h\neq 0)}$ 的 Fourier 系数 $A_n,B_n\ (n\geq 0)$. (西北师范大学, 合肥工业大学)
5.4.4 试将 $f(x)=-\pi-x$ 在 $(-\pi,0)$ 内展开成正弦级数, 并判断此级数在 $(-\pi,0)$ 是否一致收敛. (河北师范大学)
5.4.5 试将周期函数 $f(x)=\arcsin (\sin x)$ 展成 Fourier 级数. (哈尔滨工业大学)
5.4.6 已知 $\dps{f(x)=\f{\pi}{2}\f{\e^x+\e^{-x}}{\e^\pi-\e^{-\pi}}}$, (1) 在 $[-\pi,\pi]$ 上将 $f(x)$ 展开成 Fourier 级数; (2) 求级数 $\dps{\vsm{n}\f{(-1)^n}{1+(2n)^2}}$ 之和. (天津大学)
5.4.7 设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的周期函数, 且 $f(x)=x,\ -\pi<x<\pi$, 求 $f(x)$ 与 $|f(x)|$ 的 Fourier 级数, 它们的 Fourier 级数是否一致收敛 (给出证明)? (北京大学)
5.4.8 在 $[0,\pi]$ 上展开 $f(x)=x+\cos x$ 为余弦级数. (华中理工大学)
5.4.9 试利用练习 5.4.2 的结果, 求出 $g(x)=\sgn x$, $h(x)=|x|$ 在 $(-\pi,\pi)$ 上的 Fourier 展开式.
5.4.10 设 $\dps{f(x)=x,\ x\in \sez{0,\f{\pi}{2}}}$, 试将 $f(x)$ 展成 $\dps{\vsm{n}b_{2n-1} \sin (2n-1)x}$ 型的三角级数.
5.4.11 设 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期, $[-\pi,\pi]$ 上可积, $a_n,b_n$ 是它的 Fourier 系数. 试证: (1) $\dps{f(-x)=f(x),\ f(\pi-x)=-f(x)\ra \seddm{ b_n=0,&(n=1,2,\cdots),\\ a_{2n}=0,&(n=0,1,2,\cdots); }}$ (2) $\dps{f(-x)=f(x),\ f(\pi-x)=f(x)\ra \seddm{ b_n=0,&(n=1,2,\cdots),\\ a_{2n-1}=0,&(n=1,2,\cdots); }}$ (3) $\dps{f(-x)=-f(x),\ f(\pi-x)=-f(x)\ra \seddm{ a_n=0,&(n=0,1,2,\cdots),\\ b_{2n-1}=0,&(n=1,2,\cdots); }}$ (4) $\dps{f(-x)=-f(x),\ f(\pi-x)=f(x)\ra \seddm{ a_n=0,&(n=0,1,2,\cdots),\\ b_{2n}=0,&(n=1,2,\cdots). }}$
5.4.12 求下列函数在指定区间上的 Fourier 级数: (1) $\dps{f(x)=\seddm{ x,&x\in [0,\pi]\\ 2,&x\in [-\pi,0) }}$, 于 $[-\pi,\pi]$ 上; (中山大学)
5.4.13 求函数 $\dps{f(x)=\ln\sex{2\cos \f{x}{2}}}$ 在 $(-\pi,\pi)$ 里的 Fourier 级数展开式.
5.4.14 证明级数 $\dps{\vsm{n}\f{\sin nx}{\ln (n+1)}}$ 不可能是某个可积函数 $f(x)$ 的 Fourier 级数.
5.4.15 写出 $\dps{f(x)=\seddm{ 1,&|x|\leq \al\\ 0,&\al<|x|\leq \pi }}$ 的 Fourier 级数, 并根据 Parseval 等式求和 (1) $\dps{\vsm{n}\f{\sin^2n\al}{n^2}}$; (2) $\dps{\vsm{n}\f{\cos^2n\al}{n^2}}$ (已知 $\dps{\vsm{n}\f{1}{n^2}=\f{\pi^2}{6}}$).
5.4.16 设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数, 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积, 则已知它的 Fourier 级数的部分和 $S_n(x)$ 可表示为 Dirichlet 积分 $$\bex S_n(x)=\f{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x+t)\f{\sin\sex{n+\f{1}{2}}t}{2\sin \f{t}{2}}\rd t, \eex$$ 其中 $$\bex \f{\sin\sex{n+\f{1}{2}}t}{2\sin \f{t}{2}} =\f{1}{2}+\cos t+\cos 2t+\cdots+\cos nt\equiv D_n(t) \eex$$ 称为 Dirichlet 核. $S_n(x)$ 的平均值 $$\bex \si_n(x)=\f{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1}S_k(x) \eex$$ 称为 Ces\'aro 和. 试证: (1) $\dps{D_0(x)+\cdots+D_{n-1}(x)=\f{1}{2}\sex{\f{\sin \f{n}{2}x}{\sin \f{x}{2}}}^2}$; (2) $\dps{\f{1}{2n\pi}\int_{-\pi}^\pi \sex{\f{\sin \f{n}{2}x}{\sin \f{x}{2}}}^2 }$ $\rd x=1$; (3) $\dps{\forall\ \del>0,\ \f{1}{n\pi}\int_{\del}^\pi \sex{\f{\sin \f{n}{2}x}{\sin \f{x}{2}}}^2\rd x\to 0\ (n\to\infty)}$; (4) 若 $f$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数, 则 $n\to\infty$ 时, $\sigma_n(x) \rightrightarrows f(x)$ 于 $[-\pi,\pi]$ 上.
5.4.17 设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数, $S_n(x)$ 是 $f(x)$ 的 Fourier 级数的部分和, $$\bex g_n(x)\equiv \int_{-\pi}^\pi \f{\cos (x-u)}{\sqrt{1+\sin^2(x+u)}}S_n(u)\rd u. \eex$$ 试证: (1) 存在与 $x,n$ 无关的数 $K$, 使得 $|g_n(x)|\leq K\ (x\in [-\pi,\pi])$; (2) 当 $n\to\infty$ 时, $\dps{g_n(x) \rightrightarrows \int_{-\pi}^\pi \f{\cos (x-u)}{\sqrt{1+\sin^2(x+u)}}f(u)\rd u}$.
5.4.18 设 $T_n(x)$ 为 $n$ 阶三角多形式如下: $$\bee\label{5.4.18:eq} T_n(x)\equiv \f{\al_0}{2}+\sum_{k=1}^n (\al_k\cos kx+\be_k\sin kx). \eee$$ 试证: (1) $\dps{\max_{-\pi\leq x\leq \pi}|T_n'(x)| \leq n^2\max_{-\pi\leq x\leq \pi}|T_n(x)|}$; (2) 若 $\al_{n-1}=1$, 则 $\dps{\max_{-\pi\leq x\leq \pi}|T_n(x)|\geq \f{\pi}{4}}$.
