矩阵运算

1.利用列表推导式写矩阵乘法

一般的矩阵乘法根据公式，可以由三重循环写出，请将其改写为列表推导式的形式。

M1 = np.random.rand(2,3)
M2 = np.random.rand(3,4)
res = np.empty((M1.shape[0],M2.shape[1]))
for i in range(M1.shape[0]):
    for j in range(M2.shape[1]):
        item = 0
        for k in range(M1.shape[1]):
            item += M1[i][k] * M2[k][j]
        res[i][j] = item
(np.abs((M1@M2 - res) < 1e-15)).all() # 排除数值误差

True

2.更新矩阵

设矩阵 A_{m×n} ，现在对 A 中的每一个元素进行更新生成矩阵 B ，更新方法是 B_{ij}=A_{ij}\sum_{k=1}^n\frac{1}{A_{ik}} ，例如下面的矩阵为 A ，则 B_{2,2}=5\times(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})=\frac{37}{12} ，请利用 Numpy 高效实现。\begin{split}A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 &3\4&5&6\7&8&9 \end{matrix} \right]\end{split}

3.卡方统计量

设矩阵A_{m\times n}，记B_{ij} = \frac{(\sum_{i=1}^mA_{ij})\times (\sum_{j=1}^nA_{ij})}{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nA_{ij}}，定义卡方值如下： $$\chi^2 = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\frac{(A_{ij}-B_{ij})^2}{B_{ij}}请利用‘Numpy‘对给定的矩阵A计算χ2 请利用`Numpy`对给定的矩阵A计算\chi^2请利用‘Numpy‘对给定的矩阵A计算χ2

np.random.seed(0)
A = np.random.randint(10, 20, (8, 5))

4.改进矩阵计算的性能

设Z为m×n的矩阵，B和U分别是m×p和p×n的矩阵，B_i为B的第i行，U_j为U的第j列，下面定义\displaystyle R=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|B_i-U_j|2^2Z{ij}，其中|\mathbf{a}|_2^2表示向量a的分量平方和\sum_i a_i^2。

现有某人根据如下给定的样例数据计算R的值，请充分利用Numpy中的函数，基于此问题改进这段代码的性能。

np.random.seed(0)
m, n, p = 100, 80, 50
B = np.random.randint(0, 2, (m, p))
U = np.random.randint(0, 2, (p, n))
Z = np.random.randint(0, 2, (m, n))
def solution(B=B, U=U, Z=Z):
    L_res = []
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            norm_value = ((B[i]-U[:,j])**2).sum()
            L_res.append(norm_value*Z[i][j])
    return sum(L_res)
solution(B, U, Z

100566

5.连续整数的最大长度

输入一个整数的Numpy数组，返回其中严格递增连续整数子数组的最大长度，正向是指递增方向。例如，输入[1,2,5,6,7]，[5,6,7]为具有最大长度的连续整数子数组，因此输出3；输入[3,2,1,2,3,4,6]，[1,2,3,4]为具有最大长度的连续整数子数组，因此输出4。请充分利用Numpy的内置函数完成。（提示：考虑使用nonzero, diff函数）