1. 试除法求约数
给定 n 个正整数 ai，对于每个整数 ai，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。
输出格式
输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个整数 ai 的所有约数。
数据范围
1≤n≤100
1≤ai≤2×10^9
输入样例：
2 6 8
输出样例：
1 2 3 6 1 2 4 8
#include <iostream> #include <algorithm> #include <vector> using namespace std; const int N = 1000010; vector<int> get_divisiors(int n) { // 求n的所有约数 vector<int> res; for (int i = 1; i <= n / i; i++) { // 这里n/i其实就是sqrt(n)，不用i*i<=n因为怕溢出 if (n % i == 0) { res.push_back(i); if (i != n / i) // i和n/i都为约数，所以当i != n / i时加入n/i // （i==n/i时，因为之前已经加入i了，所以不用再加n/i了） res.push_back(n / i); } } sort(res.begin(), res.end()); return res; } int main() { int n; cin >> n; get_divisiors(n); while (n--) { int x; cin >> x; auto res = get_divisiors(x); for (auto t : res) { cout << t << " "; } cout << endl; } return 0; }
2.约数个数
给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 10^9+7 取模。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。
输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 109+7109+7 取模。
数据范围
1≤n≤100
1≤ai≤2×10^9
输入样例：
3 2 6 8
输出样例：
12
思路
一个数的约数是由这个数的几个质因子相乘得到的。
例如：12 的质因子有 2，3。12的约数有：1，2，3，4，6，12。
约数1 是由 0 个 2， 0 个3相乘得到的。
约数2 是由 1 个 2， 0 个3相乘得到的。
约数3 是由 0 个 2， 1 个3相乘得到的。
约数4 是由 2 个 2， 0 个3相乘得到的。
约数6 是由 1 个 2， 1 个3相乘得到的。
约数12 是由 2 个 2， 1 个3相乘得到的。
12 可以分解为：2^2*3^1。所以2可以取 0 ~ 2个，3种取法。3可以取 0~1 个，2种取法。12的约数一共：2 * 3 = 6个。
也就是：把一个数N 写成：N = (p1^x1^)(p^x2)(p3^x3)…(pk^xk)，其中pi为质数。则N的约数个数为：(x1+1)(x2+1)(x3+1)…(xk+1)
（作者：Hasity
链接：https://www.acwing.com/solution/content/148964/
来源：AcWing）
#include <iostream> #include <algorithm> #include <unordered_map> using namespace std; const int p = 1e9 + 7; int main() { int n; cin >> n; unordered_map<int, int> primes; // 存底数和指数 while (n--) { int x; cin >> x; for (int i = 2; i <= x / i; i++) { while (x % i == 0) { x /= i; primes[i]++; // 质因数的指数+1 } } if (x > 1) // 如果有剩余，也是一个质因子 primes[x]++; } long long int res = 1; for (auto prime : primes) { res = res * (prime.second + 1) % p; } cout << res << endl; return 0; }
3. 约数之和
给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 10^9+7 取模。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。
输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 109+7109+7 取模。
数据范围
1≤n≤100
1≤ai≤2×10^9
输入样例：
3 2 6 8
输出样例：
252
#include <iostream> #include <algorithm> #include <unordered_map> using namespace std; const int p = 1e9 + 7; int main() { int n; cin >> n; unordered_map<int, int> primes; // 存底数和指数 while (n--) { int x; cin >> x; for (int i = 2; i <= x / i; i++) { while (x % i == 0) { x /= i; primes[i]++; // 质因数的指数+1 } } if (x > 1) // 如果有剩余，也是一个质因子 primes[x]++; } long long int res = 1; for (auto prime : primes) { int a = prime.first, b = prime.second; // 记录底数和指数 // 秦九韶算法，求p^b+p^(b-1)+...+p+1; long long int t = 1; while (b--) // 指数从b开始遍历到0 { t = (t * a + 1) % p; // 秦九韶算法公式 } res = res * t % p; } cout << res << endl; return 0; }
