1. 堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { ，，，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储

在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，

2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

堆总是一棵完全二叉树。

2. 堆的实现

1.堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

2. 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

因此：建堆的时间复杂度为O(N)。

3.堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

4.堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

5.堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

3.代码深度解析

1.首先弄一个交换数据

交换两个指针所指向的变量的值

通过解引用操作符*，将p2指针所指向的变量的值赋给了p1指针所指向的变量，将之前存储在temp中的值赋给了p2指针所指向的变量，完成了交换。

void Swap(HPDataType *p1, HPDataType *p2)
{
    HPDataType temp = *p1;
    *p1 =*p2;
    *p2 = temp;
}

2.向上调整堆

将数组a中指定索引child的元素向上调整，使其在最小堆中满足最小堆的性质

通过计算child的父节点索引，即(parent = (child - 1) / 2)，确定了父节点的位置。在循环中，child的元素比父节点的元素小调用Swap函数，将child和parent指向的元素进行交换。然后，代码更新child和parent的值，将child变为parent，parent变为(child - 1) / 2，继续循环。如果不是，即child的元素不小于父节点的元素，代码通过break语句跳出循环，这时已经完成了向上调整的操作。

void AdjudtUp(HPDataType* a, int child)
{
    int parent = (child - 1) / 2;
    while (child > 0)
    {
        if (a[child] < a[parent])
        {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
}

3.向下调整堆

调整小顶堆的算法，接受一个int类型的指针a，表示一个数组，size表示数组的大小， parent表示要调整的节点位置

void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{
    int child = parent * 2 + 1;
    while (child < size)
    {
        if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
        {
            ++child;
        }
        if (a[child] < a[parent])
        {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
}

4.堆的插入

堆已满，则需要扩容。然后，将原来的内存空间指针hp->_a指向新分配的内存空间，更新堆的容量为新的容量。将要插入的元素x赋值给堆的最后一个位置hp->_a[hp->_size]，然后增加堆的大小hp->_size++。最后，调用AdjustUp函数将新插入的元素向上调整，以维护堆的性质

void HeapPush(Heap* hp, HPDataType  x)
{
    assert(hp);
    if (hp->_size == hp->_capacity)
    {
        int newCapacity = hp->_capacity == 0 ? 4: hp->_capacity * 2;
        HPDataType*temp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
        if (temp == NULL)
        {
            perror("realloc fail");
            exit(-1);
        }
        hp->_a =temp;
        hp->_capacity = newCapacity;
    } 
    hp->_a[hp->_size] = x;
    hp->_size++;
    AdjudtUp(hp->_a,hp->_size-1);
}

5.堆的创建

初始化后再通过for循环遍历数组a，并调用HeapPush函数将数组中的元素依次插入到堆中

void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType *a, int n )
{
    assert(hp);
    hp->_size = 0; 
    hp->_capacity =NULL; 
    // 将数组a中的元素依次插入堆中
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        HeapPush(hp, a[i]);
    }
}

6.堆的销毁

使用free函数释放堆的数组hp->_a的内存空间

void HeapDestory(Heap* hp)
{
    assert(hp);
    free(hp->_a);
    hp->_a = NULL;
    hp->_size =hp->_capacity=0;
}

7.堆的删除

调用AdjustDown()函数，从堆顶开始向下调整堆，以保持堆的性质

void HeapPop(Heap* hp)
{
    assert(hp);
    assert(hp->_size > 0);
    Swap(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);
    hp->_size--;
    AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);
}

8.取堆顶的数据

函数返回堆中数组_a的第一个元素即堆顶的数据

取堆顶的数据

HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
    assert(hp);
    assert(hp->_size > 0);
    return hp->_a[0];
}

9.堆的数据个数

返回堆的_size成员，即堆的大小

int HeapSize(Heap* hp)
{
    assert(hp);
    return hp->_size;
}

10. 堆的判空

通过断言assert(hp);来确保传入的参数hp不为NULL。

然后，通过判断堆的大小hp->_size是否为0来判断堆是否为空。

如果堆的大小为0，则返回1（即堆为空），否则返回0（即堆不为空）

int HeapEmpty(Heap* hp)
{
    assert(hp);
    return hp->_size == 0;
}

4.总的代码

1.heap.h

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
  HPDataType* _a;
  int _size;
  int _capacity;
}Heap;
//数据交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);
//向上堆的调整
void AdjudtUp(Heap* _a, int child);
// 向下调整堆
void AdjustDown(int* a, int size, int parent);
// 堆的构建
//void HeapCreate(Heap* hp);//, HPDataType* a, int n
 void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

2.Heap.c

#include"Heap.h"
//交换数据
void Swap(HPDataType *p1, HPDataType *p2)
{
    HPDataType temp = *p1;
    *p1 =*p2;
    *p2 = temp;
}
//向上调整堆
void AdjudtUp(HPDataType* a, int child)
{
    int parent = (child - 1) / 2;
    while (child > 0)
    {
        if (a[child] < a[parent])
        {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
}
// 向下调整堆
void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{
    int child = parent * 2 + 1;
    while (child < size)
    {
        if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
        {
            ++child;
        }
        if (a[child] < a[parent])
        {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType  x)
{
    assert(hp);
    if (hp->_size == hp->_capacity)
    {
        int newCapacity = hp->_capacity == 0 ? 4: hp->_capacity * 2;
        HPDataType*temp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
        if (temp == NULL)
        {
            perror("realloc fail");
            exit(-1);
        }
        hp->_a =temp;
        hp->_capacity = newCapacity;
    } 
    hp->_a[hp->_size] = x;
    hp->_size++;
    AdjudtUp(hp->_a,hp->_size-1);
}
// 堆的构建
//void HeapCreate(Heap* hp)//HPDataType* a, int n
//{
//    assert(hp);
//    hp->_size = 0; // 初始化堆的大小为0
//    hp->_capacity = 0; // 设置堆的容量为n
//    hp->_a = NULL;
//
//     将数组a中的元素依次插入堆中
//    //for (int i = 0; i < n; i++) {
//    //    HeapPush(&hp, a[i]);
//    //}
//}
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType *a, int n )
{
    assert(hp);
    hp->_size = 0; // 初始化堆的大小为0
    hp->_capacity =NULL; // 
    hp->_a = NULL;
    // 将数组a中的元素依次插入堆中
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        HeapPush(hp, a[i]);
    }
}
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{
    assert(hp);
    free(hp->_a);
    hp->_a = NULL;
    hp->_size =hp->_capacity=0;
}
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp)
{
    assert(hp);
    assert(hp->_size > 0);
    Swap(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);
    hp->_size--;
    AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);
}
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
    assert(hp);
    assert(hp->_size > 0);
    return hp->_a[0];
}
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{
    assert(hp);
    return hp->_size;
}
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp)
{
    assert(hp);
    return hp->_size == 0;
}

2.Test.c

#include"Heap.h"
void test()                          
{
  Heap sl;
  int a[10] = { 10,8,2,4,5,3,6,7,9,1 };
  /*HeapCreate(&sl);
  for (int i = 0;i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
  {
  HeapPush(&sl, a[i]);
  }*/
  HeapCreate(&sl,a, sizeof(a) / sizeof(int));
  while (!HeapEmpty(&sl)) {
  printf("%d  ", HeapTop(&sl));
  HeapPop(&sl);
  }
  printf("\n");
}
int main()
{
  test();
  return 0;
}

[数据结构]——二叉树——堆的实现