斐波那契
要计算斐波那契数列的前 ( n ) 项和，我们可以使用矩阵快速幂来解决。首先，让我们回顾一下斐波那契数列的递推关系：
F(n)=F(n−1)+F(n−2)
我们可以将这个递推关系表示为以下形式的矩阵乘法：
因此，我们可以将斐波那契数列的前 ( n ) 项和表示为以下形式的矩阵乘法：
这里，矩阵的乘法使用了矩阵快速幂算法。最后，( F(n+1) ) 就是斐波那契数列的前 ( n ) 项和。
下面是用 C++ 实现的计算斐波那契数列前 ( n ) 项和的代码：
cpp
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#include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int MOD = 1000000007; // 取模的值 // 定义矩阵结构体 struct Matrix { long long a, b, c, d; }; // 矩阵乘法 Matrix multiply(Matrix m1, Matrix m2) { Matrix res; res.a = (m1.a * m2.a + m1.b * m2.c) % MOD; res.b = (m1.a * m2.b + m1.b * m2.d) % MOD; res.c = (m1.c * m2.a + m1.d * m2.c) % MOD; res.d = (m1.c * m2.b + m1.d * m2.d) % MOD; return res; } // 快速幂算法计算矩阵的 n 次幂 Matrix power(Matrix m, long long n) { Matrix res = {1, 0, 0, 1}; // 单位矩阵 while (n > 0) { if (n & 1) { res = multiply(res, m); } m = multiply(m, m); n >>= 1; } return res; } // 计算斐波那契数列前 n 项和 long long fibonacciSum(long long n) { // 构建矩阵 M Matrix M = {1, 1, 1, 0}; // 计算 M 的 n 次幂 Matrix Mn = power(M, n); // 初始值 F(1) 和 F(2) long long F1 = 1; long long F2 = 1; // 计算 F(n+1) long long Fn_1 = (Mn.a * F2 + Mn.b * F1) % MOD; // 返回斐波那契数列前 n 项和 return (Fn_1 - 1 + MOD) % MOD; // 减去 F(1) 的值并取模 } int main() { long long n; cout << "Enter the value of n: "; cin >> n; // 计算斐波那契数列前 n 项和 long long result = fibonacciSum(n); cout << "Result: " << result << endl; return 0; }
这段代码中，我们使用了矩阵快速幂算法来计算矩阵 ( M ) 的 ( n ) 次幂，然后根据 ( M ) 的结果计算斐波那契数列的前 ( n ) 项和。
const int MOD = 1000000007; // 取模的值 // 定义矩阵结构体 struct Matrix { long long a, b, c, d; }; // 矩阵乘法 Matrix multiply(Matrix m1, Matrix m2) { Matrix res; res.a = (m1.a * m2.a + m1.b * m2.c) % MOD; res.b = (m1.a * m2.b + m1.b * m2.d) % MOD; res.c = (m1.c * m2.a + m1.d * m2.c) % MOD; res.d = (m1.c * m2.b + m1.d * m2.d) % MOD; return res; } // 快速幂算法计算矩阵的 n 次幂 Matrix power(Matrix m, long long n) { Matrix res = {1, 0, 0, 1}; // 单位矩阵 while (n > 0) { if (n & 1) { res = multiply(res, m); } m = multiply(m, m); // debug4(m.a,m.b,m.c,m.d); n >>= 1; } return res; } // 计算 F(n) long long calculate(long long k, long long n) { Matrix M = {k, 1, -1, 0}; Matrix Mn_2 = power(M, n - 2); long long F1 = k % MOD; long long F2 = (k * k - 2) % MOD; long long Fn = (Mn_2.a * F2 % MOD + Mn_2.c * F1 % MOD + 2*MOD) % MOD; return Fn; }
